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1、第18講相似三角形 考 點(diǎn) 一 考 點(diǎn) 二 考 點(diǎn) 三考點(diǎn)一比例線段及比例的性質(zhì)1.定 義在四條線段中,如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫作成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.2.比 例 的 基 本 性 質(zhì) 考 點(diǎn) 一 考 點(diǎn) 二 考 點(diǎn) 三3.平 行 線 分 線 段 成 比 例(1)兩條直線被一組平行線所截,如果在其中一條直線上截得的線段相等,那么在另一條直線上截得的線段也相等.(2)基本事實(shí):兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖(1),直線a b c,則 考 點(diǎn) 一 考 點(diǎn) 二 考 點(diǎn) 三(3)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段
2、成比例.如圖(2),在ABC中,DE BC,則4.黃 金 分 割 考 點(diǎn) 一 考 點(diǎn) 二 考 點(diǎn) 三考點(diǎn)二相似三角形(高頻)1.相 似 三 角 形 的 性 質(zhì) 及 判 定 考 點(diǎn) 一 考 點(diǎn) 二 考 點(diǎn) 三2.三 角 形 相 似 的 判 定 思 路 和 幾 種 常 見 的 圖 形 考 點(diǎn) 一 考 點(diǎn) 二 考 點(diǎn) 三 考 點(diǎn) 一 考 點(diǎn) 二 考 點(diǎn) 三考點(diǎn)三相似多邊形及其性質(zhì)1.定 義對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.2.性 質(zhì)(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例;(2)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等;(3)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比,相似多邊形的面積比等于
3、相似比的平方. 命 題 點(diǎn)命 題 點(diǎn)相 似 三 角 形 的 判 定 與 性 質(zhì)1.(2016安徽,8,4分)如圖,ABC中,AD是中線,BC=8, B= DAC,則線段AC的長(zhǎng)為( B )解 析 由 B= DAC,又找到公共角 C,得出CADCBA, 命 題 點(diǎn)2.(2013安徽,13,5分)如圖,P為平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn),E,F分別為PB,PC的中點(diǎn),PEF,PDC,PAB的面積分別為S,S1,S2,若S=2,則S1+S2=8. 命 題 點(diǎn)解 析 過P作PQ DC交BC于點(diǎn)Q,由DC AB,得到PQ AB,四邊形PQCD與四邊形APQB都為平行四邊形,PDCCQP,ABPQPB,
4、SPDC=SCQP,SABP=SQPB, EF為PCB的中位線, EF BC,EF= BC,PEFPBC,且相似比為1 2, S PEF SPBC=1 4, SPEF=2, SPBC=SCQP+SQPB=SPDC+SABP=S1+S2=8. 命 題 點(diǎn)3.(2015安徽,23,14分)如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),過點(diǎn)E作AB的垂線,過點(diǎn)F作CD的垂線,兩垂線交于點(diǎn)G,連接AG,BG,CG,DG,且 AGD= BGC.(1)求證:AD=BC;(2)求證:AGDEGF;(3)如圖2,若AD,BC所在直線互相垂直,求 的值. 命 題 點(diǎn)(1)證 明 GF是CD的垂直平
5、分線, GD=GC.同理GA=GB.在AGD和BGC中, GA=GB, AGD= BGC,GD=GC,AGDBGC, AD=BC. 4分(2)證 明 AGD= BGC, AGB= DGC. AG=BG,DG=CG,且E,F分別為AB,CD的中點(diǎn), 命 題 點(diǎn)(3)解 如圖,延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M, AD,BC所在的直線互相垂直, DAB+ ABC=90,即 DAB+ ABG+ GBC=90.AGDBGC, GAD= GBC, DAB+ ABG+ GAD=90,即 GAB+ GBA=90.又 GAB= GBA, GAB=45. 考 法 1 考 法 2 考 法 3考法1比例線段及比例的性質(zhì)例
6、 1(2017黑龍江哈爾濱)如圖,在ABC中,D,E分別為AB,AC邊上的點(diǎn),DE BC,點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn),連接AF交DE于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中一定正確的是() 考 法 1 考 法 2 考 法 3答 案 :C 解 析 : DE BC,ADEABC. 方 法 總 結(jié)應(yīng)用平行線分線段成比例定理時(shí)要注意“對(duì)應(yīng)”一詞的含義,為減少錯(cuò)誤,應(yīng)用時(shí)可把在同一條直線上被截得的兩條線段安排在一個(gè)比例式中. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對(duì) 應(yīng) 練 1(2018四川樂山)如圖,DE FG BC,若DB=4FB,則EG與GC的關(guān)系是( B)A.EG=4GCB.EG=3GCC.EG= GCD.EG=2GC EC=
7、4CG. EG=3GC,故選B. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對(duì) 應(yīng) 練 2(2017黑龍江大慶)如圖,AD BC,AD AB,點(diǎn)A,B在y軸上,CD與x軸交于點(diǎn)E(2,0),且AD=DE,BC=2CE,則BD與x軸交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為( A) 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 析 :設(shè)AD=DE=a,BC=2CE=2b, 考 法 1 考 法 2 考 法 3對(duì) 應(yīng) 練 3(2018廣西梧州)如圖,AG GD=4 1,BD DC=2 3,則AE EC的值是( D)A.3 2 B.4 3 C.6 5 D.8 5 考 法 1 考 法 2 考 法 3解 析 :過點(diǎn)D作DF CA交BE于F,如圖.
8、 考 法 1 考 法 2 考 法 3考法2相似三角形的判定與性質(zhì)例 2(2017浙江杭州)如圖,在銳角三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,AG BC于點(diǎn)G,AF DE于點(diǎn)F, EAF= GAC.(1)求證:ADEABC;(2)若AD=3,AB=5,求 的值.分 析 :(1)先根據(jù)AF DE,AG BC,進(jìn)一步推出 AEF= C,利用兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似,得出ADEABC;(2)由ADEABC可得出 ADE= B,從而AFDAGB,利用相 似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得 的值. 考 法 1 考 法 2 考 法 3(1)證 明 : AF DE于點(diǎn)F,AG BC于點(diǎn)G, AFE=90, A
9、GC=90. AEF=90- EAF, C=90- GAC,又 EAF= GAC, AEF= C.又 DAE= BAC,ADEABC.(2)解 : ADEABC, ADE= B.又 AFD= AGB=90,AFDAGB. 考 法 1 考 法 2 考 法 3方 法 總 結(jié)利用相似三角形證明等積線段的基本思路:先把等積線段轉(zhuǎn)化為比例線段,再找出與比例線段中的線段有關(guān)的兩個(gè)三角形,然后再證明這兩個(gè)三角形相似,利用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”即可推出結(jié)論.在此,尋找并證明兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵,尋找相似三角形的基本方法是“三點(diǎn)定形法”,即由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來(lái)確定三角形的方法.具體做法是:先看
10、比例式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形,若能,則只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了,這叫做“橫定”;若不能,再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形,若能,則只 要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了,這叫做“豎定”. 考 法 1 考 法 2 考 法 3對(duì) 應(yīng) 練 4(2018廣西貴港)如圖,在ABC中,EF BC,AB=3AE,若S四邊形BCFE=16,則SABC=( B)A.16 B.18C.20 D.24解 析 :設(shè)AEF的面積為S,則ABC的面積為16+S,由于在ABC中, 所以SABC=16+2=18,故選B. 考 法 1 考 法 2
11、 考 法 3對(duì) 應(yīng) 練 5(2018湖南邵陽(yáng))如圖所示,點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AE,交CD于點(diǎn)F,連接BF.寫出圖中任意一對(duì)相似三角形:ADFECF或EBAECF或ADFEBA(任意寫一對(duì)即可).解 析 :因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AD BC,所以ADFECF;因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AB CD,所以EBAECF;因?yàn)锳DFECFEBA,所以ADFEBA. 考 法 1 考 法 2 考 法 3證 明 : (1) AB=AC, B= C. DEF+ CEF= B+ BDE, DEF= B, CEF= BDE.BDECEF. C= DEF,EDFCE
12、F. CFE= EFD,即FE平分 DFC.對(duì) 應(yīng) 練 6(2017江蘇宿遷)如圖,在ABC中,AB=AC,點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B,C重合),滿足 DEF= B,且點(diǎn)D,F分別在邊AB、AC上.(1)求證:BDECEF;(2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),求證:FE平分 DFC. 考 法 1 考 法 2 考 法 3考法3相似多邊形及其性質(zhì)例 3(2016重慶模擬)如圖,已知矩形ABCD中,AB=2,在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將ABE向上折疊,使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)處,若四邊形EFDC與矩形ABCD相似,則AD=() 考 法 1 考 法 2 考 法 3答 案 B解 析 可設(shè)AD=x,根據(jù)四邊
13、形EFDC與矩形ABCD相似,可得比例式,求解即可.沿AE將ABE向上折疊,使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn),四邊形ABEF是正方形,設(shè)AD=x,則FD=x-2,FE=2,四邊形EFDC與矩形ABCD相似,方 法 總 結(jié)幾何圖形中線段長(zhǎng)度的計(jì)算一般通過勾股定理或通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程,通過解方程求得線段的長(zhǎng)度. 我們還常常把相似多邊形分成個(gè)數(shù)相等且對(duì)應(yīng)相似的三角形來(lái)解決問題,把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 考 法 1對(duì) 應(yīng) 練 7(2017安徽名校調(diào)研卷)若兩個(gè)扇形滿足弧長(zhǎng)的比等于它們半徑的比,則稱這兩個(gè)扇形相似.如圖,如果扇形AOB與扇形A1O1B1是相似扇形,且半徑
14、OA OA1=k(k為不等于0的常數(shù)),那么下面四個(gè)結(jié)論: AOB= A1O1B1;AOBA1O1B1; =k;扇形AOB與扇形A1O1B1的面積之比為k2.成立的個(gè)數(shù)為( D) A.1 B.2 C.3 D.4 考 法 2 考 法 3 考 法 1對(duì) 應(yīng) 練 8(2016安徽亳州模擬)如圖的兩個(gè)四邊形相似,則 的度數(shù)是( A)A.87 B.60 C.75D.120考 法 2 考 法 3 解 析 如圖,兩個(gè)四邊形相似, 1=138. 四邊形的內(nèi)角和等于360, =360-60-75-138=87. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 9.(2016上海嘉定一模)將一個(gè)矩形沿著一條對(duì)稱軸翻折,如果所得到的矩形與這個(gè)矩形相似,那么我們就將這樣的矩形定義為“白銀矩形”.事實(shí)上,“白銀矩形”在日常生活中隨處可見.如我們常見的A4紙就是一個(gè)“白銀矩形”.請(qǐng)根據(jù)上述信息求A4紙的較長(zhǎng)邊與較短邊的比值.這個(gè)比值是 .
安徽省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一篇 知識(shí) 方法 固基 第四單元 圖形初步與三角形 第18講 相似三角形.ppt
