2019-2020年高中數(shù)學第一章坐標系2.1極坐標系的概念2.2點的極坐標與直角坐標的互化學案北師大版.doc

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2019-2020年高中數(shù)學第一章坐標系2.1極坐標系的概念2.2點的極坐標與直角坐標的互化學案北師大版 1．極坐標系的概念 (1)極坐標系： 在平面內(nèi)取一個定點O，叫作極點，自極點O引一條射線Ox，叫作極軸；選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系． (2)點的極坐標：對于平面上任意一點M，用ρ表示線段OM的長，用θ表示以O(shè)x為始邊，OM為終邊的角度，ρ叫作點M的極徑，θ叫作點M的極角，有序?qū)崝?shù)對(ρ，θ)就叫作點M的極坐標，記作M(ρ，θ)． ①特別地，當點M在極點時，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值； ②點與極坐標的關(guān)系：平面內(nèi)一點的極坐標可以有無數(shù)對，當k∈Z時，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一個點，如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π或者－π<θ≤π，那么除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標就一一對應(yīng)了． 2．點的極坐標與直角坐標的互化 (1)互化的前提條件： ①極坐標系中的極點與直角坐標系中的原點重合； ②極軸與x軸的正半軸重合； ③兩種坐標系取相同的長度單位． (2)極坐標與直角坐標的互化： ①將點M的極坐標(ρ，θ)化為直角坐標(x，y)的關(guān)系式為. ②將點的直角坐標(x，y)化為極坐標(ρ，θ)的關(guān)系式為. 1．極坐標系與平面直角坐標系有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 提示：區(qū)別：平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景，而極坐標以角和距離為背景． 聯(lián)系：二者都是平面坐標系，用來研究平面內(nèi)點與距離等有關(guān)問題． 2．點M(ρ，θ)關(guān)于極軸、極點以及過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的坐標各為什么？ 提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)． 3．把直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標時，表示方法唯一嗎？ 提示：通常有不同的表示法．(極角相差2π的整數(shù)倍) [對應(yīng)學生用書P6] 由極坐標確定點的位置 [例1]　在極坐標系中，畫出點A，B，C，D. [思路點撥]　本題考查極坐標系以及極坐標的概念，同時考查數(shù)形結(jié)合思想，解答此題需要先建立極坐標系，再作出極角的終邊，然后以極點O為圓心，極徑為半徑分別畫弧，從而得到點的位置． [精解詳析]　在極坐標系中先作出線，再在線上截取|OA|＝1，這樣可得到點A.同樣可作出點B，C，D，如圖所示． 由極坐標確定點的位置的步驟 (1)取定極點O； (2)作方向為水平向右的射線Ox為極軸； (3)以極點O為頂點，以極軸Ox為始邊，通常按逆時針方向旋轉(zhuǎn)極軸Ox確定出極角的終邊； (4)以極點O為圓心，以極徑為半徑畫弧，弧與極角終邊的交點即是所求點的位置． 1．在極坐標系中，作出以下各點：A(4,0)，B，C，D；結(jié)合圖形判斷點B，D的位置是否具有對稱性；并求出B，D關(guān)于極點的對稱點的極坐標．(限定ρ≥0，θ∈[0,2π)) 解：如圖，A，B，C，D四個點分別是唯一確定的． 由圖形知B，D兩點關(guān)于極軸對稱，且B，D關(guān)于極點的對稱點的極坐標分別為，. 化極坐標為直角坐標 [例2]　已知A，B，將A，B坐標化為直角坐標，并求A，B兩點間的距離． [思路點撥]　本題考查如何將極坐標化為直角坐標，解答此題需要利用互化公式先將極坐標化為直角坐標，再由兩點間的距離公式得結(jié)果． [精解詳析]　將A，B由極坐標化為直角坐標， 對于點A，有x＝3cos＝， y＝3sin＝－，∴A. 對于點B，有x＝1cos＝－，y＝1sin ＝， ∴B(－，)． ∴|AB|＝ ＝＝4. 1．將極坐標M(ρ，θ)化為直角坐標(x，y)，只需根據(jù)公式：即可得到； 2．利用兩種坐標的互化，可以把不熟悉的極坐標問題轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標問題求解． 本例中如何由極坐標直接求A，B兩點間的距離？ 解：根據(jù)M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，則由余弦定理得： |MN|＝， 所以|AB|＝ ＝4. 化直角坐標為極坐標 [例3]　分別將下列點的直角坐標化為極坐標(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(－1,1)，(2)(－，－1)． [思路點撥]　本題考查如何將直角坐標化為極坐標，同時考查三角函數(shù)中由值求角問題，解答此題利用互化公式即可，但要注意點所在象限． [精解詳析]　(1)∵ρ＝ ＝， tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 又點(－1,1)在第二象限， ∴θ＝. ∴直角坐標(－1,1)化為極坐標為. (2)ρ＝＝2， tan θ＝＝，θ∈[0,2π)， ∵點(－，－1)在第三象限， ∴θ＝π. ∴直角坐標(－，－1)化為極坐標為. 將點的直角坐標(x，y)化為極坐標(ρ，θ)時，運用公式即可，在[0,2π)范圍內(nèi)，由tan θ＝(x≠0)求θ時，要根據(jù)直角坐標的符號特征，判斷出點所在象限，如果允許θ∈R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為θ＋2kπ，k∈Z即可． 2．將下列各點由直角坐標化為極徑ρ是正值，極角在0到2π之間的極坐標． (1)(3，)；(2)(－2，－2)． 解：(1)ρ＝＝2，tan θ＝＝， 又點(3，)在第一象限，所以θ＝. 所以點(3，)的極坐標為2，. (2)ρ＝＝4， tan θ＝＝＝， 又點(－2，－2)在第三象限，所以θ＝. 所以點(－2，－2)的極坐標為. 本課時?？疾闃O坐標的確定及點的直角坐標與極坐標的互化，特別是直角坐標化為極坐標常與三角知識交匯命題，更成為命題專家的新寵． [考題印證] 點P的直角坐標為(1，－)，則點P的極坐標為(　　) A.　　　　　　 B. C. D. [命題立意]　本題主要考查點的極坐標與直角坐標　的互化，同時還考查了三角知識及運算解題能力． [自主嘗試] ρ＝＝2，tan θ＝＝－， 又點(1，－)在第四象限，所以O(shè)P與x軸所成的角為，故點P的一個極坐標為，排除A，B選項．又－π＋2π＝π，所以極坐標所表示的點在第二象限，故D不正確，而－＋2π＝π. [答案]　C [對應(yīng)學生用書P8] 一、選擇題 1．點P的直角坐標為(－，)，那么它的極坐標可表示為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　ρ＝＝2， tan θ＝＝－1， ∵點P在第二象限， ∴最小正角θ＝. 2．在極坐標系中與點A關(guān)于極軸所在的直線對稱的點的極坐標是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　與點A關(guān)于極軸所在直線的對稱的點的極坐標可以表示為(k∈Z)，這時只有選項B滿足條件． 3．在極坐標系中，若等邊△ABC的兩個頂點是A，B，那么可能是頂點C的坐標的是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　如圖，由題設(shè)，可知A，B兩點關(guān)于極點O對稱，即O是AB的中點． 又|AB|＝4，△ABC為正三角形， ∴|OC|＝2，∠AOC＝，點C的極角θ＝＋＝或＋＝， 即點C的極坐標為或. 4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點M1(ρ1，θ1)與點M2(ρ2，θ2)的位置關(guān)系是(　　) A．關(guān)于極軸所在直線對稱 B．關(guān)于極點對稱 C．關(guān)于過極點垂直于極軸的直線對稱 D．兩點重合 解析：選A　因為點(ρ，θ)關(guān)于極軸所在直線對稱的點為(－ρ，π－θ)．由此可知點(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關(guān)于極軸所在直線對稱． 二、填空題 5．將極軸Ox繞極點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到射線OP，在OP上取點M，使|OM|＝2，則ρ>0，θ∈[0,2π)時點M的極坐標為________，它關(guān)于極軸的對稱點的極坐標為________(ρ>0，θ∈[0,2π))． 解析：ρ＝|OM|＝2， 與OP終邊相同的角為－＋2kπ(k∈Z)． ∵θ∈[0,2π)，∴k＝1，θ＝.∴M. ∴M關(guān)于極軸的對稱點為(2，)． 答案：　 6．點A在條件： (1)ρ>0，θ∈(－2π，0)下的極坐標是________； (2)ρ<0，θ∈(2π，4π)下的極坐標是________． 解析：(1)當ρ>0時，點A的極坐標形式為(k∈Z)， ∵θ∈(－2π，0)．令k＝－1，點A的極坐標為，符合題意． (2)當ρ<0時，的極坐標的一般形式是(k∈Z)． ∵θ∈(2π，4π)，當k＝1時，點A的極坐標為，符合題意． 答案：　(2) 7．直線l過點A，B，則直線l與極軸所在直線的夾角等于________． 解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據(jù)點A，B的位置分析夾角大?。? 因為|AO|＝|BO|＝7，∠AOB＝－＝， 所以∠OAB＝＝. 所以∠ACO＝π－－＝. 答案： 8．已知兩點的極坐標是A，B，則AB中點的一個極坐標是________． 解析：畫出示意圖，A，B與極點O共線， ∴ρ＝(3－8)＝－， θ＝. 故AB中點的一個極坐標為. 答案： 三、解答題 9．設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于該拋物線的焦點處，當此彗星離地球30萬千米時，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線對稱軸的夾角為30，試建立適當?shù)臉O坐標系，寫出彗星此時的極坐標． 解：如圖所示，建立極坐標系，使極點O位于拋物線的焦點處，極軸Ox過拋物線的對稱軸，由題設(shè)可得下列4種情形： ①當θ＝30時，ρ＝30(萬千米)； ②當θ＝150時，ρ＝30(萬千米)； ③當θ＝210時，ρ＝30(萬千米)； ④當θ＝330時，ρ＝30(萬千米)． ∴彗星此時的極坐標有4種情形：(30,30)，(30,150)，(30,210)，(30,330)． 10．在極坐標系中，點A和點B的極坐標分別為和(3,0)，O為極點． (1)求|AB|；(2)求S△AOB. 解：|AB|＝ ＝ ＝＝. S△AOB＝|OA||OB|sin ∠AOB ＝23sin ＝. 11．在極坐標系中，如果A，B為等邊三角形ABC的兩個頂點，求頂點C的極坐標． 解：法一：對于A有ρ＝2，θ＝， ∴x＝ρcos θ＝2cos＝， y＝ρsin θ＝2sin＝. ∴A(，)． 對于B有ρ＝2，θ＝π. ∴x＝2cos＝－， y＝2sin＝－. ∴B(－，－)． 設(shè)C點的坐標為(x，y)，由于△ABC為等邊三角形，故有|AB|＝|BC|＝|AC|. ∴有(x＋)2＋(y＋)2＝(x－)2＋(y－)2 ＝(＋)2＋(＋)2. ∴有 解之得或 ∴C點的坐標為(，－)或(－，)． ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1. ∴θ＝或θ＝. ∴點C的極坐標為或. 法二：設(shè)C點的極坐標為(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)． 則有|AB|＝|BC|＝|AC|. ∴ 解之得或 ∴點C的極坐標為，.