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1、,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,單擊此處編輯母版標題樣式,3.2,邊緣分布,1.,邊緣分布函數(shù),2.,二維離散型隨機變量的邊緣分布,3.,二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布,1,二維隨機變量,(X,Y),的分量,X,和,Y,是一維隨機變量,它們各有其分布，稱為,(X,Y),分別,關(guān)于,X,和,Y,的邊緣分布,.,本節(jié)主要討論二維離散型隨機變量,(X,Y),分別關(guān)于,X,和,Y,的邊緣分布律和二維連續(xù)型隨機變量,(X,Y),分別關(guān)于,X,和,Y,的邊緣概率密度函數(shù),.,2,設(shè)二維隨機變量,(X,Y),的分布函數(shù)為,F,(,x,y,),，關(guān)于,X,和,Y,的邊緣分布函數(shù)分
2、別記為,F,X,(,x,),和,F,Y,(,y,).,注意：,由聯(lián)合分布可以決定邊緣分布，反過來，由邊緣分布決定不了聯(lián)合分布。但當分量獨立時就可以決定。,聯(lián)合分布可以確定邊緣分布,1.,邊緣分布函數(shù),3,解,(X,Y),關(guān)于,Y,的邊緣分布函數(shù),4,對于二維離散型隨機變量,(X,Y),分量,X,Y,的分布列（律）稱為二維隨機變量,(X,Y),的,關(guān)于,X,和,Y,的邊緣概率分布,或,分布列（律）,.,設(shè)二維離散型隨機變量,(X,Y),的概率分布為,P(X=,x,i,Y=,y,j,),P,ij,i,j,=1,2,.,則,P(X=,x,i,)=,2.,二維離散型隨機變量的邊緣分布,(,i,=1,2
3、,.),5,同理,:,一般地,記,:,P(X=,x,i,),P,i,.,P(Y=,y,j,),P,.j,(j=1,2,.),其分布表如下,:,6,X,Y,.,7,解,P(X=,i,Y,=,j,)=P(Y=,j,|X,=,i,)P(X,=,i,)=(1/,i,)(1/4),(,i,j,),于是,(X,Y),的分布律及關(guān)于,X,和,Y,的邊緣分布律為,8,例,:,把,3,個白球和,3,個紅球等可能地放入編號為,1,2,3,的三個盒子中,.,記落入第,1,號盒子的白球個數(shù)為,X,落入第,2,號盒子的紅球個數(shù)為,Y.,求,(X,Y),的分布律和關(guān)于,X,和,Y,的邊緣分布律,.,解,顯然有,又因為事件
4、,X=,i,與事件,Y=,j,相互獨立,所以有,9,用表格可如下表示,10,解,在,不放回,抽樣下（上節(jié)課例題），列表如下：,11,在,放回,抽樣下，兩次抽取相互獨立，故,P(X=0,Y=0)=P(X=0),P(Y=0)=3/5,3/5=9/25,類似地可有,P(X=0,Y=1)=6/25,，,P(X=1,Y=0)=6/25,，,P(X=1,Y=1)=4/25,，,列表如下,12,注：,由此例可見，不同的聯(lián)合分布可有著相同的邊緣分布，從而,邊緣分布不能唯一確定聯(lián)合分布！,13,3.,二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布,對于二維連續(xù)型隨機變量,(X,Y),設(shè)其概率密度函數(shù)為,f,(,x,y,),，分布
5、函數(shù)為,F,(,x,y,),，則有,14,分別稱,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),為二維連續(xù)型隨機變量,(X,Y),關(guān)于,X,和,Y,的邊緣概率密度函數(shù),，簡稱,密度函數(shù),。,記,邊緣密度函數(shù)完全由聯(lián)合密度函數(shù)所決定,.,15,例,設(shè)隨機變量,(X,Y),服從區(qū)域,D,上的均勻分布,其中,D=(,x,y,),x,2,+,y,2,1,求,X,Y,的邊緣密度函數(shù),f,X,(,x,),和,f,Y,(,y,).,解,(1),由題意得,:,X,Y,-1,1,當,|x|1,時,f,(,x,y,)=0,所以,f,X,(,x,)=0,當,|x|1,時,所以,16,注意,:,均勻分布的邊緣密度不再是一維
6、均勻分布,同理,17,例,設(shè),(X,Y),的概率密度是,求,(1),c,的值；（,2,）兩個邊緣概率密度,.,解,(1),所以,，,c=24/5,x,y,0,1,y,=,x,18,(2),注意積分限,注意取值范圍,同理,19,即,注意：,在求二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度時，往往要對聯(lián)合概率密度在一個變量取值范圍上進行積分,.,當聯(lián)合密度函數(shù)是分段函數(shù)的時候，在計算積分時應特別注意積分限,.,20,例,設(shè),隨機變量,X,和,Y,具有,聯(lián)合概率密度,求邊緣,概率密度,f,X,(,x,),和,f,Y,(,y,).,解,21,例,設(shè)二維隨機變量（,X,，,Y,）,的概率密度為,求隨機變量,X,的邊
7、緣密度函數(shù)；,求概率,P(X+Y1).,解,(1),x,0,時,f,X,(,x,)=0;,x,0,時,f,X,(,x,)=,所以,P(X+Y1)=,y,=,x,x,+,y,=1,1/2,22,例,求二維正態(tài)隨機變量的邊緣密度函數(shù),.,解,已知,為了計算方便，設(shè),23,積分中的被積函數(shù)恰好是服從正態(tài)分布 的隨機變量的密度函數(shù),則,(X,Y),關(guān)于,X,的邊緣密度函數(shù)為,24,由此可見：二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，而且這兩個邊緣分布與其中的參數(shù),無關(guān)。即,同理，,(X,Y),關(guān)于,Y,的邊緣密度函數(shù)為,這表明，僅僅由,X,和,Y,的邊緣分布，一般不能完全確定二維隨機變量,(X,Y),的聯(lián)合分布。,25,
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