2019-2020年高考數(shù)學(xué)三模試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)三模試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．（5分）設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i（1﹣i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 2．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），則2﹣=（） A． （3，7） B． （3，9） C． （5，7） D． （5，9） 3．（5分）在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，則∠BAC=（） A． B． C． D． 4．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的值P=（） A． 12 B． 10 C． 8 D． 6 5．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（） A． B． C． D． 6．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若8a2+a5=0，則下列式子中數(shù)值不能確定的是（） A． B． C． D． 7．（5分）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|=3，則△AOB的面積為（） A． B． C． D． 2 8．（5分）對(duì)于非空集合A，B，定義運(yùn)算：A⊕B={x|x∈A∪B，且x?A∩B}，已知M={x|a＜x＜b}，N={x|c＜x＜d}，其中a、b、c、d滿足a+b=c+d，ab＜cd＜0，則M⊕N=（） A． （a，d）∪（b，c） B． （c，a]∪[b，d） C． （c，a）∪（d，b） D． （a，c]∪[d，b） 二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分.（一）必做題（9～13題） 9．（5分）如圖是某xx高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來第1次到14次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)莖葉圖，根據(jù)莖葉圖計(jì)算數(shù)據(jù)的中位數(shù)為． 10．（5分）函數(shù)y=ln（x﹣2）+的定義域． 11．（5分）不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0的解集為． 12．（5分）某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有種． 13．（5分）已知Ω為不等式組所表示的平面區(qū)域，E為圓（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）及其內(nèi)部所表示的平面區(qū)域，若“點(diǎn)（x，y）∈Ω”是“點(diǎn)（x，y）∈E”的充分條件，則區(qū)域E的面積的最小值為． （二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 14．（5分）極坐標(biāo)系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線2ρsinθ=1對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是． （幾何證明選講選做題） 15．如圖，AB是圓O的直徑，且AB=6，CD是弦，BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，PA=4，PD=5，則∠COD=． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16．（12分）已知函數(shù)f（x）=sin（π+x）（sin（+x）﹣cos2x （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2）若θ∈[﹣，0]，f（+）=，求sin（2θ﹣）的值． 17．（12分）某校xx高一年級(jí)有四個(gè)班，其中一、二班為數(shù)學(xué)課改班，三、四班為數(shù)學(xué)非課改班．在期末考試中，課改班與非課改班的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與非優(yōu)秀人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表． 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 課改班 50 非課改班 20 110 合計(jì) 210 （1）請(qǐng)完成上面的22列聯(lián)表，并判斷若按99%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與課改有關(guān)”； （2）把全部210人進(jìn)行編號(hào)，從編號(hào)中有放回抽取4次，每次抽取1個(gè)，記被抽取的4人中的優(yōu)秀人數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ． 18．（14分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PB上一點(diǎn)，且EF⊥PB． （1）證明：PA∥平面EDB； （2）證明：AC⊥DF； （3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值． 19．（14分）已知數(shù)列{an}滿足：a1=，3an+1﹣2an=1（n∈N*）；數(shù)列{bn}滿足：bn=an+1﹣an（n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn； （2）證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列． 20．（14分）已知直線l：y=x+2與雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3）． （1）求雙曲線C的離心率； （2）設(shè)雙曲線C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|BF|?|DF|=17，試判斷△ABD是否為直角三角形，并說明理由． 21．（14分）已知函數(shù)f（x）=mx﹣（m+2）lnx﹣（m∈R），g（x）=． （1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）是否存在m＜0時(shí)，對(duì)于任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≤1恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由． 廣東省肇慶市xx高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．（5分）設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i（1﹣i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析： 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案． 解答： 解：由z=i（1﹣i）=1+i， 得復(fù)數(shù)z=i（1﹣i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），位于第一象限． 故選：A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題． 2．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），則2﹣=（） A． （3，7） B． （3，9） C． （5，7） D． （5，9） 考點(diǎn)： 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可． 解答： 解：向量=（2，4），=（﹣1，1）， 則2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（5，7）． 故選：C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力． 3．（5分）在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，則∠BAC=（） A． B． C． D． 考點(diǎn)： 余弦定理． 專題： 解三角形． 分析： 利用余弦定理表示出cos∠BAC，把三角形三邊長(zhǎng)代入即可求出∠BAC的余弦值，求解即可． 解答： 解：∵c=AB=5，b=AC=3，a=BC=7， ∴根據(jù)余弦定理得： cos∠BAC===﹣． ∠BAC=． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了余弦定理，余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵． 4．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的值P=（） A． 12 B． 10 C． 8 D． 6 考點(diǎn)： 程序框圖． 專題： 圖表型；算法和程序框圖． 分析： 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，k的值，當(dāng)S=208時(shí)，不滿足條件S＜100，退出循環(huán)，輸出P的值為10． 解答： 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 k=1，S=0 滿足條件S＜100，S=4，k=2 滿足條件S＜100，S=16，k=3 滿足條件S＜100，S=48，k=4 滿足條件S＜100，S=208，k=5 不滿足條件S＜100，退出循環(huán)，得P=10，輸出P的值為10． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，k的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查． 5．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（） A． B． C． D． 考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積． 專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是一正方體去掉一個(gè)三棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積． 解答： 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得； 該幾何體是一棱長(zhǎng)為1的正方體，去掉一三棱錐， 如圖所示； ∴該幾何體的體積是V幾何體=13﹣121=． 故選：A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目． 6．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若8a2+a5=0，則下列式子中數(shù)值不能確定的是（） A． B． C． D． 考點(diǎn)： 等比數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)已知的等式變形，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比q的值，然后分別根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，即可找出四個(gè)選項(xiàng)中數(shù)值不能確定的選項(xiàng)． 解答： 解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8，故選項(xiàng)A正確； 解得：q=﹣2，則=q=﹣2，故選項(xiàng)C正確； 則==，故選項(xiàng)B正確； 而==，所以數(shù)值不能確定的是選項(xiàng)D． 故選D 點(diǎn)評(píng)： 此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題． 7．（5分）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|=3，則△AOB的面積為（） A． B． C． D． 2 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 專題： 壓軸題． 分析： 設(shè)直線AB的傾斜角為θ，利用|AF|=3，可得點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x=﹣1的距離為3，從而cosθ=，進(jìn)而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面積． 解答： 解：設(shè)直線AB的傾斜角為θ（0＜θ＜π）及|BF|=m， ∵|AF|=3， ∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x=﹣1的距離為3 ∴2+3cosθ=3 ∴cosθ= ∵m=2+mcos（π﹣θ） ∴ ∴△AOB的面積為S== 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查拋物線的定義，考查三角形的面積的計(jì)算，確定拋物線的弦長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵． 8．（5分）對(duì)于非空集合A，B，定義運(yùn)算：A⊕B={x|x∈A∪B，且x?A∩B}，已知M={x|a＜x＜b}，N={x|c＜x＜d}，其中a、b、c、d滿足a+b=c+d，ab＜cd＜0，則M⊕N=（） A． （a，d）∪（b，c） B． （c，a]∪[b，d） C． （c，a）∪（d，b） D． （a，c]∪[d，b） 考點(diǎn)： 子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換． 專題： 新定義；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 本題可先由知M={x|a＜x＜b}，N={x|c＜x＜d}，其中a、b、c、d滿足a+b=c+d，ab＜cd＜0，得到a，b，0，c，d的大小關(guān)系，再由新定義M⊕N的意義即可求出． 解答： 解：由已知M={x|a＜x＜b}，∴a＜b，又ab＜0，∴a＜0＜b， 同理可得c＜0＜d， 由ab＜cd＜0，c＜0，b＞0，∴，∴， 又∵a+b=c+d，∴a﹣c=d﹣b，∴， 又∵c＜0，b＞0，∴d﹣b＜0，因此，a﹣c＜0， ∴a＜c＜0＜d＜b， ∴M∩N=N，∴M⊕N={x|a＜x≤c，或d≤x＜b}=（a，c]∪[d，b）． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了新定義、不等式的性質(zhì)、集合的子集與交集并集的轉(zhuǎn)換，充分理解以上概念及運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵． 二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分.（一）必做題（9～13題） 9．（5分）如圖是某xx高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來第1次到14次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)莖葉圖，根據(jù)莖葉圖計(jì)算數(shù)據(jù)的中位數(shù)為94.5． 考點(diǎn)： 莖葉圖． 專題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： 根據(jù)中位數(shù)的概念和莖葉圖中的數(shù)據(jù)，即可得到數(shù)據(jù)中的中位數(shù)． 解答： 解：從莖葉圖中可知14個(gè)數(shù)據(jù)排序?yàn)椋?9 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114， 所以中位數(shù)為94與95的平均數(shù)94.5． 故答案為：94.5． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，以及中位數(shù)的求法，要注意在求中位數(shù)的過程中，要把數(shù)據(jù)從小到大排好，才能確定中位數(shù)，同時(shí)要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)． 10．（5分）函數(shù)y=ln（x﹣2）+的定義域（2，3]． 考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)函數(shù)y的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可． 解答： 解：∵函數(shù)y=ln（x﹣2）+， ∴， 解得2＜x≤3； ∴函數(shù)y的定義域是（2，3]． 故答案為：（2，3]． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了利用函數(shù)的解析式求函數(shù)定義域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目． 11．（5分）不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0的解集為（﹣∞，﹣6）∪． 考點(diǎn)： 絕對(duì)值不等式的解法． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不等式，求解即得所求． 解答： 解：由不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0，可得（2x+1）2＞（5﹣x）2，即3x2+14x﹣24＞0， 解得x＜﹣6或x． 故答案為：（﹣∞，﹣6）∪． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 12．（5分）某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有10種． 考點(diǎn)： 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 專題： 排列組合． 分析： 本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，一是3本集郵冊(cè)一本畫冊(cè)，讓一個(gè)人拿本畫冊(cè)就行了4種，另一種情況是2本畫冊(cè)2本集郵冊(cè)，只要選兩個(gè)人拿畫冊(cè)C42種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果 解答： 解：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題 一是3本集郵冊(cè)一本畫冊(cè)，讓一個(gè)人拿本畫冊(cè)就行了4種 另一種情況是2本畫冊(cè)2本集郵冊(cè)，只要選兩個(gè)人拿畫冊(cè)C42=6種 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共10種， 故答案為：10． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查分類計(jì)數(shù)原理問題，關(guān)鍵是如何分類，屬于基礎(chǔ)題， 13．（5分）已知Ω為不等式組所表示的平面區(qū)域，E為圓（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）及其內(nèi)部所表示的平面區(qū)域，若“點(diǎn)（x，y）∈Ω”是“點(diǎn)（x，y）∈E”的充分條件，則區(qū)域E的面積的最小值為． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用；二元一次不等式（組）與平面區(qū)域． 專題： 常規(guī)題型；數(shù)形結(jié)合法． 分析： ①由線性約束條件畫出可行域，②求出可行域內(nèi)兩點(diǎn)間的最大距離，③以最大距離為直徑求出圓的面積即為圓的最小面積． 解答： 解：根據(jù)約束條件畫出可行域 ∵“點(diǎn)（x，y）∈Ω”是“點(diǎn)（x，y）∈E”的充分條件 ∴陰影部分應(yīng)在圓內(nèi)或在圓上， 則r， 則圓的面積最小值為：=． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的最大距離的求法，及圓的面積公式；綜合性較強(qiáng)，同時(shí)也是對(duì)線性規(guī)劃問題考查方式的創(chuàng)新． （二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 14．（5分）極坐標(biāo)系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線2ρsinθ=1對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是（，）． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程． 專題： 坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 分析： 求出點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線2ρsinθ=1對(duì)稱的點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再把它化為極坐標(biāo)． 解答： 解：直線2ρsinθ=1即y=，點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線2ρsinθ=1對(duì)稱的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，1）， 故對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為（，）， 故答案為：（，）． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題． （幾何證明選講選做題） 15．如圖，AB是圓O的直徑，且AB=6，CD是弦，BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，PA=4，PD=5，則∠COD=60． 考點(diǎn)： 弦切角． 專題： 立體幾何． 分析： 直接利用圓的割線定理求出弦CD的長(zhǎng)，利用AB的長(zhǎng)確定三角形OCD為正三角形，進(jìn)一步求出結(jié)果． 解答： 解：AB是圓O的直徑，CD是弦，BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P， 利用割線定理得：PA?PB=PD?PC， 由于：AB=6，PA=4，PD=5， 所以：PA?（PA+AB）=PD?（PD+CD）， 解得：CD=3， 所以：△OCD為正三角形， 則：∠COD=60． 故答案為：60． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：割線定理的應(yīng)用，正三角形的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16．（12分）已知函數(shù)f（x）=sin（π+x）（sin（+x）﹣cos2x （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2）若θ∈[﹣，0]，f（+）=，求sin（2θ﹣）的值． 考點(diǎn)： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象． 專題： 三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： （1）首先對(duì)函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期． （2）利用函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步通過恒等變換，求出，最后求出結(jié)果． 解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（π+x）（sin（+x）﹣cos2x = = =， 所以函數(shù)f（x）的最小正周期． （2）由（1）得==cosθ﹣， 由，得． 因?yàn)棣取蔥﹣，0]，所以， 所以：，， 所以：= =﹣． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期的應(yīng)用，利用函數(shù)的關(guān)系式求函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力． 17．（12分）某校xx高一年級(jí)有四個(gè)班，其中一、二班為數(shù)學(xué)課改班，三、四班為數(shù)學(xué)非課改班．在期末考試中，課改班與非課改班的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與非優(yōu)秀人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表． 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 課改班 50 非課改班 20 110 合計(jì) 210 （1）請(qǐng)完成上面的22列聯(lián)表，并判斷若按99%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與課改有關(guān)”； （2）把全部210人進(jìn)行編號(hào)，從編號(hào)中有放回抽取4次，每次抽取1個(gè)，記被抽取的4人中的優(yōu)秀人數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ． 考點(diǎn)： 離散型隨機(jī)變量及其分布列；獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量的期望與方差． 專題： 應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （1）確定22列聯(lián)表，計(jì)算K2，與臨界值比較，即可得出結(jié)論； （2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ． 解答： 解：（1） 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 課改班 50 50 100 非課改班 20 90 110 合計(jì) 70 140 210 （2分） K2==23.86＞6.635，（5分） 所以按照99%的可靠性要求，能夠判斷成績(jī)與課改有關(guān)．（6分） （2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，1，2，3，4．（7分） 由于是有放回的抽取，所以可知每次抽取中抽到優(yōu)秀的概率為=，（8分） P（ξ=0）=C40（）0（）4=；P（ξ=1）=C41（）1（）3=； P（ξ=2）=C42（）2（）2=；P（ξ=3）=C43（）3（）1=； P（ξ=4）=C44（）4（）0=． 所以ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 4 P （10分） Eξ=0+1+2+3+4=．（12分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)、分布列及其數(shù)學(xué)期望，正確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題． 18．（14分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PB上一點(diǎn)，且EF⊥PB． （1）證明：PA∥平面EDB； （2）證明：AC⊥DF； （3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值． 考點(diǎn)： 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定． 專題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角． 分析： （1）連接AC交BD于點(diǎn)G，連接EG．通過中位線定理及線面平行的判定定理即得結(jié)論； （2）由題易得AC⊥PD，通過線面垂直的性質(zhì)定理可得結(jié)論； （3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所求值即為平面DEF的一個(gè)法向量與平面ABCD的一個(gè)法向量的夾角的余弦值，計(jì)算即可． 解答： 證明：（1）連接AC交BD于點(diǎn)G，連接EG． ∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)， 又∵E為PC的中點(diǎn)，因此EG∥PA． 而EG?平面EDB，所以PA∥平面EDB． （2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD． ∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，∴AC⊥PD． 而PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD， 又DF?平面PBD，所以AC⊥DF． （3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有D（0，0，0），P（0，0，1）， A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），所以E（0，，）． 設(shè)F（k，k，l），（kl≠0），則=（k，k﹣，l﹣），=（1，1，﹣1）． 由EF⊥PB，得=0，即， 即l=2k，故F（k，k，2k）． 設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量=（x，y，z）， 由，得，解得，取=（﹣1，﹣1，1）， 又=（0，0，1）是底面ABCD的一個(gè)法向量， ∴===， 故平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值為． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查二面角，空間中線線垂直、線面平行的判定定理，向量數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 19．（14分）已知數(shù)列{an}滿足：a1=，3an+1﹣2an=1（n∈N*）；數(shù)列{bn}滿足：bn=an+1﹣an（n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn； （2）證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列． 考點(diǎn)： 等差關(guān)系的確定；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 專題： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由已知條件得到數(shù)列{an﹣1}是以﹣為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．由此得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后利用前n項(xiàng)和的定義進(jìn)行求和； （2）假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項(xiàng)br，bs，bt（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，于是有br＞bs＞bt，則只有可能有2bs=br+bt成立，代入通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)整理后發(fā)現(xiàn)等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾． 解答： 解：（1）由3an+1﹣2an=1，得an+1﹣1=（an﹣1）． 因?yàn)閍1=，所以a1﹣1=﹣， 因此數(shù)列{an﹣1}是以﹣為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 所以an﹣1=﹣，即an=1﹣（n∈N*）． 所以Sn=a1+a2+…+an=n﹣[1++…+]， =n﹣=+n﹣（n∈N*）． （2）由（1），得bn=an+1﹣an=[1﹣]﹣[1﹣]=． 下面用反證法證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列． 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)br，bs，bt（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是有br＞bs＞bt，則只能有 2bs=br+bt成立． 所以2﹣=+， 兩邊同乘3t﹣1′21﹣r，化簡(jiǎn)得2?2s﹣r?3t﹣s=3t﹣r+2t﹣r． 因?yàn)閞＜s＜t，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．故數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了數(shù)列的遞推式．對(duì)于用遞推式確定數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，?？砂淹ㄟ^遞推式變形轉(zhuǎn)換成等差或等比數(shù)列． 20．（14分）已知直線l：y=x+2與雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3）． （1）求雙曲線C的離心率； （2）設(shè)雙曲線C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|BF|?|DF|=17，試判斷△ABD是否為直角三角形，并說明理由． 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的綜合問題；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （1）直線y=x+2和雙曲線聯(lián)立方程，利用中點(diǎn)公式，求出雙曲線離心率． （2）利用（1）問關(guān)系列出|BF|、|DF|的關(guān)系式，進(jìn)而解出a的值，然后利用圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角得出結(jié)論． 解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)知，l的方程為：y=x+2， 化入C的方程，并化簡(jiǎn)，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣4a2﹣a2b2=0， 設(shè)B（x1，y1）、D（x2，y2）， 則，① 由M（1，3）為BD的中點(diǎn)知， 故，即b2=3a2，② 故，所以C的離心率． （Ⅱ）由①、②知，C的方程為：3x2﹣y2=3a2， A（a，0），F(xiàn)（2a，0），x1+x2=2，x1?x2=﹣， 故不妨設(shè)x1≤﹣a，x2≥a， ==a﹣2x1， =2x2﹣a， |BF|?|FD|=（a﹣2x1）（2x2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8， 又|BF|?|FD|=17， 故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去）， 故|BD|=， 連結(jié)MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3， 從而MA=MB=MD， 且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，且在點(diǎn)A處與x軸相切． 所以過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．∴△ABD為直角三角形． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查雙曲線的離心率的求解和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，xx高考中歷年?？迹畬賦x高考?jí)狠S大題． 21．（14分）已知函數(shù)f（x）=mx﹣（m+2）lnx﹣（m∈R），g（x）=． （1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）是否存在m＜0時(shí)，對(duì)于任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≤1恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后在定義域內(nèi)借助于二次函數(shù)的圖象判斷導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）本題涉及到兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）的不等式恒成立，因此，只需f（x1）≤g（x2）+1恒成立即可，則問題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤g（x）min+1的問題． 解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）． ， ①當(dāng)m=0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=1． 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0； 所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）； ②當(dāng)m≠0時(shí)，令f′（x）=0，解得． 當(dāng)m＜0時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0；所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）． 當(dāng)0＜m＜2時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＞0；所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）與（，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，）； 當(dāng)m=2時(shí)，f，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）； 當(dāng)m＞2時(shí)，當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，）與（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（，1）． 綜上，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）； 當(dāng)0＜m＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）與（，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，）； 當(dāng)m=2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）； 當(dāng)m＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，）與（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（，1）． （2）對(duì)于任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≤1恒成立，等價(jià)于x∈[1，2]時(shí)，f（x）max≤g（x）min+1成立． 由（1）得當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）max=f（x）=m﹣2． ， 令h（x）=，而． 所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減． 在[1，2]上，， 所以在[1，2]上，h（x）＜0，g′（x）＜0；所以g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，． 故，即， 因?yàn)閙＜0，所以存在m＜0時(shí)，對(duì)于任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≤1恒成立，且m的取值范圍是（﹣∞，0）． 點(diǎn)評(píng)： 本題重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后研究函數(shù)的最值，從而解決不等式恒成立問題，注意本題中是兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較，要注意準(zhǔn)確理解題意．