布朗運(yùn)動(dòng)和伊藤引理的運(yùn)用

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1、 布朗運(yùn)動(dòng)與伊藤引理的運(yùn)用 唐雨辰 3112352013 統(tǒng)計(jì)2107 一、引言 1827年英國(guó)植物學(xué)家布朗發(fā)現(xiàn)液體中懸浮的花粉粒具有無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就是布朗運(yùn)動(dòng)。1900年，法國(guó)數(shù)學(xué)家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士論文《投資理論》中，給出了布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述，提出用算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬股票價(jià)格的變化。如果股票價(jià)格遵循算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)將意味著股票價(jià)格可能取負(fù)值，因此股票價(jià)格 不遵循算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)，基于這個(gè)原因，薩繆爾森（P.A.Samuelson）提出股票的收益率服從算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，即股票價(jià)格服從算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)。在柯朗研究所著名數(shù)學(xué)家H.P.McKean的幫助下，薩繆爾

2、森得到了歐式看漲期權(quán)的顯式定價(jià)公式，但是該公式包含了一些個(gè)體的主觀因素。1973年，布萊克（F.Black）和斯科爾斯（M.Scholes）發(fā)表了一篇名為《期權(quán)和公司負(fù)債定價(jià)》的論文，推導(dǎo)出了著名的Black-Scholes公式，即標(biāo)準(zhǔn)的歐式期權(quán)價(jià)格顯式解，這個(gè)公式中的變量全是客觀變量。哈佛大學(xué)教授莫頓（Merton）在《期權(quán)的理性定價(jià)理論》一文中提出了與Black-Scholes類(lèi)似的期權(quán)定價(jià)模型，并做了一些重要推廣，從此開(kāi)創(chuàng)了金融學(xué)研究一個(gè)新的領(lǐng)域。 二、相關(guān)概念和公式推導(dǎo) 1、 布朗運(yùn)動(dòng)介紹 布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian Motion）是指懸浮在流體中的微粒受到流體分子與粒子的碰

3、撞而發(fā)生的不停息的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。然而真正用于描述布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過(guò)程的定義是維納（Winener）給出的，因此布朗運(yùn)動(dòng)又稱(chēng)為維納過(guò)程。 （1）、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 設(shè)代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，代表變量z在時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的具有的兩種特征： 特征1：和的關(guān)系滿足下式： (2.1) 其中，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中的一個(gè)隨機(jī)值。 特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。 從特征1可知，本身也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。 從特征2可知，標(biāo)

4、準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)符合馬爾可夫過(guò)程，因此是馬爾可夫過(guò)程的一種特殊形式。 現(xiàn)在我們來(lái)考察遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形。我們用z（T）-z（0）表示變量z在T中的變化量，它可被看作是在N個(gè)長(zhǎng)度為的小時(shí)間間隔中z的變化總量，其中，因此， (2.2) 其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣值。從特征2可知，是相互獨(dú)立的，因此z（T）-z（0）也具有正太分布特征，其均值為0，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。 由此我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特征：在任意長(zhǎng)度的時(shí)間間隔T中，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的變量的變化值服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。對(duì)于相互獨(dú)立的正態(tài)

5、分布，方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。 當(dāng)時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： （2.3） （2）、普通布朗運(yùn)動(dòng) 為了得到普通的布朗運(yùn)動(dòng)，我們必須引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率：漂移率是指單位時(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率是指單位時(shí)間的方差。 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1.0。漂移率為0意味著在未來(lái)任意時(shí)刻z的均值都等于它的當(dāng)前值。方差率為1.0意味著在一段長(zhǎng)度為T(mén)的時(shí)間段后，z的方差為。我們令漂移率的期望值為，方差率的期望值為，就可以得到變量x的普通布朗運(yùn)動(dòng)：

6、 （2.4） 其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這個(gè)過(guò)程指出變量x關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程。其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時(shí)間為a。第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過(guò)程添加的噪音。這種噪音是由維納過(guò)程的b倍給出的。 從上式（2.1）和（2.4）可知，在短時(shí)間后，x值的變化值為： 因此，也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。同樣，在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。 2、 伊藤引理 普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的

7、漂移率和方差率當(dāng)做變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們可以從公式（2.4）得到伊藤過(guò)程。 其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為。 在伊藤過(guò)程的基礎(chǔ)上，伊藤進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程： （2.5） 其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。由于和都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵循伊藤過(guò)程，他的漂移率為：，方差率為。公式（2.5）就是著名的伊藤引理。 3、 證券價(jià)格的變化過(guò)程 證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為，方差為的伊藤過(guò)程來(lái)表示：

8、 （2.6） 兩邊同時(shí)除以S得： （2.7） 其中S表示證券價(jià)格，表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率，表示證券收益率單位時(shí)間的方差，表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱(chēng)證券的波動(dòng)率。公式（2.7）又被稱(chēng)為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。 從式（2.7）可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為： 可見(jiàn)，也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。換句話說(shuō) 其中，表示均值為m，標(biāo)準(zhǔn)差為s的正態(tài)分布。 在式（2.7）中，我們涉及兩個(gè)符號(hào)，和，其大小取決于時(shí)間計(jì)量單位。在本文

9、中，以年為時(shí)間的計(jì)量單位。 根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理，值取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身比較復(fù)雜。接下來(lái)我們將證明衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率（）是無(wú)關(guān)的。相反，證券價(jià)格的波動(dòng)率（）對(duì)于衍生證券的定價(jià)則是相當(dāng)重要的。證券價(jià)格的波動(dòng)率可以理解為證券價(jià)格的“脾氣”。我們可以通過(guò)歷史數(shù)據(jù)來(lái)觀察各種證券“脾氣”的大小，然后通過(guò)公式（2.7）來(lái)確定其未來(lái)價(jià)格的概率分布。應(yīng)該注意的是，公式（2.7）把當(dāng)做常數(shù)，實(shí)際上，會(huì)隨時(shí)間的變化而變化。 4、 證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過(guò)程 利用伊藤引理來(lái)對(duì)到證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)lnS變化所遵循的隨

10、機(jī)過(guò)程。 令G=lnS，由于 ，， 根據(jù)式（2.5），我們可以得出證券價(jià)格對(duì)數(shù)G也遵循的隨機(jī)過(guò)程為： （2.8） 由于和是常數(shù)，所以上式說(shuō)明證券價(jià)額對(duì)數(shù)G也遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，它具有恒定的漂移率，和恒定的方差率。由前面的分析可知，在當(dāng)前時(shí)刻t和將來(lái)某一時(shí)刻T之間G的變化都是正態(tài)分布的，其均值為，方差為。 令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示T時(shí)刻（將來(lái)時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在T-t期間G的變化為： 這意味著： （2.

11、9） 也就是說(shuō)，證券價(jià)格對(duì)數(shù)的變化呈正太分布。 根據(jù)正太分布的特性，從式（2.9）可以得到： （2.10） 三、布朗運(yùn)動(dòng)伊藤引理的運(yùn)用 本文運(yùn)用布朗運(yùn)動(dòng)和伊藤引理，選取了云南白藥（000538）1993年——2013年的收盤(pán)價(jià)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，數(shù)據(jù)來(lái)源于：通信達(dá)。 經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到云南白藥股價(jià)的波動(dòng)率為每年99.92%，預(yù)期收益率為每年21.33%，2013年5月16日的市價(jià)為87.88元。 1、假設(shè)該股票不付紅利，計(jì)算一周后該股票價(jià)格變化的概率分布 因?yàn)椋?，其股價(jià)過(guò)程為： 在隨后短時(shí)間時(shí)隔后的股價(jià)變化為： 由于一周等于0.0192年，

12、因此 上式表示一周后股價(jià)的增加值是均值為0.3603元，標(biāo)準(zhǔn)差為12.147元的正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣值。 2、假設(shè)該股票在6個(gè)月內(nèi)不付紅利，計(jì)算該股票6個(gè)月后價(jià)格ST的概率分布。 由式（2.10）可知，6個(gè)月后的價(jià)格ST的概率分布為： 由于一個(gè)正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為95.45%，因此，置信度為95.45%時(shí)： 因此，6個(gè)月后云南白藥的股價(jià)落在56.3397元到102.9867元之間的概率為95.45%。 根據(jù)式（2.10）和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特性，可知ST的期望值E(ST)為： 這與作為預(yù)期收益率的定義相符。ST的方差var（ST）為： 因此，云南白藥在6個(gè)月后股票價(jià)格的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 半年后云南白藥股票價(jià)格的期望值為97.7704，方差為6190.136，標(biāo)準(zhǔn)差為78.677。