2019-2020年高考數(shù)學 2.8 函數(shù)與方程練習.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 2.8 函數(shù)與方程練習 (25分鐘　50分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.函數(shù)f(x)=ln(x+1)-的一個零點所在的區(qū)間是(　　) A.(0,1)　　　 B.(1,2)　　 C.(2,3)　　 　D.(3,4) 【解析】選B.由題意知,函數(shù)f(x)=ln(x+1)- 的定義域為(-1,0)∪(0,+∞),結(jié)合四個選項可知,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)-的一個零點所在的區(qū)間是(1,2). 2.(xx天津模擬)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 可以判斷方程ax2+bx+c=0的兩根所在的區(qū)間是(　　) A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-1,3)和(4,+∞) 【解析】選A.由表格可得二次函數(shù)f(x)的對稱軸為y=,a>0,再根據(jù)f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零點所在的區(qū)間是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的兩個根所在的區(qū)間是(-3,-1)和(2,4). 3.(xx合肥模擬)函數(shù)f(x)=log2x-x+2的零點個數(shù)為(　　) A.0 B.1 C.3 D.2 【解析】選D.轉(zhuǎn)化為判斷y=log2x與y=x-2兩函數(shù)圖象的交點的個數(shù),作圖象如下: 圖象有兩個交點,因此函數(shù)零點個數(shù)為2個. 4.(xx湖北高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2-3x.則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點的集合為(　　) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3} 【解題提示】考查函數(shù)的奇偶性、零點及函數(shù)的方程思想.首先根據(jù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求出函數(shù)在R上的解析式,再求出g(x)的解析式,根據(jù)函數(shù)的零點就是方程的解,問題得以解決. 【解析】選D.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 當x≥0時,f(x)=x2-3x, 所以f(x)= 所以g(x)= 由解得x1=3,x2=1, 由解得x=-2-,故選D. 5.已知函數(shù)f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零點分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關系是(　　) A.x20時,f(x)=2 015x+log2 015x,則在R上,函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為　　　　　. 【解析】函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),因此f(0)=0,當x>0時,f(x)=2 015x+log2 015x在區(qū)間(0,)內(nèi)存在一個零點,又f(x)為增函數(shù),因此在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個零點.根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(-∞,0)內(nèi)有且僅有一解,從而函數(shù)f(x)在R上的零點的個數(shù)為3. 答案:3 8.函數(shù)f(x)=3x-7+ln x的零點位于區(qū)間(n,n+1)(n∈N)內(nèi),則n=　　　　　. 【解析】求函數(shù)f(x)=3x-7+ln x的零點,可以大致估算兩個相鄰自然數(shù)的函數(shù)值,如f(2)=-1+ln 2,由于ln 21,所以f(3)>0,所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi),故n=2. 答案:2 【加固訓練】若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(-1,0) D.(-∞,-1) 【解析】選A.令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分01兩種情況,在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象,如圖,若函數(shù)f(x)=ax-x-a有兩個不同的零點,則函數(shù)g(x),h(x)的圖象有兩個不同的交點,根據(jù)畫出的圖象只有當a>1時符合題目要求. 三、解答題 9.(10分)已知二次函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a: (1)判斷命題:“對于任意的a∈R,方程f(x)=1必有實數(shù)根”的真假,并寫出判斷過程. (2)若y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,)內(nèi)各有一個零點,求實數(shù)a的范圍. 【解析】(1)“對于任意的a∈R,方程f(x)=1必有實數(shù)根”是真命題; 依題意:f(x)=1有實根,即x2+(2a-1)x-2a=0有實根, 因為Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0對于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有實根,從而f(x)=1必有實根. (2)依題意:要使y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,)內(nèi)各有一個零點, 只需即 解得:. 故實數(shù)a的取值范圍為. 【方法技巧】二次函數(shù)零點問題的解題技巧 對于二次函數(shù)零點問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題來解決,結(jié)合二次函數(shù)的圖象從判別式,根與系數(shù)的關系、對稱軸、端點函數(shù)值、開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件,這里涉及三個“二次”問題的全面考慮和“數(shù)形結(jié)合思想”的靈活運用. 【加固訓練】1.是否存在這樣的實數(shù)a,使函數(shù)f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在區(qū)間[-1,3]上與x軸有且只有一個交點.若存在,求出a的范圍;若不存在,說明理由. 【解析】因為Δ=(3a-2)2-4(a-1)= +>0,所以若存在實數(shù)a滿足條件, 則只需f(-1)f(3)≤0即可.f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1. 檢驗:①當f(-1)=0時,a=1.所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有兩根,不合題意,故a≠1. ②當f(3)=0時,a=-,此時f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0, 解得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有兩根,不合題意,故a≠-. 綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-)∪(1,+∞). 2.已知函數(shù)f(x)=4x+m2x+1有且僅有一個零點,求m的取值范圍,并求出該零點. 【解析】因為f(x)=4x+m2x+1有且僅有一個零點, 即方程(2x)2+m2x+1=0僅有一個實根. 設2x=t(t>0),則t2+mt+1=0. 當Δ=0時,即m2-4=0,m=2, 所以m=-2時,t=1;m=2時,t=-1(不合題意,舍去). 所以2x=1,x=0符合題意. 當Δ>0時,即m>2或m<-2時, t2+mt+1=0有兩正或兩負根, 即f(x)有兩個零點或沒有零點. 所以這種情況不符合題意. 綜上可知:m=-2時,f(x)有唯一零點,該零點為x=0. (20分鐘　40分) 1.(5分)(xx長沙模擬)如圖是函數(shù)f(x)=x2+ax+b的部分圖象,則函數(shù)g(x)=ln x+f′(x)的零點所在的區(qū)間是(　　) A. B.(1,2) C. D.(2,3) 【解析】選C.由圖象可知 故f(x)=x2+ax-a-1,a∈(-2,-1), 所以函數(shù)g(x)=ln x+f′(x)的零點為函數(shù)y=ln x與函數(shù)y=-f′(x)=-2x-a交點的橫坐標,分析兩函數(shù)圖象得函數(shù)g(x)=ln x+f′(x)的零點所在的區(qū)間是. 2.(5分)(xx石家莊模擬)設函數(shù)f(x)=若互不相等的實數(shù)x1,x2,x3滿足f(x1)=f(x2)=f(x3),則x1+x2+x3的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】選D.函數(shù)f(x)=的圖象如圖, 不妨設x10,且函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5個根,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　. 【解題提示】根據(jù)對函數(shù)的解析式進行變形后發(fā)現(xiàn)當x∈(-1,1],[3,5],[7,9]上時,f(x)的圖象為半個橢圓.根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個實數(shù)解,則需直線y=與第二個半橢圓相交,而與第三個半橢圓無公共點.把直線分別代入橢圓方程,根據(jù)Δ可求得m的范圍. 【解析】因為當x∈(-1,1]時,將函數(shù)化為方程x2+ =1(y≥0), 所以實質(zhì)上為一個半橢圓, 同時在坐標系中作出當x∈(1,3]時的圖象,再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象,如圖, 由圖易知直線y=與第二個半橢圓(x-4)2+=1(y≥0)相交, 而與第三個半橢圓(x-8)2+=1(y≥0)無公共點時,方程恰有5個實數(shù)根, 將y=代入(x-4)2+=1(y≥0)得,(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0), 則(t+1)x2-8tx+15t=0,由Δ=(-8t)2-415t(t+1)>0,得t>15,由9m2>15,且m>0得m>, 同樣由y=與第三個半橢圓(x-8)2+=1(y≥0)聯(lián)立所得方程Δ<0可計算得m<, 綜上可知m∈. 答案: 4.(12分)(xx鄭州模擬)已知y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當x∈[0,+∞)時,f(x)=x2-2x. (1)寫出函數(shù)y=f(x)的解析式. (2)若方程f(x)=a恰有3個不同的解,求a的取值范圍. 【解析】(1)當x∈(-∞,0)時,-x∈(0,+∞). 因為y=f(x)是奇函數(shù), 所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x, 所以f(x)= (2)當x∈[0,+∞)時,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1, 最小值為-1; 當x∈(-∞,0)時,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值為1. 所以據(jù)此可作出函數(shù)y=f(x)的圖象(如圖所示),根據(jù)圖象,若方程f(x)=a恰有3個不同的解,則a的取值范圍是(-1,1). 5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). (1)若y=g(x)-m有零點,求m的取值范圍. (2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根. 【解析】(1)因為x>0時g(x)=x+≥=2e, 等號成立的條件是x=e, 故g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需m≥2e,則y=g(x)-m就有零點. 所以m的取值范圍是[2e,+∞). 【一題多解】本題(1)還可以采用如下解法: 作出g(x)=x+ (x>0)的大致圖象如圖: 可知若使y=g(x)-m有零點,則只需m≥2e. 所以m的取值范圍是[2e,+∞). (2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實根,即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點, 作出g(x)=x+ (x>0)的大致圖象.因為f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所以其圖象的對稱軸為x=e,開口向下,最大值為m-1+e2.故當m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時,g(x)與f(x)有兩個交點,即g(x)-f(x)=0有兩個相異實根. 所以m的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞).