高中數學 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機變量的方差學案 新人教A版選修23

《高中數學 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機變量的方差學案 新人教A版選修23》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機變量的方差學案 新人教A版選修23（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2.3.2　離散型隨機變量的方差 學習目標　1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.3.掌握方差的性質，以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差． 知識點一　方差、標準差的定義及方差的性質 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數相等，所得次品數分別為X和Y，X和Y的分布列如下： X 0 1 2 P Y 0 1 2 P 思考1　試求E(X)，E(Y)． 答案　E(X)＝0＋1＋2＝， E(Y)＝0＋1＋2＝. 思考2　能否由

2、E(X)與E(Y)的值比較兩名工人技術水平的高低？ 答案　不能，因為E(X)＝E(Y)． 思考3　試想用什么指標衡量甲、乙兩名工人技術水平的高低？ 答案　方差． 梳理　(1)方差及標準差的定義 設離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①方差：D(X)＝(xi－E(X))2pi； ②標準差：. (2)方差與標準差的意義 隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。? (3)方差的性質：D(aX＋b)＝a2D(X

3、)． 知識點二　兩點分布與二項分布的方差 X X服從兩點分布 X～B(n，p) D(X) p(1－p)(其中p為成功概率) np(1－p) 1．離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定．(　　) 2．若a是常數，則D(a)＝0.(　√　) 3．離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于均值的平均程度．(　√　) 類型一　求隨機變量的方差與標準差 例1　已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)計算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 考點　離散型隨機變量方差的性質 題點　方差

4、性質的應用 解　(1)由分布列的性質，知＋＋a＝1，故a＝， 從而X2的分布列為 X2 0 1 P (2)方法一　由(1)知a＝， 所以X的均值E(X)＝(－1)＋0＋1＝－. 故X的方差D(X)＝2＋2＋2＝. 方法二　由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)＋0＋1＝－， X2的均值E(X2)＝0＋1＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝. (3)因為Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. 反思與感悟　方差的計算需要一定的運算能力，公式的記憶不能出錯！在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，

5、運用關系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失為一種比較實用的方法．另外注意方差性質的應用，如D(aX＋b)＝a2D(X)． 跟蹤訓練1　已知η的分布列為 η 0 10 20 50 60 P (1)求方差及標準差； (2)設Y＝2η－E(η)，求D(Y)． 考點　離散型隨機變量方差的性質 題點　方差性質的應用 解　(1)∵E(η)＝0＋10＋20＋50＋60＝16， ∴D(η)＝(0－16)2＋(10－16)2＋(20－16)2＋(50－16)2＋(60－16)2＝384， ∴＝8. (2)∵Y＝2η－E(η)， ∴D(Y)＝D(2

6、η－E(η))＝22D(η)＝4384＝1 536. 類型二　兩點分布與二項分布的方差 例2　為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設ξ為成活沙柳的株數，均值E(ξ)為3，標準差為. (1)求n和p的值，并寫出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率． 考點　三種常用分布的方差 題點　二項分布的方差 解　由題意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n. (1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝

7、， 得1－p＝，從而n＝6，p＝. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)， 得P(A)＝＋＋＋＝，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝，所以需要補種沙柳的概率為. 反思與感悟　解決此類問題第一步是判斷隨機變量ξ服從什么分布，第二步代入相應的公式求解．若ξ服從兩點分布，則D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服從二項分布，即ξ～B(n，p)，則D(ξ)＝np(1－p)． 跟蹤訓練2　某廠一批產品的合格率是98%. (1)計算從中抽取一件產品為正品的數量的方差； (2)從

8、中有放回地隨機抽取10件產品，計算抽出的10件產品中正品數的方差及標準差． 考點　三種常用分布的方差 題點　二項分布的方差 解　(1)用ξ表示抽得的正品數，則ξ＝0,1. ξ服從兩點分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98， 所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98(1－0.98)＝0.019 6. (2)用X表示抽得的正品數，則X～B(10,0.98)， 所以D(X)＝100.980.02＝0.196， 標準差為≈0.44. 類型三　方差的實際應用 例3　為選拔奧運會射擊選手，對甲、乙兩名射手進行選拔測試．已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機

9、變量ξ，η，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術并從中選拔一人． 考點　均值、方差的綜合應用 題點　均值與方差在實際中的應用 解　(1)依據題意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1. ∵乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2， ∴乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ，η的分布列分別為 ξ 10 9 8

10、 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)結合(1)中ξ，η的分布列，可得 E(ξ)＝100.5＋90.3＋80.1＋70.1＝9.2， E(η)＝100.3＋90.3＋80.2＋70.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)20.5＋(9－9.2)20.3＋(8－9.2)20.1＋(7－9.2)20.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)20.3＋(9－8.7)20.3＋(8－8.7)20.2＋(7－8.7)20.2＝1.21. ∵E(ξ)>E(η)，說明甲平均射中的環(huán)數比

11、乙高． 又∵D(ξ)

12、 1 2 P 0.1 0.5 0.4 試評定兩個保護區(qū)的管理水平． 考點　均值、方差的綜合應用 題點　均值與方差在實際中的應用 解　甲保護區(qū)的違規(guī)次數ξ的均值和方差分別為 E(ξ)＝00.3＋10.3＋20.2＋30.2＝1.3； D(ξ)＝(0－1.3)20.3＋(1－1.3)20.3＋(2－1.3)20.2＋(3－1.3)20.2＝1.21. 乙保護區(qū)的違規(guī)次數η的均值和方差分別為 E(η)＝00.1＋10.5＋20.4＝1.3； D(η)＝(0－1.3)20.1＋(1－1.3)20.5＋(2－1.3)20.4＝0.41. 因為E(ξ)＝E(η)，D(ξ

13、)>D(η)，所以兩個保護區(qū)內每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數相同，但甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數相對分散和波動，乙保護區(qū)內的違規(guī)事件次數更集中和穩(wěn)定． 1．已知隨機變量X的分布列為 X －1 0 1 P 則下列式子：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正確的個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點　離散型隨機變量方差、標準差的概念與計算 題點　離散型隨機變量的方差、標準差的計算 答案　C 解析　由分布列可知，E(X)＝(－1)＋0＋1＝－，故①正確；D(X)＝2＋2＋2＝，故②不正確，③顯然正確． 2．有甲、乙兩種

14、水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數據，計算出樣本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分別為D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估計(　　) A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊 B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊 C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同 D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較 考點　均值、方差的綜合應用 題點　均值與方差在實際中的應用 答案　B 3．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣10次，設兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數為ξ，則D(ξ)等于(　　) A. B. C. D．5 考點　三種常用分布的方差 題點　二項分布的方差 答案　A 解析　拋擲兩枚均勻硬幣，兩枚硬幣

15、都出現(xiàn)反面的概率為P＝＝， 則易知滿足ξ～B，∴n＝10，p＝， 則D(ξ)＝np(1－p)＝10＝. 4．已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________. X －1 0 1 2 P a b c 考點　離散型隨機變量方差的性質 題點　方差性質的應用 答案　　 解析　由題意知解得 5．編號為1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的人數是ξ，求E(ξ)和D(ξ)． 考點　均值、方差的綜合應用 題點　求隨機變量的均值與方差 解

16、　ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位同學全坐錯了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學生， 則P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位同學只有1位同學坐對了， 則P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位同學全坐對了，即對號入座， 則P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0＋1＋3＝1. D(ξ)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(3－1)2＝1. 1．隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度，以及隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差D(X)或標準差

17、越小，則隨機變量取值偏離均值的平均程度越??；方差D(X)或標準差越大，表明偏離的平均程度越大，說明X的取值越分散． 2．求離散型隨機變量X的均值、方差的步驟 (1)理解X的意義，寫出X的所有可能的取值． (2)求X取每一個值的概率． (3)寫出隨機變量X的分布列． (4)由均值、方差的定義求E(X)，D(X)． 特別地，若隨機變量服從兩點分布或二項分布，可根據公式直接計算E(X)和D(X)． 一、選擇題 1．設一隨機試驗的結果只有A和，且P(A)＝m，令隨機變量ξ＝則ξ的方差D(ξ)等于(　　) A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m)

18、考點　三種常用分布的方差 題點　兩點分布的方差 答案　D 解析　隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 P 1－m m 所以E(ξ)＝0(1－m)＋1m＝m. 所以D(ξ)＝(0－m)2(1－m)＋(1－m)2m＝m(1－m)． 2．牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設發(fā)病的牛的頭數為ξ，則D(ξ)等于(　　) A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804 考點　均值、方差的綜合應用 題點　求隨機變量的均值與方差 答案　C 3．設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝Ckn－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ

19、)＝24，則D(ξ)的值為(　　) A. B．8 C．12 D．16 考點　三種常用分布的方差 題點　二項分布的方差 答案　B 解析　由題意可知ξ～B， 所以n＝E(ξ)＝24.所以n＝36. 所以D(ξ)＝n＝36＝8. 4．若數據x1，x2，…，xn的平均數為6，標準差為2，則數據2x1－6,2x2－6，…，2xn－6的平均數與方差分別為(　　) A．6,8 B．12,8 C．6,16 D．12,16 考點　均值、方差的綜合應用 題點　求隨機變量的均值與方差 答案　C 5．由以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩運動員在比賽中得分情況為 X1(甲得

20、分) 0 1 2 P(X1＝xi) 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P(X2＝xi) 0.3 0.3 0.4 現(xiàn)有一場比賽，派哪位運動員參加較好？(　　) A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．無法確定 考點　均值、方差的綜合應用 題點　均值與方差在實際中的應用 答案　A 解析　E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.120.2＋0.120.5＋0.920.3＝0.49，D(X2)＝1.120.3＋0.120.3＋0.920.4＝0.69，∴D(X1)

21、隨機變量ξ的分布列如下： ξ m n P a 若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于(　　) A. B．2 C．1 D．0 考點　離散型隨機變量方差的性質 題點　方差性質的應用 答案　D 解析　由題意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以當n＝2時，D(ξ)取最小值為0. 7．某同學上學路上要經過3個路口，在每個路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，記X為遇到紅燈的次數，若Y＝3X＋5，則Y的標準差為(　　) A. B．3 C. D．2 考點　三種

22、常用分布的方差 題點　二項分布的方差 答案　A 解析　因為該同學經過每個路口時，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3次獨立重復試驗，即X～B，則X的方差D(X)＝3＝，所以Y的方差D(Y)＝32D(X)＝9＝6，所以Y的標準差為＝. 8．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是(　　) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 考點　三種常用分布的方差 題點　二項分布的方差 答案　B 解析　因為X＋Y＝8，所以Y＝8－X. 因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－100.6＝2， D(Y)＝(－1)2D(X)

23、＝100.60.4＝2.4. 二、填空題 9．隨機變量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數列，若E(ξ)＝，則D(ξ)＝________. 考點　離散型隨機變量方差的性質 題點　方差性質的應用 答案　 解析　由題意得 解得a＝，b＝，c＝，故D(ξ)＝. 10．設隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，則D(η)＝________. 考點　三種常用分布的方差 題點　二項分布的方差 答案　 解析　由隨機變量ξ～B(2，p)，且P(ξ≥1)＝，得P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－C(1－p)

24、2＝，易得p＝.由η～B(4，p)，得隨機變量η的方差D(η)＝4＝. 11．有10張卡片，其中8張標有數字2,2張標有數字5，若從中隨機抽出3張，設這3張卡片上的數字和為X，則D(X)＝________. 考點　均值、方差的綜合應用 題點　求隨機變量的均值與方差 答案　3.36 解析　由題意得，隨機變量X的可能取值為6,9,12. P(X＝6)＝＝， P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝， 則E(X)＝6＋9＋12＝7.8， D(X)＝(6－7.8)2＋(9－7.8)2＋(12－7.8)2＝3.36. 三、解答題 12．為了豐富學生的課余生活，促進校園文化建設，某校

25、高二年級通過預賽選出了6個班(含甲、乙)進行經典美文誦讀比賽決賽．決賽通過隨機抽簽方式決定出場順序．求： (1)甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率； (2)決賽中甲、乙兩班之間的班級數記為X，求X的均值和方差． 考點　均值、方差的綜合應用 題點　求隨機變量的均值與方差 解　(1)設“甲、乙兩班恰好在前兩位出場”為事件A， 則P(A)＝＝. 所以甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率為. (2)隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 隨機變量X的分布列為 X 0 1

26、 2 3 4 P 因此，E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＝. D(X)＝2＋2＋2＋2＋2＝. 13．有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如下： ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好)． 考點　均值、方差的

27、綜合應用 題點　求隨機變量的均值與方差 解　E(ξA)＝1100.1＋1200.2＋1250.4＋1300.1＋1350.2＝125， E(ξB)＝1000.1＋1150.2＋1250.4＋1300.1＋1450.2＝125， D(ξA)＝0.1(110－125)2＋0.2(120－125)2＋0.4(125－125)2＋0.1(130－125)2＋0.2(135－125)2＝50， D(ξB)＝0.1(100－125)2＋0.2(115－125)2＋0.4(125－125)2＋0.1(130－125)2＋0.2(145－125)2＝165， 由此可見，E(ξA)＝E(ξB)，D(

28、ξA)

29、由已知條件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以隨機變量Y的分布列為 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)＝00.3＋20.4＋60.2＋100.1＝3； D(Y)＝(0－3)20.3＋(2－3)20.4＋(6－3)20.2＋(10－3)20.1＝9.8. 故工期延誤天數Y的方差為

30、9.8. 15．一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示． 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立． (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)． 考點　三種常用分布的方差 題點　二項分布的方差 解　(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另1天的日銷

31、售量低于50個”．因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)50＝0.6， P(A2)＝0.00350＝0.15， P(B)＝0.60.60.152＝0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3，相應的概率為 P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C0.63＝0.216， 則X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因為X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝30.6＝1.8， 方差D(X)＝30.6(1－0.6)＝0.72. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375