數(shù)值分析課件數(shù)值微積分

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1、第五章 數(shù)值微積分 數(shù)值積分 Newton-Leibniz 公式 r b f (x)dx = F (b) — 尸(〃). 實(shí)際問題中的局限性： 1)F(x)非常復(fù)雜 2)沒有初等函數(shù)形式的F(x)匚二＞ 數(shù)值積分 3)函數(shù)由離散數(shù)據(jù)組成 5.1數(shù)值求積公式的基本思想 由定積分的定義， 〃 其中, a = x0

2、選取，取哪些節(jié)點(diǎn)好? 求積公式的代數(shù)精度 定義:若求積公式對一切 不高于m次的多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成步，而對于至少一 個m+1次多項(xiàng)式等號不成分，則稱此公式的代數(shù) 精度為m. 代數(shù)精度的求法: /（x）=i,x,x2,x3,...,驗(yàn)證求積公式是 黑藕鬻一個不成立的等式是X%則其代 例1：確定如下求積公式的待定系數(shù)A。、Aj A2, 使其代數(shù)精度盡可能高。 j {x}dx ~ Aof (—1) + \ f (0) + A?/。). 解: 4=1/3 A1=4 / 3 . 4=1/3 取 f(x)=1, X, X2,有 Ao + A + - 2 JL < —An + = 0

3、 VZ An + A? =2/3 u 乙 則 P f(x)dx = [/(-1) + 4x f(0)+ f (l)]/3. 取撿曰3,左=右二。， 但 f（x）=x4時，左二j/x4dx=2/5 w 右=2/3, 所以求積公式具有3次代數(shù)精度。 例2：選擇常數(shù)a,使如下求積公式代數(shù)精度盡量高: Johf(x)dx = h[f(O) +/(h)]/2 + ah2[f(O)-f (h)]. 解：f (x)=1,左=h=h (1+1) /2=右； mf(x)=x, =h2/2=h (0+h) /2=右； f(x)=x2,左=h3/3, 右力(0+h2) / 2+ ah2 (-2

4、h) = h3/2-2ah3, 令 h3/2?2ah3/3/3, Ma =1/12. m f(x)=x3,左也/4, ^=h(h3)/2+h2(-3h2)/12=h4/4； m f(x)=x4, *=h5/5, ^=h5/2+h2(-4h3)/12=h5/6, 左。右，所以a=1/12時，求積公式有3次代數(shù)精度。 5.2 Newton-Cotes求積公式 1、插值型求積公式 給定一組節(jié)點(diǎn) 〃 =/ <%… < 力〃=。 構(gòu)造n次Lagrange型插值多項(xiàng)式 k=0 八 其中4（X）= n（X 一勺）為n次Lagrange插值基函數(shù), j=u jk 則 /(x) = L〃

5、(x) + R(x). (/)，()〃(7) / 近似函數(shù) =]：力 Mf^)dx =J[f-)/(%,). z= 7.一? a 其中，A只與求積節(jié)點(diǎn)有關(guān)，與被積函數(shù)無關(guān). 誤差 cb pb /(7)-/〃(/) = [ R,X^dx = \ ~~~~善①〃(x)dx. Ja J” (H + 1)! 可以看出，至少n階代數(shù)精度. 2、等距節(jié)點(diǎn)情形(Newton-Cotes) 取步長 h = ———, a + i/i, i — 0,??,/7, 4二廠/G）辦二廠（一6-（一九）（一/）?《一〃）dx a "（%—/）.??（為 一九）（七一九）…"一"） x—a

6、^th /(/ — 1)???(/ — / +1)(/ — / 一1)???(/一〃) /!(〃一/)!(—1)〃一 hdt —nh ——— 「力(/ - 4)/=M - W - 〃 /!(〃 — /)! *=o 丁" koi 」 ▼ 與區(qū)間選取無關(guān) 、b J(x)dx = (b - a)工 c「)f(X). a i=0 1 2 3 4 N e wt o n?C otes系數(shù)表 （〃）

7、 1/2 1/2 1/6 2/3 1/6 1/8 7/90 3/8 3/8 1/ 16/45 2/15 16/45 7/90 梯形公式(n=1)： C：D = _/ (t - l)dt = Cf) = J。皿 =；, ??. n/]=s-〃)l!/(〃)+!/(創(chuàng). 0 xo xi X Simpson 公式(n=2)： g 1 r 2 1 0o - ->0 (t - - 2)dt =—, c⑵=("2)&

8、 = J C產(chǎn)=/o=(-l)d"》 1 4 b+a 1 S[f]=(b- * f(a)+-八彳)+: /]. o o 2 o y=L2(x) y=f(x) 0 x0 Xi X2 例3：計(jì)算1 = J1 X 解：由Newton-Leibniz公式得 「2 1 I= \ -^/x = ln2-0.69314718. Ji x 由梯形公式, I - -( — + -) = 0.75〉 2 2 1 1 1 1 1 由Simpson

9、公式，7 ^-(- + 4 —+ -) = 0.6944, 1 1 1 1 由 Newton 公式，/ 小 + 377T+3—?竺 75, o 4/ 3 3/3 2 由 Cotes 公式， 7-0.693175. 3、N?C公式的截?cái)嗾`差和代數(shù)精度 梯形公式 %(7) =1/(、)辦-7"] b 于必)(x - a)(x - b)dx U 2! b (x-a)(x-b)dx (積分中值定理) =-彳。兵(〃㈤ JL Simpson 公式 構(gòu)造三次Hermite插值多項(xiàng)式H(x),滿足 a + b 八 a + b ，a + b 八 a + b H3(-) = /

10、(丁),2(亍)=尸(亍 r b r b Rs(f) = Kf)-S[f] = [ f(x)dx-[ H3(x)dx 4! / (x — a) x — a + b "T" \2 {x — b)dx 4! 1 ( b-a\5 a I (x _ cT) x — J a i a-Vb ~2~ \2 (x-b)dx f ⑷(5 = _("〃)： 2880 -4)(J. & ■力) 90 2 ) 梯形公式的代數(shù)精度 ——次代數(shù)精度 當(dāng)/(x)二用 xdx = -x2 2 b =-(b2-a\ a 2 T[f]=彳X/(〃) + /S

11、))= (u + /?) — j f (x)dx) /(%)二產(chǎn)， 「 f (x)dx = j：ddx = f ： = g(03 一〃3), T[/] = —(/W + /(b))=彳(儲 + 廿)打J3此 LJ」 2 2 Simpson公式的代數(shù)精度 三次代數(shù)精度 當(dāng) /。）=乂 心 rb 1 \a f (x)dx = xdx = — (b2-a2\ s[f] = ~I-(f(a) + 4/(^^) + /S)) _ b — a a + b 7、 1 ) 0 =丁(〃 + 4亍+力)=”…). T(x) H b — a、2 、、a + b，2 ~ 2J (

12、42+4( )—+b—) 6 Z n ^-(242 + 4ab + 2b2) L(b3 I 6 3 rb x2dx =；(//-/), 當(dāng) /(X)= X3, ?b f (x)dx = a S[f]=?(/(。) + 4/(9)+ f(b)) o 2 b-a z 3 “4 + 匕、3 7 3、 = (成+縱]―+") o 2 b — Cl 7 1 7 9 0 2 2 -6 +—(fl3 + 3a~b + 3 ab~

13、 + /) + 分) -~~~—(a3 +a2b + ab2 +Z73)=—(Z74 - 6 2 4 定理：含有n個求積節(jié)點(diǎn)的插值型求 積公式至少具有n?1次代數(shù)精度。 定理：對于N?C公式，當(dāng)n為奇數(shù)時 至少具有n次代數(shù)精度，當(dāng)n為偶數(shù) 時至少有n+1次代數(shù)精度。 注：實(shí)際計(jì)算中一般只用低階N?c公式 （高階不穩(wěn)定） 3 -- 例5.用n=2和n=3的N?C公式近似計(jì)算｛ e 2dx. 解：n=2時， c ;1Gl 2 3 r 3 — / — — — I e 2dx --(e 2+4e 2 2) = 0.766575505, n=3 時， 2 e 2小。區(qū)(e 2

14、+3e 6+3^ e+e 2)= 0.766916279, 3 -- ({ e，仆 0.7668010.) 5.3復(fù)化求積公式 從余項(xiàng)的形式可以看到，積分區(qū)間越小，求積 公式的截?cái)嗾`差越小。因此，可以把積分區(qū)間 分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低次 求積公式（梯形公式或拋物線公式）計(jì)算積分, 然后相加得到整個區(qū)間上的積分近似值，這就 是復(fù)化求積的基本思想。 1、復(fù)化梯形公式 h - a 把區(qū)間(a,b) n等分， h = .xi = a + ih,i = 0.--,n. n ■ x， 3 +7(x)=-(f(xz)+f(x/+1))---f "(G 也 2

15、12 pb 〃T f h 力3 ] .a /(X)dX =[ j ] (/a ) + /(^+1))--/"(^)] L ( 〃-1 \ " /(0+2Z/a)+/s) 2 I z=l 7 i=0 1， =，(/)+叫⑺. ，一1 卜 3 i3 h — H 用.⑺=25 f "&)=-* f 切=〃 f ”⑺ 1=0 1/ 1/ 1/ 38時,20, rt (/) 0, T”)TI. 1 定義：若某求積公式的誤差滿足^當(dāng)U一, 且C/0,稱該公式是P階收斂的。 2、復(fù)化Simpson公式 n等分(a,b) , h = -—Jxi=a + ih,i = 0, n 1

16、 f(x)dx=Vf(x)dx Ja i=0 〃T h h5 = 75(2+4/(備舊)+/(%))—詆/⑷) i=o [b 2 ZooU 和3)+2|+4鄉(xiāng)”同一篇 =SK)+RsSf) Rs 〃⑺二一 h5 2880 〃一1 i=0 (b-a) 2880 『8). r 1 4 例6：計(jì)算 = J -dx. J o 1 + X 解：/(%) = ; 4 1 + x2 1「 3 k r8 f(0) + 2^/(-) +/(1)= 3.138988494, 1。L k=i o

17、 _ 54=— /(。)+ 2於)+4/(!)+ /⑴ L even 3 0dd X _ -3.141592502. 運(yùn)算量基本相同，但Simpson公式精度更高. 例7.對于定積分/ = fnxdx,分別用復(fù)化梯形 Jo 公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算，要使得截?cái)嗾` 差不超過JxlO-5試問劃分?jǐn)?shù)n至少取多少？ 2 解： r r ("—，)1 2 匯、 兀 / 2 / TC / 2、2 / . ”匕、 71 卬川=——^// (^)=-—(——)~(sm J), 12 12 n 0|號",川| , 兀 \ 1 a-5 7 sHi 24 (2療 < ——7

18、 W—X10 \ 96n2 2 n > 80. 卬㈤?篇小丘一端心 jr 1 n Rs[f,h] <—^―/24<-x10-5, s3 5760 2 => /i < 0.31 n 〃 > 型 2- - 5.1, 0.31 /. n>6. 總結(jié): 梯形求積公式和拋物線求積公式是低精度方法，但 對于光滑性較差的函數(shù)有時比用高精度方法能得到 更好的效果。復(fù)化梯形公式和Simpson公及，精 度較高，計(jì)算簡單，使用非常廣泛。 5.4變步長求積法 實(shí)際應(yīng)用中，往往事先很難估計(jì)合適的劃分 數(shù)n,使結(jié)果達(dá)到預(yù)期精度。 因?yàn)榉贮c(diǎn)的加密會改善精度，因此可以采用 自動加密分點(diǎn)的方式，并利用事

19、后估計(jì)判斷 精度是否足夠，從而停止計(jì)算。 n等分區(qū)間(a,b) , h = ~~~=a + ih,i = 0,…,n. n ij r 一 Tn=- 〃〃)+ /3) + 2Z/Q), 2 L /=i _ lj「 〃-1 n-1 T2n=- /(〃)+/@+2/(h)+2/限) " z=l i=Q i=0 /（/f（7）=-與萼修］f"（??）, 1， \ 7 若fwf有 /）-氏（/）=!（耳（/）-4（/））. t 事后誤差估計(jì) ???；（丁2〃CO-，（/））＜ 時可停止計(jì)算. jj 例：計(jì)算1 = 1）分別用梯形公式和Simpson公式計(jì)算并估計(jì)誤差

20、; 2）用"5的復(fù)化梯形公式計(jì)算并估計(jì)誤差; 3）用變步長梯形公式計(jì)算，使其誤差小于10-5- 1) 7lq(0) + T(l)) H I + F975. s =4()(0) + 41(")+ f (1)) =4(1 + 4> H) H 乎。.69444. 6 2 6 3/2 2 36 ksht—o) JL N?！?66672 K(S)H翡(TR 建八翡亍。)5 亶2008333.

21、 2）令h = ^~ = L = 02, n 5 構(gòu)造節(jié)點(diǎn)玉=0 +九（，=（M2345），有: t5w = -[-^- 2 1 + 0 0.2 ri F+: c / 1 1 1 1 、 「 -+ 2 X （ F H + ） + ] 1 + 0.2 1 + 0.4 1 + 0.6 1 + 0.8 1 + 1 - + — + — + — + -]-0.695635, 0.6 0.7 0.8 0.9 2 3）計(jì)算（,心,卻勾工6，%，… 直至-乙〃-7； 410-5為止, 3 N 〃 〃 其中，丁如二夕〃 + b — a^ （ 、 \ /（玉+1/2

22、）? 2〃 i=Q 數(shù)值微分 當(dāng)函數(shù)f(x)以離散列表盛慧舞著篝蠹 f(x)過于復(fù)雜病，要求用數(shù)值的方法計(jì)算節(jié)點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)值。 由導(dǎo)數(shù)的定義： = lim 20 6 一0 2/1 一個自然且簡單的方法：取極限的近似值，即差商， ?向前差商 /(%) ?/(%+%)—/(%) 由Taylor展式 * /(% + 用)=/(x0)+V，(x0)+—-/"(^), x0<^

23、0)~ hf \x0) + — f H(^), x0-h<^ 12 6 注：由誤差表達(dá)式，h越小，誤差越小，但同時 舍入誤差增大，所以，有個最佳步長. 事后誤差估計(jì)：設(shè)

24、D(h),D(h/2)分別為步長為 h,h/2的差商公式。貝！| 時的步長h/2就是合適的步長. 例12： f(x)=exp(x). 采用中心差分格式, h V (1.15) R(x) h V (1.1 5) R(x) 0.10 3.1630 -0.0048 0.05 3.1590 -0.0008 0.09 3.1622 -0.0040 0.04 3.1588 -0.0006 0.08 3.1613 -0.0031 0.03 3.1583 -0.0001 0.07 3.1607 -0.0025 0.02 3.

25、1575 -0.0007 0.06 3.1600 -0.0018 0.01 3.1550 -0.0032 插值型微分公式： 用插值函數(shù)p（x）的導(dǎo)數(shù)近似原函數(shù)HX）的導(dǎo)數(shù) f 口） = P;（x） 一般只考慮節(jié)點(diǎn)上 f 3 口 P”口） 導(dǎo)數(shù)的近似值 誤差 /「f（n+D（5） - R（x） = ?。?（幻 一 - 5 + 1）! - dx L Rax年而 ?兩點(diǎn)公式（n=1） 1 h h 2 < 1 A /（%）=7（“％）-/（/））, Rgy l h 2 ?三點(diǎn)公式（n=2） 1 , Ij2 /（不）=大■（—3% + 4% — >2

26、），R（%） = V/⑶G）） 2/z 3 i , 后 < /,（xi）=-（—% + %， R （%）=—"—/（3）GX 2n 6 1 A2 /（%）= ▽（%-4%+3%）, -a） = ^7。） 6）. 2/z 3 例13：設(shè)/(x) = lnx,取h=0.05,用三點(diǎn)公式 計(jì)算f (2)的近似值。 解: 八2)= 八2)。 1 2x0.05 1 2x0.05 (—3/(2)+4/(2.05)—/(2.10))=0.49980286, (-/(1.95)+/(2.05)) =0.50010421, /,(2)^t4^(/(i-90)~4/(l95)+3/(2))=O-499779^ ZXU.UD 真值 V (2)=05 1 _0 9 1 _n 7 \R（T, ）|= —0.21 2 < —0.22 。0.066667. "I 12 （1 + 〃）3 12 （1 + 0）3