湖南省某知名中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末結(jié)業(yè)考試試題 文實(shí)驗(yàn)班含解析2

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1、 衡陽八中2018年上期高二年級實(shí)驗(yàn)班結(jié)業(yè)考試試卷 文科數(shù)學(xué)（試題卷） 本卷共12題，每題5分，共60分，在每題后面所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的。 1. 設(shè)集合， ，則（ ） A. {－1} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {0,1,2} 【答案】B 【解析】 【分析】 解出集合，進(jìn)而求出，即可得到. 【詳解】 故. 故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查集合的綜合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題. 2. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第

2、一象限 【答案】D 【解析】 根據(jù)題意得到， 對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限。 故答案為：D。 3. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 由等差數(shù)列性質(zhì)知，則. 所以. 故選A. 4. 要想得到函數(shù)的圖象，只需將的圖像( ) A. 向左平移個(gè)單位 B. 向左平移個(gè)單位 C. 向右平移個(gè)單位 D. 向右平移個(gè)單位 【答案】B 【解析】 函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到 故選：B． 5. 若正方形的邊長為1，則在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于1的概

3、率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于的點(diǎn)，在以點(diǎn)為圓心以為半徑的四分之一圓內(nèi)，面積為 ，所以在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于的點(diǎn)的概率為 ，故選A. 【方法點(diǎn)睛】本題題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本裏件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤

4、；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí) , 忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤. 6. 已知，，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知， 所以，故選A. 7. 若雙曲線x2﹣=1（b＞0）的一條漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是（　） A. （1，2] B. [2，+∞） C. （1，] D. [，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】 雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于圓心到漸近線的距離大于等于半徑 ．解出即可． 【詳解】圓的

5、圓心，半徑 ． ∵雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個(gè)交點(diǎn)， ∴ ，化為 ． ， ∴該雙曲線的離心率的取值范圍是 ． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程、離心率的計(jì)算公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，屬中檔題.． 8. 《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中提到一種名為 “芻甍”的五面體，如圖所示，四邊形是矩形，棱，，和都是邊長為2的等邊三角形，，則這個(gè)幾何體的體積是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本題可以采用分割的方法，過做一個(gè)與平面垂直的平面，這個(gè)平面把幾何體分割成三

6、部分，包括1個(gè)三棱柱和兩個(gè)四棱錐，其中兩個(gè)四棱錐的體積相等，三者相加得到結(jié)果． 【詳解】過作平面，垂足為，取的中點(diǎn)，連結(jié)， 過作，垂足為，連結(jié)． ∵和都是邊長為2的等邊三角形，， ∴ 采用分割的方法，過做一個(gè)與平面垂直的平面，這個(gè)平面把幾何體分割成三部分， 如圖，包含1個(gè)三棱柱，兩個(gè)全等的四棱錐：， ∴這個(gè)幾何體的體積： 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查不規(guī)則幾何體的體積求法，本題解題的關(guān)鍵是看出幾何體可以分成三部分，逐個(gè)求出三部分的體積，考查運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題． 9. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）

7、A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由函數(shù)是偶函數(shù)，排除A，C， 當(dāng)，.排除B 故選：D. 點(diǎn)睛：識(shí)圖常用的方法 (1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題； (2)定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題； (3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題． 10. 公元263年左右，我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法，所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率近似值的方法.如圖是利用

8、劉徽的割圓術(shù)”思想設(shè)汁的一個(gè)程序框圖，若輸出的值為24，則判斷框中填入的條件可以為（ ） (參考數(shù)據(jù)：) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 模擬執(zhí)行程序可得：，，不滿足條件，，，不滿足條件，，，因?yàn)檩敵龅闹禐?4，則滿足條件，退出循環(huán)，故判斷框中填入的條件為. 故選C. 11. 若存在(x,y)滿足，且使得等式3x+a(2y-4ex)(lny-lnx)=0成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. (－∞,0)∪[，+∞) B. [，+∞) C. (－∞,0) D. (0,] 【答案】B 【

9、解析】 【分析】 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，把化為 設(shè)，求出 的取值范圍；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，建立不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示； 可化為， 設(shè)，其中 ；∴ 令 則 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)， 解得 或 ；又值不可能為負(fù)值， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃以及函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用問題，是難題． 12. 已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）﹣x2在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　?。? A. [15，+∞） B. C.

10、[1，+∞） D. [6，+∞） 【答案】A 【解析】 ∵，∴， 又?p，q∈（0，1），且p≠q，不等式恒成立?恒成立， 即恒成立，其中 整理得：恒成立，x∈（0，1）． 令，則． ∵，其對稱軸方程為，h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x→1時(shí)，h（x）→15， ∴a≥15，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[15，+∞）， 故選：A． 點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題： （1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題； （2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為; （3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為 二.填空題

11、（每題5分，共20分） 13. 已知向量，.若，則______． 【答案】2 【解析】 由題意得， 又，， ∴，解得． 答案：2 14. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，直線PF與以O(shè)F為直徑的圓相交于點(diǎn)M（異于點(diǎn)F），若點(diǎn)M為PF的中點(diǎn)，且直線PF的斜率為，則橢圓的離心率為____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】 由為的中點(diǎn)，則為的中位線，為等邊三角形，邊長為 代入橢圓方程： 由 即可求得橢圓的離心率． 【詳解】由題意可知：為的中點(diǎn)，則為的中位線，， 且直線PF的斜率為，則 為等邊三角形，邊長為代入橢圓方程： 由，則

12、 ，解得：，由，解得 故答案為：﹣1. 【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題． 15. 長方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，為的中點(diǎn)，，，且四邊形為正方形，則球的直徑為________. 【答案】4或 【解析】 【分析】 設(shè)，則 由余弦定理可得，求出，即可求出球的直徑． 【詳解】設(shè)，則 由余弦定理可得 ∴或， ，球的直徑為 或，球的直徑為 ． 故答案為：4或． 【點(diǎn)睛】本題考查球的直徑，考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出是關(guān)鍵． 16. 若函數(shù) ，且在實(shí)數(shù)上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)______

13、____． 【答案】 【解析】 函數(shù) ，且在實(shí)數(shù)上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于的圖象與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?,所以兩函數(shù)都是偶函數(shù)，圖象都關(guān)于 軸對稱，所以必有一個(gè)交點(diǎn)在 軸上（如果交點(diǎn)都不在軸上，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)），又因?yàn)?，即于的圖象過原點(diǎn)，所以的圖象也過原點(diǎn)，所以，可得，故答案為. 三.解答題（共6題，共70分） 17. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且 . （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：(1)由;(2)，利用錯(cuò)位相減法求和即可. 試題解析： （Ⅰ），， 則數(shù)列是以3為首項(xiàng)

14、，以2為公比的等比數(shù)列， ，即. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，. ， ， ， 則. 點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解. 18. 如圖，正三棱柱中，為的中點(diǎn). （1）求證：； （2）若點(diǎn)為四邊形內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)，且三棱錐的體積為三棱柱體積的，試在圖中畫出點(diǎn)的軌跡，并說明理由. 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解

15、析】 試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，首先證明平面得到，在正方形中，利用三角形全等可得，進(jìn)而得到平面，即可得到結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，連接，則線段為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可通過和證得平面可得結(jié)論. 試題解析：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接， ∵平面，平面， ∴所以． ∵為正三角形，為的中點(diǎn)，∴， 又∵平面，， ∴平面， 又∵平面，所以 正方形中，∵，∴， 又∵， ∴，故， 又∵，平面， ∴平面， 又∵平面，∴． （2）取中點(diǎn)，連接，則線段為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．理由如下． 設(shè)三棱錐的高為， 依題意 故． 因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，故，又因?yàn)槠矫?，平面? 所以平面，所以到平面的距離為．

16、19. 某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下： 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 頻數(shù) 1 3 2 4 9 26 5 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 頻數(shù) 1

17、 5 13 10 16 5 ⑴在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖： ⑵估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率； ⑶估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表．） 【答案】（1）見解析（2）0.48（3） 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表能作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖． （2）根據(jù)頻率分布直方圖能求出該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率． （3）由題意得未使用水龍頭5

18、0天的日均水量為0.48，使用節(jié)水龍頭50天的日均用水量為0.35，能此能估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水． 【詳解】（1） （2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48， 因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48． （3）該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為 ． 該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為 ． 估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水． 【點(diǎn)睛】本題考查頻率分由

19、直方圖的作法，考查概率的求法，考查平均數(shù)的求法及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題． 20. 在直角坐標(biāo)系中，橢圓 的離心率為，點(diǎn)在橢圓上． （1）求橢圓的方程； （2）若斜率存在，縱截距為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線的斜率均存在，求證：直線的斜率依次成等差數(shù)列． 【答案】（1）（2）見解析 【解析】 【分析】 （1）由可得，，又，，又在橢圓上，可得，據(jù)此即可得出． （2）設(shè)，代入知，設(shè)，則， 則 可以用表示，將上面兩式代入即可得到，即問題得證. 【詳解】（1）由知 （2）設(shè)，代入知 設(shè)，則，

20、 ∴直線的斜率依次成等差數(shù)列。 【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查計(jì)算能力，屬于難題． 21. 已知函數(shù). （1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性；若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）（2）單調(diào)性見解析， 【解析】 試題分析：（1）由切線斜率就是切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值，易知；（2）求導(dǎo)，分正負(fù)兩類討論，得單調(diào)性，所以，解得的取值范圍為． 試題解析： （Ⅰ）依題意，，所以， 因?yàn)榕c直線：垂直，得，解得． （Ⅱ）因?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間； 當(dāng)時(shí)，

21、由，，解得； 由，，解得； 由，，解得； 此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為． 綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為． 若存在極值點(diǎn)，由函數(shù)的單調(diào)性知，且； 由，解得． 所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍為． 點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用。本題考查分類討論解決單調(diào)性問題，由導(dǎo)函數(shù)得到分類的情況，由目標(biāo)函數(shù)（二次函數(shù)）的開口方向，即導(dǎo)函數(shù)的恒正和有正負(fù)進(jìn)行分類，得到單調(diào)性之后，得到極值點(diǎn)求解即可。 22. （選修4-4.坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在直角坐標(biāo)系

22、中，直線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)， ）.在以 為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線 ： . （1）當(dāng) 時(shí)，求 與 的交點(diǎn)的極坐標(biāo)； （2）直線 與曲線 交于 ， 兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù) ， 互為相反數(shù)，求 的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 試題分析：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為，聯(lián)立解出方程組即可；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)果. 試題解析：（1）由，可得， 所以，即， \當(dāng)時(shí)，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），化為直角坐標(biāo)方程為， 聯(lián)立解得交點(diǎn)為或， 化為極坐標(biāo)為， （2）把直線的參數(shù)方程代入曲線，得， 可知，， 所以

23、． 23. （選修4-5.不等式選講） 已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，解不等式； （2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：（1），解得解集是；（2）去絕對值分類得。 試題解析： （1）時(shí)，， 故，即不等式的解集是； （2）時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，，顯然滿足條件，此時(shí)為任意值； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，可得或，求得； 綜上，. 點(diǎn)睛：本題考查絕對值不等式問題。解絕對值不等式的基本思想是去絕對值，得到分段函數(shù)，再分別解不等式即可。絕對值問題的核心就是去絕對值。 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375