高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案52】雙曲線含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 學(xué)案52　雙曲線 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想． 自主梳理 1．雙曲線的概念 平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a(2a<2c)，則點(diǎn)P的軌跡叫________．這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的________，兩焦點(diǎn)間的距離叫________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a>0，c>0； (1)當(dāng)_

2、_______時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是________； (2)當(dāng)________時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是________； (3)當(dāng)________時(shí)，P點(diǎn)不存在． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸 對稱中心：原點(diǎn) 對稱軸：坐標(biāo)軸 對稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) 頂點(diǎn)坐標(biāo)： A1(－a,0)，A2(a,0) 頂點(diǎn)坐標(biāo)： A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝x y＝x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)

3、，其中c＝ 實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a、b、c的關(guān)系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 3.實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線為________________，其漸近線方程為________，離心率為________． 自我檢測 1．(20xx安徽)雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 2．已知雙曲線－＝1 (b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中一條漸近線方程為

4、y＝x，點(diǎn)P(，y0)在該雙曲線上，則等于(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．4 3．(20xx課標(biāo)全國)設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D．3 4．(20xx武漢調(diào)研)已知點(diǎn)(m，n)在雙曲線8x2－3y2＝24上，則2m＋4的范圍是__________________． 5．已知A(1,4)，F(xiàn)是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，求|PF|＋|PA|的最小值．

5、 探究點(diǎn)一　雙曲線的定義及應(yīng)用 例1　已知定點(diǎn)A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A，B的橢圓，求另一焦點(diǎn)F的軌跡方程． 變式遷移1　已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程． 探究點(diǎn)二　求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2　已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過點(diǎn)P(4,3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 變式遷移2　(20xx安慶模擬)已知雙曲線與橢圓＋＝

6、1的焦點(diǎn)相同，且它們的離心率之和等于，則雙曲線的方程為____________． 探究點(diǎn)三　雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用 例3　已知雙曲線的方程是16x2－9y2＝144. (1)求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程； (2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大?。? 變式遷移3　已知雙曲線C：－y2＝1. (1)求雙曲線C的漸近線方程； (2)已知M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)．記λ＝，求λ的取值范圍．

7、 方程思想的應(yīng)用 例　(12分)過雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)． (1)求|AB|； (2)求△AOB的面積； (3)求證：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|. 多角度審題　(1)要求弦長|AB|需要A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)或設(shè)而不求利用弦長公式，這就需要先求直線AB；(2)在(1)的基礎(chǔ)上只要求點(diǎn)到直線的距離；(3)要充分聯(lián)想到A、B兩點(diǎn)在雙曲線上這個(gè)條件． 【答題模板】 (1)解　由雙曲線的方程得a＝，b＝， ∴c＝＝3，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)． 直線AB的方程為y＝

8、(x－3)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由，得5x2＋6x－27＝0.[2分] ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝.[4分] (2)解　直線AB的方程變形為x－3y－3＝0. ∴原點(diǎn)O到直線AB的距離為d＝＝.[6分] ∴S△AOB＝|AB|d＝＝.[8分] (3)證明　 如圖，由雙曲線的定義得 |AF2|－|AF1|＝2， |BF1|－|BF2|＝2，[10分] ∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|， 即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分] 【突破思維障礙】 寫出直線方程，聯(lián)立直線方

9、程、雙曲線方程，消元得關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求|AB|，再求點(diǎn)O到直線AB的距離從而求面積，最后利用雙曲線的定義求證等式成立． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 在直線和雙曲線相交的情況下解題時(shí)易忽視消元后的一元二次方程的判別式Δ>0，而導(dǎo)致錯(cuò)解． 1．區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c的大小關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2；雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈(0,1)． 2．雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝x，－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝x. 3．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判

10、斷是否滿足雙曲線的定義，若滿足，求出相應(yīng)的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系數(shù)法，其步驟是：①定位：確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；②設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程；③定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．雙曲線左邊一支 C．雙曲線右邊一支 D．一條射線 2．設(shè)點(diǎn)P在雙曲線－＝1上，若F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，則△F1PF2的周長等于(　　) A

11、．22 B．16 C．14 D．12 3．(20xx寧波高三調(diào)研)過雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點(diǎn)為M)，交y軸于點(diǎn)P.若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 4．雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，則分別以PF1和A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．相離 C．相切 D．內(nèi)含 5．(20xx山東)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙

12、曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx上海)設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m＝________. 7．設(shè)圓過雙曲線－＝1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則此圓心到雙曲線中心的距離為______． 8．(20xx銅陵期末)已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)根據(jù)下列條件，求雙曲線方程： (1)與雙曲

13、線－＝1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)(－3，2)； (2)與雙曲線－＝1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)． 10．(12分)(20xx廣東)設(shè)圓C與兩圓(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切． (1)求圓C的圓心軌跡L的方程； (2)已知點(diǎn)M(，)，F(xiàn)(，0)，且P為L上動(dòng)點(diǎn)，求||MP|－|FP||的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 11．(14分)(20xx四川)已知定點(diǎn)A(－1,0)，F(xiàn)(2,0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線

14、交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N. (1)求E的方程； (2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由． 學(xué)案52　雙曲線 自主梳理 1．雙曲線　焦點(diǎn)　焦距　(1)ac　3.等軸雙曲線　y＝x　e＝ 自我檢測 1．C　[∵2x2－y2＝8，∴－＝1， ∴a＝2，∴2a＝4.] 2．C 3．B　[設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點(diǎn)且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2(－1

15、)＝，∴y＝，故|AB|＝，依題意＝4a， ∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.] 4．(－∞，4－2]∪[4＋2，＋∞) 5．解　設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義可知 |PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|， ∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|. ∴當(dāng)滿足|PF1|＋|PA|最小時(shí)，|PF|＋|PA|最小． 由雙曲線的圖象可知當(dāng)點(diǎn)A、P、F1共線時(shí)，滿足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值為|AF1|＝5， 故所求最小值為9. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，

16、這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量．在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，以確保軌跡的純粹性和完備性． 解　設(shè)F(x，y)為軌跡上的任意一點(diǎn)， 因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上， 所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a (其中a表示橢圓的長半軸)． 所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|. 所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2. 所以|FA|－|FB|＝2. 由雙曲線的定義知，F(xiàn)點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長的雙曲線的下半支上． 所以點(diǎn)F的軌跡方程

17、是y2－＝1 (y≤－1)． 變式遷移1　解　 設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由已知得，|MC1|＝r＋， |MC2|＝r－， ∴|MC1|－|MC2|＝2， 又C1(－4,0)，C2(4,0)， ∴|C1C2|＝8.∴2<|C1C2|. 根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以 C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支． ∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14. ∴點(diǎn)M的軌跡方程是－＝1 (x≥)． 例2　解題導(dǎo)引　根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選取方程的形式，當(dāng)焦點(diǎn)不能定位時(shí)，則應(yīng)分兩種情況討論

18、．解決本題的方法有兩種：一先定位，避免了討論；二利用其漸近線的雙曲線系，同樣避免了對雙曲線方程類型的討論．在共漸近線的雙曲線系－＝λ (參數(shù)λ≠0)中，當(dāng)λ>0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)λ<0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上． 解　方法一　∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0， 當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2

19、(λ≠0)， ∵雙曲線過點(diǎn)P(4,3)，∴－32＝λ，即λ＝－5. ∴所求雙曲線方程為－y2＝－5，即－＝1. 變式遷移2?。? 解析　由于在橢圓＋＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)，離心率e＝.根據(jù)題意知，雙曲線的焦點(diǎn)也應(yīng)在y軸上，坐標(biāo)為(0，4)，且其離心率等于－＝2.故設(shè)雙曲線的方程為－＝1 (a>0，b>0)，且c＝4，所以a＝c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是雙曲線的方程為－＝1. 例3　解題導(dǎo)引　雙曲線問題與橢圓問題類似，因而研究方法也有許多相似之處，如利用“定義”“方程觀點(diǎn)”“直接法或待定

20、系數(shù)法求曲線方程”“數(shù)形結(jié)合”等． 解　(1)由16x2－9y2＝144，得－＝1， ∴a＝3，b＝4，c＝5.焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－5,0)， F2(5,0)，離心率e＝， 漸近線方程為y＝x. (2)||PF1|－|PF2||＝6， cos∠F1PF2＝ ＝ ＝＝0， ∴∠F1PF2＝90. 變式遷移3　解　(1)因?yàn)閍＝，b＝1，且焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為y－x＝0，y＋x＝0. (2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則Q的坐標(biāo)為(－x0，－y0)， λ＝＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1) ＝－x－y＋1＝－x＋2. ∵|x0|≥，∴λ的取值范圍是(－∞，

21、－1]． 課后練習(xí)區(qū) 1．C　2.A　3.A　4.C 5．A　[∵雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x， 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4，∴圓心為C(3,0)． 又漸近線方程與圓C相切， 即直線bx－ay＝0與圓C相切， ∴＝2，∴5b2＝4a2.① 又∵－＝1的右焦點(diǎn)F2(，0)為圓心C(3,0)， ∴a2＋b2＝9.② 由①②得a2＝5，b2＝4. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.] 6．16 解析　由已知條件有52＝m＋9，所以m＝16. 7.　8. 9．解　(1)方法一　由題意可知所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上， (2分) 設(shè)雙曲線的方程為－＝1， 由題意

22、，得 解得a2＝，b2＝4.(4分) 所以雙曲線的方程為x2－＝1.(6分) 方法二　設(shè)所求雙曲線方程－＝λ (λ≠0)，(2分) 將點(diǎn)(－3,2)代入得λ＝，(4分) 所以雙曲線方程為－＝， 即x2－＝1.(6分) (2)設(shè)雙曲線方程為－＝1.由題意c＝2.(8分) 又雙曲線過點(diǎn)(3，2)，∴－＝1. 又∵a2＋b2＝(2)2， ∴a2＝12，b2＝8.(10分) 故所求雙曲線的方程為－＝1.(12分) 10．解　(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r. 圓(x＋)2＋y2＝4的圓心為F1(－，0)，半徑為2， 圓(x－)2＋y2＝4的圓心為F(，0)，半徑

23、為2. 由題意得或 ∴||CF1|－|CF||＝4.(4分) ∵|F1F|＝2>4. ∴圓C的圓心軌跡是以F1(－，0)，F(xiàn)(，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為－y2＝1.(6分) (2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|， ∴當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在MF延長線上時(shí)，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分) 且|MF|＝＝2.(9分) 直線MF的方程為y＝－2x＋2，與雙曲線方程聯(lián)立得 整理得15x2－32x＋84＝0. 解得x1＝(舍去)，x2＝. 此時(shí)y＝－.(11分) ∴當(dāng)||MP|－|FP||取得最大值2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－)．(12分)

24、11．解　(1)設(shè)P(x，y)， 則＝2， 化簡得x2－＝1(y≠0)．(5分) (2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2) (k≠0)，與雙曲線方程x2－＝1聯(lián)立消去y， 得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0. 由題意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分) 設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2 ＝k2＝. 因?yàn)閤1，x2≠－1， 所以直線AB的方程為y＝(x＋1)． 因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為， ＝. 同理可得＝. 因此＝＋ ＝＋＝0.(11分) ②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，其方程為x＝2，則B(2,3)，C(2，－3)． AB的方程為y＝x＋1， 因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為，＝. 同理可得＝. 因此＝＋＝0.(13分) 綜上，＝0，故FM⊥FN. 故以線段MN為直徑的圓過點(diǎn)F.(14分)