2015屆高考數(shù)學總復習 基礎知識名師講義 第八章 第六節(jié)空間圖形的垂直關系 文

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1、 第六節(jié)　空間圖形的垂直關系 1.認識和理解空間中線、面垂直的有關性質(zhì)與判定定理. 2.能運用定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題. 知識梳理 一、空間圖形的垂直關系 直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直． 二、直線與直線垂直 定義：兩條直線所成的角為90°，則稱兩直線垂直，包括兩類：相交垂直與異面垂直． 三、直線與平面垂直 1．定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直．這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面． 2．直線與平面垂直的判定． 類別 語言表述 應

2、用 判定 (定義)如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直 證直線和平面垂直 (定理)如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面 證直線和平面垂直 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面 證直線和平面垂直 3.直線與平面垂直的性質(zhì). 類別 語言表述 圖示 字母表示 應用 1 / 9 性質(zhì) 如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直 ?a⊥b 證兩條直線垂直 如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 ?a

3、∥b 證兩條直線平行 四、二面角 1．定義：從一條直線AB出發(fā)的兩個半平面(α和β)所組成的圖形叫做二面角．記作二面角αABβ，AB叫做二面角的棱，兩個半平面(α和β)叫做二面角的面． 2．二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一點O，過O分別在二面角的兩個面α，β內(nèi)作與棱垂直的射線OM，ON，我們把∠MON叫做二面角αABβ的平面角，用它來度量二面角的大小． 　平面角是直角的二面角叫做直二面角． 五、兩個平面垂直的判定和性質(zhì) 1．定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． 2．兩個平面垂直的判定和性質(zhì)． 類別 語言表述 圖示 字母表示

4、 應用 判定 根據(jù)定義，證明兩平面所成的二面角是直二面角 ∠AOB是二面角αaβ的平面角，且∠AOB＝90°，則α⊥β 證兩 個平 面垂直 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 a?α a⊥β ?α⊥β 性質(zhì) 如果兩個平面垂直，那么它們所成二面角的平面角是直角 α⊥β，∠AOB是二面角αaβ的平面角，則∠AOB＝90° 證兩 條直 線垂直 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 α⊥β α∩β＝l a?α a⊥l ?a⊥β 證直

5、線和 平面 垂直 基礎自測 1．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應增加的條件是(　　) A．m∥n　　　 B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α 解析：已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，應增加條件n⊥m，才能使得n⊥β. 答案：B 2．(2013·珠海二模)設α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是(　　) A．若l⊥α，α⊥β，則l?β B．若l∥α，α∥β，則l?β C．若l⊥α，α∥β，則l⊥β D．若l∥α，α⊥β

6、，則l⊥β 解析：A選項中，還可能l∥β；B選項中，也可能l∥β；D中，也可能l∥β.故選C. 答案：C 3．如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可) 解析：∵底面四邊相等，∴BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA. ∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. ∴BD⊥PC. 故當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD， 從而有平面PCD⊥平面MBD. 4．設l，m，n為三條不同的直線，α為

7、一個平面，下列命題中正確的是________． ①若l⊥α，則l與α相交； ②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α； ③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α； ④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n. 解析：由于直線與平面垂直是相交的特殊情況，故命題①正確；由于不能確定直線m，n是否相交，不符合線面垂直的判定定理，命題②不正確；根據(jù)平行線的傳遞性，l∥n，故當l⊥α時，一定有n⊥α，命題③正確；m⊥α，n⊥α，則m∥n，又l∥m，即l∥n，命題④正確． 答案：①③④ 1．(2013·新課標全國卷Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.

8、直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l 解析：顯然α與β相交，不然由α∥β?m∥n，與m，n為異面矛盾，排除選項A；當α與β相交時，設交線為l′，由m⊥平面α，n⊥平面β知，l′⊥m，l′⊥n，而l⊥m，l⊥n，于是易知l′∥l.故選D. 答案：D 2．(2013·廣東卷)如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐

9、A－BCF，其中BC＝. (1)證明：DE//平面BCF； (2)證明：CF⊥平面ABF； (3)當AD＝時，求三棱錐F－DEG的體積VF－DEG. (1)證明：在等邊三角形ABC中，AD＝AE. ∴＝，在折疊后的三棱錐ABCF中也成立， ∴DE∥BC，∵DE?平面BCF, BC?平面BCF，∴DE∥平面BCF. (2)證明：在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，所以AF⊥BC，① BF＝CF＝. ∵在三棱錐A－BCF中，BC＝，∴BC2＝BF2＋CF2， ∴CF⊥BF，② ∵BF∩CF＝F，∴CF⊥平面ABF. (3)解析：由(1)可知GE∥CF，結合

10、(2)可得GE⊥平面DFG. ∴VF－DEG＝VE－DFG＝×·DG·FG·GE＝××××＝. 1．(2013·惠州一模)已知集合A、B、C，A＝{直線}，B＝{平面}，C＝A∪B.若a∈A，b∈B，c∈C，給出下列四個命題： ①?a∥c，②?a∥c，③?a⊥c， ④?a⊥c. 其中所有正確命題的序號是________． 解析：對于①，當c表示平面時，根據(jù)a∥b且c∥b，不一定有a∥c成立，可能a?c，故①不正確； 對于②，以正方體過同一個頂點的三條棱為a，b，c，

11、可得a⊥b，c⊥b，但是a，c是相交直線，故②不正確； 對于③，當c表示平面時，由a∥b且c⊥b不能推出a⊥c成立，故③不正確； 對于④，用與③相同的方法，可證出a⊥c成立，故④正確． 綜上，正確命題的序號為④. 答案：④ 2．(2013·惠州二模)正方體ABCD－A1B1C1D1，AA1＝2，E為棱CC1的中點． (1) 求證：B1D1⊥AE； (2) 求證：AC∥平面B1DE； (3) 求三棱錐A－BDE的體積． (1)證明：連接BD，則BD∥B1D1， ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD. 又AC∩CE＝C，

12、∴BD⊥面ACE. ∵AE?平面ACE，∴BD⊥AE， ∴B1D1⊥AE. (2)證明：連接AF、CF、EF. ∵E、F是CC1、BB1的中點，∴CE綊B1F， ∴四邊形B1FCE是平行四邊形， ∴CF∥B1E，CF?平面B1DE，B1E?平面B1DE， ∴CF∥平面B1DE， ∵E，F(xiàn)是CC1、BB1的中點，∴EF綊BC， 又BC綊AD，∴EF綊AD. ∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED， ∵AF?平面B1DE，ED?平面B1DE， ∴AF∥平面B1DE， ∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE. 又∵AC?平面ACF，∴AC∥平面B1DE . (3)解析：三棱錐A－BDE的體積，即為三棱錐E－ABD的體積，∴V＝××AD·AB·EC＝××2×2×1＝. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！