高中數(shù)學(xué)2.2向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.2.2向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算練習(xí)（打包4套）新人教B版必修.zip,高中數(shù)學(xué),2.2,向量,分解,坐標(biāo),運(yùn)算,正交,直角坐標(biāo),練習(xí),打包,新人,必修
2.2.2 向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)
1.已知A(-5，-1)，B(3，-2)，則的坐標(biāo)為（ ）
A.(8，1) B.(-4，） C.(-8，1) D.(-8，-1)
解析：∵A(-5，-1)，B(3，-2)，
∴=(8，-1).
∴-=(-4，).
答案：B
2.已知向量a=(3，m)的長度為5，則m的值為（ ）
A.4 B.±4 C.16 D.±16
解析：作向量=a=(3，m)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，m)，||==5，
∴m=±4.
答案：B
3.設(shè)a=(4，3)，b=(λ，6)，c=(-1，μ)，若a+b=c，則λ=___________，μ=___________.
解析：a+b=(4，3)+(λ，6)=(4+λ，9)=c=(-1，μ).
答案：-5 9
4.設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________；
(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.
解：(1)如圖(甲)，由向量的線性運(yùn)算可知=(+)=().
(2)如圖(乙)，當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即或=2.
(甲)
(乙)
如果=，那么=+=+=+(-)=+
=()，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是().
同理，如果=2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是().
答案：(1)()
(2)()或()
10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)
1.已知a=(-7，24)，|λa|=50，則λ等于（ ）
A.± B.2 C.-2 D.±2
解析：|λa|=|λ||a|=25|λ|=50|λ|=2.
答案：D
2.已知a=(-1，2)，b=(1，-2)，則a+b與a-b的坐標(biāo)分別為（ ）
A.(0，0)，(-2，4) B.(0，0)，(2，-4)
C.(-2，4)，(2，-4) D.(1，-1)，(-3，3)
解析：a+b=(0，0)，a-b=(-2，4).
答案：A
3.已知=(x，y)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2，1)，則的坐標(biāo)為（ ）
A.(x-2，y+1) B.(x+2，y-1)
C.(-2-x，1-y) D.(x+2，y+1)
解析：=-，∴=-=(-2-x，1-y).
答案：C
4.設(shè)a=(-1，2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)，用a、b作基底可將c表示為c=pa+qb，則實(shí)數(shù)p、q的值為（ ）
A.p=4，q=1 B.p=1，q=4
C.p=0，q=4 D.p=1，q=-4
解析：c=(-p+q，2p-q)，∴
答案：B
5.已知m=(sinα+cosα，sinα-cosα)，則m的長度為______________.
解析：∵|m|2=(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2sin2α+2cos2α=2，
∴|m|=.
答案：
6.如圖2-2-4所示的直角坐標(biāo)系xOy中，|a|=4，|b|=3，求a，b的坐標(biāo)及B點(diǎn)的坐標(biāo).
圖2-2-4
解：設(shè)a=(x，y)，則x=|a|cos45°=4×，y=|a|sin45°=4×，即a=()；b相對于x軸正方向的轉(zhuǎn)角為120°，設(shè)b=(u，v)，
∴u=|b|cos120°=3×()=，v=|b|sin120°
=3×.
∴b=(，).
又的坐標(biāo)即為A點(diǎn)的坐標(biāo)，
∴A()，b==(，).
設(shè)B(a，b)，
∴()=(a-，b-),
∴
即B(，).
30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)
1.設(shè)A(1，2)，B(4，3)，若向量a=(x+y，x-y)與相等，則（ ）
A.x=1，y=2 B.x=1，y=1 C.x=2，y=1 D.x=2，y=2
解析：=(3,1),由=a，得
答案：C
2.△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(4，8)，B(-3，6)，若AC的中點(diǎn)在x軸上，BC的中點(diǎn)在y軸上，則C的坐標(biāo)為（ ）
A.(-8，3) B.(-3，4) C.(3，-8) D.(-4，3)
解析：設(shè)C=(x，y)，則
解之，得∴C=(3，-8).
答案：C
3.若M(3，-2)，N(-5，-1)，且=，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A.(-8，-1) B.(-1，） C.(1，） D.(8，-1)
解析：P為的中點(diǎn).
答案：B
4.若向量a=(1，1)，b=(1，-1)，c=(-1，2)，則c等于（ ）
A.a+b B.
C. D.
解析：設(shè)c=ma+nb，則(-1，2)=m(1，1)+n(1，-1)=(m+n，m-n).
∴
答案：B
5.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A(3，1)，B(-1，3)，若點(diǎn)C滿足=α+β，其中α，β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為( )
A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0 D.x+2y-5=0
解析：已知=(3，1)，=(-1，3)，設(shè)=(x,y),∵=α+β，
∴(x，y)=α(3，1)+β(-1，3).
∴
又∵α+β=1，∴x+2y-5=0.
答案：D
6.已知平行四邊形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)為( )
A.(，5) B.(，5) C.(，-5) D.(，-5)
解析：∵=+=(-2，3)+(3，7)=(1，10)，∴=(-1，-10).
∴==(，-5).
答案：C
7.已知點(diǎn)A(3，-4)，B(-1，2)，點(diǎn)P在直線AB上，且||=2||，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(，0) B.(-5，8)
C.(，1)或(-4，7) D.(，0)或(-5，8)
解析：由題意知=±2，設(shè)P(x，y)，則(3-x，-4-y)=±2(-1-x，2-y)，
∴
答案：D
8.(2006貴州模擬,11)函數(shù)y=sinx的圖象按向量a=（，2）平移后與函數(shù)ｇ(x)的圖象重合，則ｇ(x)的表達(dá)式是（ ）
A.cosx-2 B.-cosx-2 C.cosx+2 D.-cosx+2
解析：設(shè)平移前后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x′,y′),(x,y),則x′-x=且y′-y=-2，代入原函數(shù)式得y-2=sin(x+)，整理得g(x)=-cosx+2.
答案：D
9.已知A(，-1)，則所在直線與x軸所夾的銳角為_____________.
解析：易知點(diǎn)A在第四象限，作AH⊥x軸于H點(diǎn)，則在Rt△AHO中，AH=1，HO=，
∴tan∠HOA=，∠HOA=30°.
答案：30°
10.(1)已知2a+b=(-4，3)，a-2b=(3，4)，求向量a、b的坐標(biāo).
(2)x軸的正方向到a的夾角為60°，且|a|=2，求a的坐標(biāo).
解：(1)
①×2+②得5a=(-8+3，6+4)，a=(-1，2)，
b=(-4，3)-2(-1，2)=(-4，3)-(-2，4)=(-2，-1).
(2)∵x=|a|·cos60°=2·=1，y=|a|·sin60°=2×，
∴a=(1，).
11.用向量法：求cos+cos+cos的值.
解：將邊長為1的正七邊形ABCDEFO如圖放入直角坐標(biāo)系中，
則=(1，0)，=(cos，rin)，=(cos，sin)，=(cos，sin)，=(cos，sin)，=(cos，sin)，=(cos，sin).
∵++++++=0，∴這些向量的橫坐標(biāo)之和為0，即1+cos+cos+cos+cos+cos+cos=0.
由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得cos=s，cos=cos，cos=cos.
∴上式為1+2(cos+cos+cos)=0.
∴cos+cos+cos=-.
7
2.2.2 向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
自我小測
1．如圖，設(shè)e1，e2為互相垂直的單位向量，則向量a－b可表示為( )
A．e1－3e2 B．－2e1－4e2 C．2e2－e1 D．3e1－e2
2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c＝( )
A．－a＋b B． a－b C． a－b D．－a＋b
3．△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(4,8)，B(－3,6)，若AC的中點(diǎn)在x軸上，BC的中點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( )
A．(－8,3) B．(－3,4) C．(3，－8) D．(－4,3)
4．已知在?ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)為( )
A． B． C． D．
5．設(shè)點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)依次為(－1,0)，(3,1)，(4,3)，(0,2)，則四邊形ABCD的形狀為________．(填“平行四邊形”“菱形”)
6．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且＝，連接DC延長至點(diǎn)E，使||＝||，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．
7．已知邊長為1的正方形ABCD．若點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊AB，AD分別落在x軸，y軸的正方向上，則向量4＋－3的坐標(biāo)為__________．
8．已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：
(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？
(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．
9．已知向量u＝(x，y)與v＝(y,2y－x)的對應(yīng)關(guān)系用v＝f(u)表示．
(1)證明：對于任意向量a，b及常數(shù)m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)設(shè)a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)；
(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo)．
參考答案
1．答案：A
2．答案：B
3．答案：C
4．解析：如圖所示，=+=(-2,3)+(3,7)=(1,10)，
所以==．
所以錯(cuò)誤!未定義書簽。=．
答案：C
5．解析：如圖所示，＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)，＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，所以＝．
又＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，
所以||＝，||＝，
所以||≠|(zhì)|，
所以四邊形ABCD為平行四邊形．
答案：平行四邊形
6．解析：因?yàn)椋剑?
所以－＝ (－)，
即＝(3，－6)．
又因?yàn)椋剑?
設(shè)E(x，y)，則
得
答案：
7．解析：如圖，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，
所以＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．
所以4＋－3＝(1，－2)．
答案：(1，－2)
8．解：(1)設(shè)P(x，y)，由＝＋t得
(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，即
若P在x軸上，則yP＝0，即2＋3t＝0，所以t＝－．
若P在y軸上，則xP＝0，即1＋3t＝0，所以t＝－．
若P在第二象限，則?－
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