《高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習(xí)《第四十七講直線平面垂直的判定及其性質(zhì)》課件 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習(xí)《第四十七講直線平面垂直的判定及其性質(zhì)》課件 新人教版（71頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第四十七講第四十七講 直線直線 平面垂直的判定及其性質(zhì)平面垂直的判定及其性質(zhì)回歸課本回歸課本1.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角銳角叫做這條直線叫做這條直線和這個平面所成的角和這個平面所成的角.一條直線一條直線垂直垂直于平面于平面,就說它們所成的角是直角就說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行或在平面內(nèi)一條直線和平面平行或在平面內(nèi),就說它們所成的角是就說它們所成的角是0的角的角,可見可見,直直線和平面所成的角的范圍是線和平面所成的角的范圍是0,.2 (2)直線與平面垂直直線與平面垂直定義定義:如
2、果一條直線如果一條直線l和一個平面和一個平面內(nèi)的內(nèi)的任意一條直線任意一條直線都垂直都垂直,那么就說那么就說直線直線l和平面和平面互相垂直互相垂直.判定定理判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線兩條相交直線都垂直都垂直,那么這那么這條直線垂直于這個平面條直線垂直于這個平面.性質(zhì)定理性質(zhì)定理:如果兩條直線如果兩條直線同垂直于同垂直于一個平面一個平面,那么這兩條直線平行那么這兩條直線平行.注意注意:(1)定義中的定義中的“任意一條任意一條”與與“所有條所有條”是同義詞是同義詞,不同于不同于“無數(shù)無數(shù)條條”.(2)判定定理在應(yīng)用時判定定理在應(yīng)用時,一定要明確一定要明
3、確“平面內(nèi)的兩條相交直線平面內(nèi)的兩條相交直線”.(3)直線與平面垂直是直線與平面相交的特例直線與平面垂直是直線與平面相交的特例.2.二面角二面角(1)二面角二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形所組成的圖形,叫做二面角叫做二面角.二面角的平面角二面角的平面角:一個平面垂直于二面角一個平面垂直于二面角l的棱的棱l,且與兩個半平面且與兩個半平面的交線分別是射線的交線分別是射線OA、OB,O為垂足為垂足,則則AOB叫做二面角叫做二面角l的的平面角平面角.直二面角直二面角:平面角是平面角是直角直角的二面角叫直二面角的二面角叫直二面角.二面角的平面角的范圍是二面角的平面
4、角的范圍是:0180,當兩個半平面重合時當兩個半平面重合時,=0;相相交時交時0180;共面時共面時=180. (2)兩個平面垂直兩個平面垂直兩個平面相交兩個平面相交,如果它們所成的二面角是如果它們所成的二面角是直二面角直二面角,就說這兩個平面互相就說這兩個平面互相垂直垂直.(3)兩個平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理兩個平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理平面和平面垂直的判定定理平面和平面垂直的判定定理:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂一條垂線線,那么這兩個平面互相垂直那么這兩個平面互相垂直.平面和平面垂直的性質(zhì)定理平面和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個平面垂直如果兩個平面垂直,
5、那么在一個平面內(nèi)那么在一個平面內(nèi)垂垂直于它們交線直于它們交線的直線垂直于另一個平面的直線垂直于另一個平面.考點陪練考點陪練1.(2010改編題改編題)在三棱錐在三棱錐VABC中中,VA=VC,AB=BC,則下列結(jié)論一則下列結(jié)論一定成立的是定成立的是( )A.VABC B.ABVCC.VBAC D.VAVB答案答案:C2.(2010改編題改編題)如圖如圖,AB是是 O的直徑的直徑,PA垂直于垂直于 O所在的平面所在的平面,C是是圓周上不同于圓周上不同于A,B的任意一點的任意一點,則圖中互相垂直的平面共有則圖中互相垂直的平面共有( )A.4對對 B.3對對C.2對對 D.1對對答案答案:B3.菱形
6、菱形ABCD中中,BAD=60,如圖所示沿對角線如圖所示沿對角線BD將將BCD向上折起向上折起,使使AC=AB,則二面角則二面角CBDA的余弦值的大小為的余弦值的大小為( )答案答案:A1111.36912ABCD4.(2010全國卷全國卷)正方體正方體ABCDA1B1C1D1中中,BB1與平面與平面ACD1所成所成角的余弦值為角的余弦值為( )23.3326.33ABCD解析解析:BB1與平面與平面ACD1所成的角等于所成的角等于DD1與平面與平面ACD1所成的角所成的角,在三棱錐在三棱錐DACD1中中,由三條側(cè)棱兩兩垂直得點由三條側(cè)棱兩兩垂直得點D在底面在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊內(nèi)的射影
7、為等邊三角形三角形ACD1的垂心即中心的垂心即中心H,連接連接D1H,DH,則則DD1H為為DD1與平面與平面ACD1所成的角所成的角,設(shè)正方體棱長為設(shè)正方體棱長為a,則則cosDD1H= ,故故選選D.答案答案:D6633aa5.(2010濱州月考濱州月考)對于任意的直線對于任意的直線l與平面與平面,在平面在平面內(nèi)必有直線內(nèi)必有直線m,使使m與與l( )A.平行平行 B.相交相交C.垂直垂直 D.互為異面直線互為異面直線解析解析:如果如果l ,那么那么,內(nèi)的直線內(nèi)的直線m不可能與不可能與l異面異面,所以所以,選項選項D不正確不正確.如果如果l與與相交相交,那么那么,內(nèi)的直線內(nèi)的直線m不可能與
8、不可能與l平行平行,所以所以,選項選項A不正確不正確.如果如果l,那么那么,內(nèi)的直線內(nèi)的直線m不可能與不可能與l相交相交,所以所以,選項選項B不正確不正確.在上述三種情況下在上述三種情況下,內(nèi)總存在直線內(nèi)總存在直線m,使得使得ml.答案答案:C類型一類型一 線線垂直線線垂直解題準備解題準備:判定直線與直線垂直的方法判定直線與直線垂直的方法:(1)計算兩直線所成的角為計算兩直線所成的角為90(包括平面角與異面直線所成的角包括平面角與異面直線所成的角).(2)線面垂直的性質(zhì)線面垂直的性質(zhì)(若若a,b ,則則ab).(3)ab=0ab.【典例典例1】 如圖如圖,=CD,EA,垂足為垂足為A,EB,垂
9、足為垂足為B,求求證證:CDAB.分析分析 要證要證CDAB,只需證只需證CD平面平面ABE即可即可. 證明證明 =CD,CD ,CD .又又EA,CD ,EACD,同理同理EBCD.EAEB=E,CD平面平面EAB.AB 平面平面EAB,ABCD. 反思感悟反思感悟 證明空間中兩直線互相垂直證明空間中兩直線互相垂直,通常先觀察兩直線是否共面通常先觀察兩直線是否共面.若若兩直線共面兩直線共面,則一般用平面幾何知識即可證出則一般用平面幾何知識即可證出,如勾股定理如勾股定理,等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)等的性質(zhì)等.若兩直線異面若兩直線異面,則轉(zhuǎn)化為線面垂直進行證明則轉(zhuǎn)化為線面垂直進行證明.類型二類型
10、二 線面垂直的判定和性質(zhì)線面垂直的判定和性質(zhì)解題準備解題準備:1.判定定理可以簡單的記為判定定理可以簡單的記為“線線垂直線線垂直線面垂直線面垂直”,定理中定理中的關(guān)鍵詞語是的關(guān)鍵詞語是“平面內(nèi)兩條相交直線平面內(nèi)兩條相交直線”和和“都垂直都垂直”.2.如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個那么另一條也垂直于這個平面平面,即即b.aba3.直線和平面垂直的性質(zhì)直線和平面垂直的性質(zhì):(1)垂直于同一個平面的兩條直線平行垂直于同一個平面的兩條直線平行.(2)如果一條直線垂直于一個平面如果一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任
11、意則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線一條直線.(3)過一點有且只有一條直線和已知平面垂直過一點有且只有一條直線和已知平面垂直;過一點有且只有一個平面過一點有且只有一個平面和已知直線垂直和已知直線垂直.(4)如果一條直線與兩個平面都垂直如果一條直線與兩個平面都垂直,那么這兩個平面平行那么這兩個平面平行.【典例典例2】 如圖如圖,已知已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在的平面所在的平面,M N分別是分別是AB PC的中點的中點,若若PDA=45,求證求證:MN平面平面PCD. 證明證明 如圖如圖,取取PD的中點的中點E,連接連接AE,NE.E N分別為分別為PD PC的中點的中點,EN
12、又又M為為AB的中點的中點,AMEN AM,四邊形四邊形AMNE為平行四邊形為平行四邊形.MNAE.PA平面平面ABCD,PDA=45,PAD為等腰直角三角形為等腰直角三角形.AEPD.1.2CD1.2CD 又又CDAD,CDPA,ADPA=A,CD平面平面PAD,而而AE 平面平面PAD,CDAE.又又CDPD=D,AE平面平面PCD.MN平面平面PCD. 反思感悟反思感悟 取取PD的中點的中點E,連接連接AE,則有則有MNAE,考慮證明考慮證明AE平面平面PCD.證明線面垂直的常用方法證明線面垂直的常用方法:(1)利用線面垂直的定義利用線面垂直的定義:證一直線垂直于平面內(nèi)任一直線證一直線垂
13、直于平面內(nèi)任一直線,這條直線垂直這條直線垂直于該平面于該平面.(2)用線面垂直的判定定理用線面垂直的判定定理:證一直線與一平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直證一直線與一平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,這條直線與平面垂直這條直線與平面垂直.(3)利用線面垂直的性質(zhì)利用線面垂直的性質(zhì):兩平行線中的一條垂直于平面兩平行線中的一條垂直于平面,則另一條也垂直則另一條也垂直于這個平面于這個平面.(4)用面面垂直的性質(zhì)定理用面面垂直的性質(zhì)定理:兩平面垂直兩平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面必垂直于另一個平面. (5)用面面平行的性質(zhì)定理用面面平行的性質(zhì)定理:一直線垂直于
14、兩平行平面中的一個一直線垂直于兩平行平面中的一個,那么它必那么它必定垂直于另一個平面定垂直于另一個平面.(6)用面面垂直的性質(zhì)用面面垂直的性質(zhì):兩相交平面同時垂直于第三個平面兩相交平面同時垂直于第三個平面,那么兩相交平那么兩相交平面的交線垂直于第三個平面面的交線垂直于第三個平面.類型三類型三 面面垂直的判定和性質(zhì)面面垂直的判定和性質(zhì)解題準備解題準備:利用面面垂直的判定定理證明面面垂直時的一般方法利用面面垂直的判定定理證明面面垂直時的一般方法:先從現(xiàn)先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線在圖中存在若這樣的直線在圖中存在,則可通過線面則可通過線面垂直來證明面面垂直垂直
15、來證明面面垂直;若這樣的直線在圖中不存在若這樣的直線在圖中不存在,則可通過作輔助線則可通過作輔助線來解決來解決,而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明,不能隨意添加不能隨意添加.【典例典例3】 如圖如圖,已知平行六面體已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面為正方的底面為正方形形,O1,O分別為上分別為上,下底面的中心下底面的中心,且且A1在底面在底面ABCD的射影是的射影是O.求證求證:平平面面O1DC平面平面ABCD. 證明證明 如圖如圖.連接連接AC,BD,A1C1,B1D1,則則O為為AC,BD的交點的交點,O1為為A1C1,B1D1的交點的交點.
16、由平行六面體的性質(zhì)知由平行六面體的性質(zhì)知:A1O1OC,且且A1O1=OC,四邊形四邊形A1OCO1為平行四邊形為平行四邊形,A1OO1C.A1O平面平面ABCD,O1C平面平面ABCD.又又O1C 平面平面O1DC,平面平面O1DC平面平面ABCD. 反思感悟反思感悟 證明面面垂直證明面面垂直,可先證線面垂直可先證線面垂直,即設(shè)法先找到其中一平面的即設(shè)法先找到其中一平面的一條垂線一條垂線,再證明這條垂線在另一平面內(nèi)或與另一平面內(nèi)一直線平行再證明這條垂線在另一平面內(nèi)或與另一平面內(nèi)一直線平行.類型四類型四 求直線和平面所成的角求直線和平面所成的角解題準備解題準備:斜線和平面所成的角斜線和平面所成
17、的角,簡稱簡稱“線面角線面角”,它是平面的斜線與它在它是平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影的夾角平面內(nèi)的射影的夾角.求直線和平面所成的角求直線和平面所成的角,幾何法一般先定斜足幾何法一般先定斜足,再再作垂線找射影作垂線找射影,然后通過解直角三角形求解然后通過解直角三角形求解,可以簡述為可以簡述為“作作(作出線面作出線面角角)證證(證所作為所求證所作為所求)求求(解直角三角形解直角三角形)”.通常通常,通過斜線上某個特通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段殊點作出平面的垂線段,垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.【典例典例4】 已知三棱柱已知三棱柱ABC-A1B1C1的
18、側(cè)棱與底面邊長都相等的側(cè)棱與底面邊長都相等,A1在底在底面面ABC內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為ABC的中心的中心,則則AB1與底面與底面ABC所成角的正弦值等所成角的正弦值等于于( )12.3332.33ABCD2222111111111111113 ,236(),3236.3,BABC,D,AD,B AD.,AABC,a,ABA OA BABC,B DA ORtAB D,sinB ADAB2,32.3ABCB.aaAOaaaaB DAB解 析 如 圖 所 示 過 點作 平 面的 垂 線 垂 足 為連 接則就 是 所 求 的 線 面 角由 題 意 知 三 棱 錐為 正 四 面 體 設(shè) 棱 長 為則棱
19、柱 的 高由 于平 面故在中故與 底 面所 成 角 的 正 弦 值 為故 選答案答案 B 反思感悟反思感悟 求線面角的關(guān)鍵是作出這個角求線面角的關(guān)鍵是作出這個角.而作出這個角就要過平面斜而作出這個角就要過平面斜線上的一點作平面的垂線線上的一點作平面的垂線,一般方法是有直接法和根據(jù)面面垂直的性質(zhì)一般方法是有直接法和根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理的方法定理的方法. 類型五類型五 二面角二面角解題準備解題準備:二面角大小的求法二面角大小的求法:由于二面角的大小是用它的平面角的大小由于二面角的大小是用它的平面角的大小度量的度量的,因此求解二面角的大小的關(guān)鍵是作出它的平面角因此求解二面角的大小的關(guān)鍵是作出它的平
20、面角,將面面角的將面面角的計算轉(zhuǎn)化為一個平面上的線線角的計算計算轉(zhuǎn)化為一個平面上的線線角的計算.其基本步驟是作其基本步驟是作(作平面角作平面角)證證(證所作即所求證所作即所求)算算(計算平面角的大小計算平面角的大小).作二面角的平面角的常用方法有作二面角的平面角的常用方法有:(1)直接法直接法:根據(jù)平面角的概念直接作根據(jù)平面角的概念直接作,如二面角的棱是兩個等腰三角形的如二面角的棱是兩個等腰三角形的公共底邊公共底邊,就可以取棱的中心就可以取棱的中心;(2)垂面法垂面法:過二面角棱上一點作棱的垂面過二面角棱上一點作棱的垂面,則垂面與二面角的兩個半平面則垂面與二面角的兩個半平面的交線所成的角就是二
21、面角的平面角或其補角的交線所成的角就是二面角的平面角或其補角; (3)垂線法垂線法:過二面角的一個半平面內(nèi)一點過二面角的一個半平面內(nèi)一點A作另一個半平面的垂線作另一個半平面的垂線,再從再從垂足垂足B向二面角的棱作垂線向二面角的棱作垂線,垂足為垂足為C,這樣二面角的棱就垂直于這兩個這樣二面角的棱就垂直于這兩個垂線所確定的平面垂線所確定的平面ABC,連接連接AC,則則AC也與二面角的棱垂直也與二面角的棱垂直,ACB就就是二面角的平面角或其補角是二面角的平面角或其補角,這樣就把問題歸結(jié)為解一個直角三角形這樣就把問題歸結(jié)為解一個直角三角形,這是求解二面角的最基本這是求解二面角的最基本 最重要的方法最重
22、要的方法.【典例典例5】 如圖如圖,已知已知PA垂直于正方形垂直于正方形ABCD所在平面所在平面,且且PA=AB. (1)求平面求平面PDC與平面與平面ABCD所成二面角的大小所成二面角的大小;(2)求二面角求二面角B-PC-D的大小的大小;(3)求二面角求二面角A-PB-C的大小的大小;(4)求平面求平面PAB與平面與平面PCD所成二面角的大小所成二面角的大小.分析分析 根據(jù)所求的二面角根據(jù)所求的二面角,選擇適當?shù)淖鞫娼堑姆椒ㄗ鞒龆娼沁x擇適當?shù)淖鞫娼堑姆椒ㄗ鞒龆娼?然后然后求解求解. 解解 (1)PA平面平面ABCD.DC 平面平面ABCD,DCPA.由正方形由正方形ABCD,有有D
23、CAD,DCPD(三垂線定理三垂線定理),故故PDA即為平面即為平面PDC與平面與平面ABCD所成二面所成二面角的平面角角的平面角.PA=AB,AB=AD,PAD為等腰直角三角形為等腰直角三角形.PDA=45,即平面即平面PDC與平面與平面ABCD所成二面角的大小為所成二面角的大小為45.(2)在在RtPCB與與RtPCD中中,BC=DC,POC=PBC= ,PC為公共邊為公共邊,PCB PCD.在平面在平面PBC內(nèi)作內(nèi)作BEPC于點于點E,連接連接DE,則則DEPC.BED即為二面角即為二面角B-PC-D的平面角的平面角,且且BE=DE.又設(shè)又設(shè)PA=AB=a,則則PB=PD=BE=DE=a
24、22,3 ,a PCa2.3aa又又BD= ,在在BDE中中,cosBED= 又又0BED180,BED=120.即二面角即二面角B-PC-D的大小為的大小為120.2a2221.22BEDEBDBE DE (3)解法一解法一:PA平面平面ABCD,BC 平面平面ABCD,PABC.又又BCAB,且且PAAB=A,BC平面平面PAB.又又BC 平面平面PBC,平面平面PBC平面平面PAB.故二面角故二面角A-PB-C為直二面角為直二面角.解法二解法二:BCAB,BCPA,BC平面平面PAB.點點B為點為點C在平面在平面PAB上的射影上的射影,線段線段PB為為PBC在平面在平面PAB內(nèi)的射影內(nèi)的
25、射影.二面角二面角A-PB-C為直二面角為直二面角. (4)PA平面平面ABCD,PAAD.又又ABCD為正方形為正方形,ADAB.從而有從而有AD平面平面PAB,同理同理CB平面平面PAB.PAB是是PCD在平面在平面PAB上的射影上的射影.設(shè)平面設(shè)平面PAB與平面與平面PCD所成的二面角為所成的二面角為,則則cos=.PABPCDSS22PABPCD22PAABa,Sa ,Sa ,1222122.222cos,45 .aa設(shè)則又為 銳 角 反思感悟反思感悟 二面角的作法種數(shù)較多二面角的作法種數(shù)較多,要根據(jù)題設(shè)條件和所求要根據(jù)題設(shè)條件和所求,選擇最優(yōu)方選擇最優(yōu)方法作角法作角.在計算中在計算中
26、,適當設(shè)棱長為一個字母表示長度適當設(shè)棱長為一個字母表示長度,可簡化計算步驟可簡化計算步驟.類型六類型六 線面垂直中的探索性問題線面垂直中的探索性問題解題準備解題準備:立體幾何中的開放題在近幾年的各地高考試題中是出現(xiàn)較多立體幾何中的開放題在近幾年的各地高考試題中是出現(xiàn)較多的的,開放題很好地考查了學(xué)生發(fā)散思維和探究學(xué)習(xí)的能力開放題很好地考查了學(xué)生發(fā)散思維和探究學(xué)習(xí)的能力,解題中常規(guī)解題中常規(guī)作法一是根據(jù)對題目的綜合分析和觀察猜想出點或線的位置作法一是根據(jù)對題目的綜合分析和觀察猜想出點或線的位置,再加以證再加以證明明,二是假設(shè)二是假設(shè)所求的點或線存在所求的點或線存在,并用設(shè)定的參數(shù)表示出來并用設(shè)定的
27、參數(shù)表示出來,再根據(jù)其滿足的條件確定再根據(jù)其滿足的條件確定參數(shù)參數(shù).【典例典例6】 如圖如圖,四棱錐四棱錐PABCD中中,底面底面ABCD是是DAB=60的菱形的菱形,側(cè)面?zhèn)让鍼AD為正三角形為正三角形,其所在平面垂直于底面其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證求證:ADPB;(2)若若E為為BC邊的中點邊的中點,能否在棱能否在棱PC上找到一點上找到一點F,使平面使平面DEF平面平面ABCD,并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論. 解解 (1)證明證明:取取AD的中點的中點G,連接連接PG,BG,BD.PAD為等邊三角形為等邊三角形,PGAD,又又平面平面PAD平面平面ABCD,PG平面平面ABCD
28、.在在ABD中中,A=60,AD=AB,ABD為等邊三角形為等邊三角形,BGAD,AD平面平面PBG,ADPB. (2)連接連接CG,DE,且且CG與與DE相交于相交于H點點,在在PGC中作中作HFPG,交交PC于于F點點,連接連接DF,FH平面平面ABCD,平面平面DHF平面平面ABCD.H是是CG的中點的中點,F是是PC的中點的中點,在在PC上存在一點上存在一點F,即為即為PC的中點的中點,使得平面使得平面DEF平面平面ABCD. 反思感悟反思感悟 近年來開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn)近年來開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn),這說明高考對學(xué)這說明高考對學(xué)生的能力要求越來越高生的能力要求越來越高
29、,這也符合新課標的理念這也符合新課標的理念,因而在復(fù)習(xí)過程中要因而在復(fù)習(xí)過程中要善于對問題進行探究善于對問題進行探究.立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系,設(shè)計開放型試題將是設(shè)計開放型試題將是新課標高考命題的一個動向新課標高考命題的一個動向.錯源一錯源一 抓不住線面垂直的本質(zhì)抓不住線面垂直的本質(zhì)【典例典例1】 給出下面四個命題給出下面四個命題:(1)若一直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線若一直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線,則則這條直線垂直于這個平面這條直線垂直于這個平面;(2)若一直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線若一直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則則這條直線垂直于這個平面這條直線垂直于這個平面;(3)
30、若一直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線若一直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線,則這條直線垂直于這個平面則這條直線垂直于這個平面;(4)若一直線垂直于梯形的兩腰所在直線若一直線垂直于梯形的兩腰所在直線,則這條直線垂直于梯形所在平面則這條直線垂直于梯形所在平面.其中正確的命題共有其中正確的命題共有( )A.1個個 B.2個個C.3個個 D.4個個 錯解錯解 C (2)(3)(4)正確正確).剖析剖析 錯解對于線面垂直的概念理解不到位錯解對于線面垂直的概念理解不到位,沒有抓住概念的本質(zhì)沒有抓住概念的本質(zhì).正解正解 B (3)(4)正確正確).錯源二錯源二 使用判定定理時忽視條件而致誤使用判定定理時忽視條件而
31、致誤【典例典例2】 如圖如圖,ab,點點P在在a,b所確定的平面外所確定的平面外,PAa于于A,ABb于于B.求證求證:PBb.錯證錯證 因為因為ab,所以所以a,b確定一平面確定一平面,因為因為PAa,ab,所以所以PAb,所以所以PA,所以所以PBb. 剖析剖析 本證法的錯因在于沒有正確使用線面垂直的判定定理本證法的錯因在于沒有正確使用線面垂直的判定定理,由由PAa,PAb得得PA,而忽略了而忽略了ab.證明證明 因為因為PAa,ab,所以所以PAb,又因為又因為ABb,PAAB=A,所以所以b平面平面PAB,故故PBb.錯源三錯源三 防止主觀臆斷的失誤防止主觀臆斷的失誤【典例典例3】 如
32、圖如圖,四棱錐四棱錐SABCD中中,底面底面ABCD為平行四邊形為平行四邊形,側(cè)面?zhèn)让鍿BC底面底面ABCD.已知已知ABC=45,SA=SB.求證求證:SABC. 錯解錯解 作作SOBC,垂足為垂足為O.因為側(cè)面因為側(cè)面SBC底面底面ABCD,側(cè)面?zhèn)让鍿BC底面底面ABCD=BC,所以所以SO底面底面ABCD.又又SO 面面SAO,所以面所以面SAO底面底面ABCD.因為因為SA 面面SAO,BC 底面底面ABCD,所以所以SABC. 剖析剖析 錯誤原因在于解答到最后時無中生有地造了一個判定定理錯誤原因在于解答到最后時無中生有地造了一個判定定理:如果如果兩個平面垂直兩個平面垂直,那么一個平面
33、中任意一條直線一定垂直于另一個平面中那么一個平面中任意一條直線一定垂直于另一個平面中的任意一條直線的任意一條直線.因這個結(jié)論是錯誤的因這個結(jié)論是錯誤的,故而出錯故而出錯.正解正解 作作SOBC,垂足為垂足為O,連接連接AO.由側(cè)面由側(cè)面SBC底面底面ABCD得得SO底面底面ABCD.因為因為SA=SB,所以所以AO=BO.又又ABC=45,故故AOB為等腰直角三角形為等腰直角三角形,AOBO.因為因為SO 平面平面SAO,AO 平面平面SAO,SOAO=O,所以所以BC平面平面SAO.又又SA 平面平面SAO,所以所以SABC.技法一技法一 快速解題快速解題(利用三余弦公式利用三余弦公式)【典
34、例典例1】 如圖如圖,過過BOC的頂點的頂點O作該角所在平面的斜線作該角所在平面的斜線,使使AOB=AOC=60,若若OA=OB=OC=1,BC= ,求求OA與平面與平面BOC所成的角所成的角.2 快解快解 由題設(shè)易知由題設(shè)易知BOC是等腰是等腰Rt,BOC=90.由于由于AOB=AOC=60,故故OA在平面在平面BOC內(nèi)的射影是內(nèi)的射影是BOC的平分的平分線線,則則BOD=45,故故cosAOD= ,AOD=45即即OA與平面與平面BOC所成角為所成角為45.另解切入點另解切入點 OB=OC=1,BC= ,BOC是等腰是等腰Rt,可以證明可以證明ABC也是等腰直角三角形也是等腰直角三角形.2
35、2cosAOBcosBOD2 分析分析 BOC與與ABC都是等腰都是等腰Rt,取其公共斜邊的中點取其公共斜邊的中點D,連接連接OD AD,則平面則平面AOD平面平面BOC.在在AOD內(nèi)求內(nèi)求A到到OD的距離或直接求的距離或直接求AOD即可即可. 解解 OA=OB=OC=1,AOB=AOC=60AOB和和AOC是全等三角形是全等三角形,則則AB=AC=1.又又BC= ,故故ABC和和BOC都是等腰都是等腰Rt.取取BC的中點的中點D,連接連接OD、AD,則則ODBC,ADBC,易求得易求得AD=OD=22.2在在AOD中中,OD2+AD2= =1=OA2,故故ADOD,從而從而AD平面平面BOC
36、,AOD即即OA與平面與平面BOC所成的角所成的角.cosAOD= ,AOD=45.即即OA與平面與平面BOC成成45角角.22222222ODAO 方法與技巧方法與技巧 這是常規(guī)解法這是常規(guī)解法,而快解是利用公式而快解是利用公式cos=cos1 cos2.其其中中=AOB,1=AOD,2=BOD.得分主要步驟得分主要步驟 證明證明BOC和和ABC是等腰是等腰Rt,求求OD AD.由勾股定由勾股定理理,證明證明AOD是是Rt,或直接由平面或直接由平面AOD平面平面BOC,得到得到AOD就就是是OA與平面與平面BOC所成的角所成的角,這樣要簡捷這樣要簡捷.易丟分原因易丟分原因 在證明在證明AOD
37、是是Rt后后,要說明要說明ADO是直角或是直角或ADOD,否則不能說明否則不能說明AD平面平面BOC,就不能把就不能把AOD看作直線看作直線OA與平面與平面BOC所成的角所成的角.技法二技法二 垂直證明中的垂直證明中的“垂直鏈垂直鏈”【典例典例2】 如圖所示如圖所示,四邊形四邊形ABCD為正方形為正方形,SA垂直于四邊形垂直于四邊形ABCD所所在的平面在的平面,過過A且垂直于且垂直于SC的平面分別交的平面分別交SB、SC、SD于于E、F、G.求求證證:AESB,AGSD. 證明證明 SA平面平面ABCD,BC 平面平面ABCD,SABC.又又BCAB,SAAB=A,BC平面平面SAB.AE 平面平面SAB,BCAE.SC平面平面AEFG,AE 平面平面AEFG,SCAE.又又BCSC=C,AE平面平面SBC.AESB.同理可證同理可證AGSD.
高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習(xí)《第四十七講直線平面垂直的判定及其性質(zhì)》課件 新人教版
