《自動(dòng)控制理論》第七章例題解析

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1、第7章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正 ?例題解析 ② 1 例7-1根據(jù)定義E^(s) = Ye(nT)e-nTs試求E(s)= 的z變換。 切 (S +。)- 解：本例是根據(jù)E(s)求z變換。求解過(guò)程如下: ① 求 e(t),得：e(t) = te~a, 0 ② 求e*Q) 8 。*(，)= Z 四〃了)& (，一 成)，。(〃丁)=。(，)I t=nT = nTe~a,,T 〃=0 所以 00 g*Q) = Z〃施-"仃 6 (t-nT) n=0 8 8 E*(s) = ￡e(〃T)g-‘m =^nTe-anT e~nTs 〃=0 〃=0 ② 求頊z) E

2、(z) = E*(s) _ =(舛z)T +2(舛z)/ +... +〃(舛z)—" + …]T 令(e"z)T =)，，則 = (1 + 2y + 3y ~ + ? ? ? + nyn 1 + ? ? ,y)yT = (y + + ? ? ? + yn + ? ? *y yT y J" 號(hào)〃 (r)單位階躍函數(shù)作用下，系統(tǒng)輸出的脈沖序列C (z)及c* (r)(注：利用長(zhǎng)除最 少計(jì)算兩項(xiàng))。 圖7-5 解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖直接可得，當(dāng)R (s) =0, N (s) =l/s時(shí) 3 刑山 1 + Z［建］Z［ J "EE念 = (1-0-7 *3

3、 0.181Z3 ~ z4 -(1 + e^)z3 +z2 +(e~r -l)z - z4 -1.819z3 + z2 -0.181z 用幕級(jí)數(shù)法將C (z)展成下式 C(z) = 0.181 z'1 + 0.329 z_2 + ... 故 C (r) = 0.1815Q - T) + 0.3295(1 -2T) +??- 例7-12設(shè)圖7-6所示各系統(tǒng)均采用單速同步采樣，其采樣周期為T。試求各采樣 系統(tǒng)的輸出C(z)表示式。 R

4、與輸入采樣開(kāi)關(guān)S」司步工作，具有同樣的采樣周期T，這樣，在￡ 和S2兩個(gè)采樣開(kāi)關(guān)之間可以定義脈沖傳遞函數(shù)G(Z)為 G⑵=z［二.上卜Z［迎-迎］=虬一產(chǎn)\ |_5 + 2 s + 5」 |_s + 2 5 + 5 J 3 (z-e ~ )(z-e 5,) 所以，采樣系統(tǒng)的輸出C(z)為 10 z(e~2T -e~5T} C(z) = G(z)/?(z) = -> ' ~~宏? R(z) 3 (z-e )(z-e ) 圖7-7開(kāi)關(guān)采樣系統(tǒng) ②圖7-6 (b)：因閉環(huán)采樣系統(tǒng)的前向通路有采樣開(kāi)關(guān)存在，故計(jì)算C(z)是有定義 的，且根據(jù)C(z)的計(jì)算公式有 C(z

5、) = G,(z) 1 + G°(z) 其中 G()(z) = Gl(z)G2(z)H⑵;G/ (z) = G⑵GJz)R(z)。故所求系統(tǒng)的輸出 C(z) 的表達(dá)式為 G(z)0(z)R(z) l + G[(z)GJz)H(z) 圖7-8閉環(huán)采樣系統(tǒng) ③ 圖7-6 (c)：因所示系統(tǒng)可等效為7-8所示的 形式，由圖可以看出，在內(nèi)回路和外回路的前向通路 中均有采樣開(kāi)關(guān)存在，故計(jì)算C(z)是由意義的。由圖 可求得內(nèi)回路的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 Oi(2)= _^U ' 1 + G@(z) 由C(z)的計(jì)算公式有 1 + G°(z) 其中 G,(Z) G°(z

6、) = Q(z)G3(z)= 次 1 + G02(z) Gf(z)=中|(z)R(z)=；須項(xiàng))R(z) 1 + G]G2(z) 故所求系統(tǒng)輸出C(z)的表達(dá)式為 c(z)=―⑵= G(g) 1 + G°(z) 1 + 0G2(z) + G(z)G3(z) ④ 圖7-6 (d)：由于所示閉環(huán)采樣系統(tǒng)中有兩條前向通路，因此在求G/(z)時(shí)需要 將這兩條通路都考慮進(jìn)去。由圖得G。(z)和G f (z)分別為 G0(z) = GhG3G4(z) Gf (z) = RG2G4 (z) + RG] (z) ? GhG3G4 (z) 故所求系統(tǒng)輸出C(z)的表達(dá)式為： =RGRB

7、 + RG&mGQ ⑵ 1 + Gqa(z) 例7-13如圖7-9所示的離散時(shí)間系統(tǒng)，試求其單位階躍響應(yīng)。采樣周期T=1 s o 1-^ — 1 ■ S s(s +1) C (s) 圖7-9 解：閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 d)z[如] . z z z 廠F-—+—-] (z-1) z-l z-e _ /z + 1-2/ _ z2_(l+/)z + / 所以 0.368z +0.264 =G(z)/?(z) = z2 -1.368z +0.368 z —1 + G(z) 一 ]+ 0.368z +0.264

8、z-\ z2 -1.368z + 0.368 _ 0.368z + 0.264 z z~ — z + 0.632 z — 1 0.368 z?+0.264 z ~ z3-2z2 + 1.632z-0.632 =0.368 +z" +l.S4z—3 +1.以-4 +i.i47 z-5 + 0.894z-6+0.802z-7 +0.866z-8 + … 對(duì)C( Z)進(jìn)行反變換，就可以得到各采樣時(shí)刻的輸出值。 c(0)=() c(T)=0.368 c(4T)= 1.340 c(5T)= 1.147 c(2T)= 1.000 c(3T)= 1.340 c(6T)=0.894 c

9、(7T)=0.802 c(8T)=0.866 例7-14己知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-1()所示，試畫(huà)出參數(shù)K-T穩(wěn)定域曲線(T為采樣 周期)。 解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 G(z) = Z K s(s + 1) Kz(E_) (z-l)(z-e~T) 閉環(huán)特征方程為: 圖7-10閉環(huán)采樣系統(tǒng) D(Z) = (z - l)(z - a，) + Kz(l - g-r) =0 =z? + 伙(1 一 g-T) - (1 + e~T)]z + e~T 解一：用勞斯判據(jù)求解 令z = 心，代入方程化簡(jiǎn)后得 （0~\ Ka）2 + 2功 + [2（1 + 門）_

10、 k] = 0 \-e~r 列出勞斯表如下 蘇 2 0 根據(jù)勞斯判據(jù)得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為 k>0 及 K< 2（E '） l-e~r 由上式可找出采樣周期7與放大系數(shù)K之間的關(guān)系。畫(huà)出穩(wěn)定邊界曲線，即K-T曲 線如圖7-11所示。 由圖可看出，采樣周期增大，即采樣頻率減小，臨界K值減小，從而降低了系統(tǒng)的 穩(wěn)定性。 解二：用朱利判據(jù)求解在閉環(huán)特征方程中，因〃 =2故2〃 —3 = 1,即本例中的朱利 圖7-11采樣周期T與放大系數(shù)K 陣列只有一行。故所求陣列為 行數(shù) z° z, z2 1 洪[K(l-gT)-(l + e-7)] 1 根據(jù)朱利判據(jù)穩(wěn)定性要求：

11、0(1) = 1 + [K(l -- (1 + 疽)J + e-r >0 D(-l) = 1 + [K(l -) -(1 + gT)J(-1) + e~T >0 e^T <0 (約束條件) 得系統(tǒng)穩(wěn)定條件為 k>0 及 k<2(1 + %Z) \-e~T 可以看出，由勞斯判據(jù)和朱利判據(jù)得到的系統(tǒng)穩(wěn)定條件是一樣的。但利用朱利判據(jù) 比較簡(jiǎn)單。 例7-15設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖7-12所示，采樣周期T=ls。設(shè)K=10,試分析系統(tǒng)的 穩(wěn)定性，并求系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。 圖 7-12 解：(1)由圖7-12得： ?、K(l-e~Ts) 10(1-峪) G(s) = — =—

12、: s“s + l) s“s + l) 其對(duì)應(yīng)脈沖傳遞函數(shù) ?、10(0.368z +0.264) G(z)=— z2 -1.368z + 0.368 從而求得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) ?、 G(z) 3.68z + 2.64 O(z)=————=— 1 + G(z) z2+2.31z + 3 由此得系統(tǒng)的特征式為 z2 + 2.3 lz + 3 = 0 求解上述方程可得一對(duì)共扼復(fù)根 2, =-1.156 + jl.29 22 =-1.156-;1.29 分布在單位圓外，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 (2)由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù) K(0.368z + 0.264) G(z

13、)=— z2 -1.368z + 0.368 求得系統(tǒng)的特征方程為 z2 -(1.368 - 0.368 K)z + (0.368 + 0.264 K) = 0 進(jìn)行W變換得到 (2.736 - 0.104 K)W2 + (1.264 - 0.528 K)W + 0.632 K = 0 列勞斯表計(jì)算 W2 2.736-0.104K 0.632K Wl 1.264-0.528K 0 WQ 0.632K 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有勞斯表第一列各項(xiàng)系數(shù)為正的條件，即必有 0.632K > 0 < 1.264 — 0.528K>0 2.736 - 0.104K〉。 得到系統(tǒng)的

14、臨界放大系數(shù)為 K=2.4 例7-16試分別用靜態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法計(jì)算圖7-13所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤 差。 (1) 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-13所示，其中K = \0,T = 0.2,r(r) = l(r) + r + -r2 <> 2 (2) 己知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7T4所示,其中K = l,7 = 0.1,心)= 1。) +， a 5s v 圖 7-13 圖 7-14 解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 '\-e~Ts 10(1 +0.5打 ? 2 = (l-z-')Z 10(1 +0.5s)- a S ，廠 $3 G(z) = Z (Z — l

15、)3 = io(i-z-,)z 二+榮+9 S' s s 5T2z(z + l) 5Tz + (z-l) 令7 = 0.2,代入上式簡(jiǎn)化后得 L2z-O8 (z-1)2 解一：靜態(tài)誤差系數(shù)法 可以看出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)為II型。因此 1.2z-0.8 + (Z-l)2 =00 位置誤差系數(shù) Kn = lim[1+ G(z) J = lim 1 〃 Z->1 z->l 速度誤差系數(shù) I 2- — 0 A K、= lim(z - l)G(z) = lim(z -1) ―= oo n ii (z-1)- 加速度誤差系數(shù) K(l =lim(z-1)2

16、G(z) = lim(z-l)2 ⑵一°；、= 0.4 11 il (z — l)~ 故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 1 T T2 e(oo) = eKV = 1 F ——=0.1 匕,Kv K. 解二：動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法 因系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為 (Z — l)2 中(Z)= — — e 1 + G(z) 1 1.2Z-0.8 z2 -0.8Z + 0.2 (z-1)2 中,*（S）= C,,（Z）I (eTs -1)2 村0”_°2及_0.8《八+0.2 誤差系數(shù)為 水t)g * (s) | 2T(eTs -1) Ts 2 (2Te2Ts-0.STeTs) ' )(

17、凌萬(wàn) _0.8/+0.2)2 凌及一0險(xiǎn)八+02 =0 5=0 dW*(s) 勺--ds - 5=0 4疽嚴(yán)及(_2決奔 +6.2。5六一7.88eg +5.36。爪 一2.08。折 +0.44/' 一一0.04) (產(chǎn)—0." +0.2)4 47七3及(_2/符 +6.4疽八—7.8如抓 +4.64疽及 一 1.36/ +0.16) (/ 一0.8/ +0.2滬 卜 0.8疽/QU及 一8.阮5公 +10.52《場(chǎng)-6.72e3Ts + 2.44疽及 一 0.48/ +0.04) 疽及一0.8建+0.2）

18、 1.67^2無(wú)(2/7：，一 6.4疽八+7.84/萬(wàn) 一4.64疽八 +1.36/ - 0.16) (疽於一 0.8 必 +0.2)4 T2eTs (~2e2Ts +4eTs -1.2) (凌於 一0.8/' +0.2)2 = 5T2 = 0.2 s=0 又r(r) = 1 +，, r(r) = 1,所求之誤差級(jí)數(shù)為 e(nT) = c{)r(nT) + c} r(/?T) + — c2r(nT) = -Gr(nT) = -xO.2x 1=0.1 2! ■ 2 所

19、以 e(oo) = 0.1 (2)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 G(z) = (l-z_,)Z =(1?) 52(5 + l) Tz (l_g")z (z-i)2 (z-i)(z-g-r) 令7 = 0.1,代入上式化簡(jiǎn)后得 0.005 (z +0.9) G(Z)=(z-l)(z-0.905) 解一：靜態(tài)誤差系數(shù)法 顯然，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，因此 0.005(z + 0.9) 匕=蚣 U + G(z)] =甄 1+(zT)(2?0.905)

20、 =00 速度誤差系數(shù) K, Tim (z -l)G(z) = lim (z -1)。弋《 二噫=0.1 n (z-l)(z-0.905) 故，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 6-L+L 丑=1 Kp Kv 0.1 解二：動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法 因系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為 。 1 + G(z) z2-1.9z + 0.91 所以 誤差系數(shù)為 5=0 % =Q*(s)|s=o =0 如/(s) =(/一1) (g/ — 1.9gR +0.91)7/ —(/ —0.905)(2此2萬(wàn) 一1.9丁/) (e2Ts -}.9eTs +0.91)2 戒 一 0.905 凌

21、萬(wàn)一1月/ +0.91 所求系統(tǒng)的誤差級(jí)數(shù)為 4- TeTs = 0.95 s=o e(〃T)=門(.丁) 4- c, r(nT) = 0.95 故 g(oo) = 0.95 例7-17已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-15所示，K=10, T=0.2s, r (r) =1(，) +什1/2戶。 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。  將y =(e"z)T代入上式，可得E(z)為 廣，、 T(礦,z)T TzeaT (Z)=[l-(e-z)- ]2=(^) 例7-2試求《(滬1-廠的z變換。 s2(s + ]) 解：求Z變換的另一種方法是直接利用Z變換表。先將E(s)展為部分

22、分式，然后求 每一部分分式項(xiàng)的Z變換，并將它們組合在一起便可得E(z) O ① 將E(s)展成部分分式，則有： 頊S)= (1 1 =(1_°5)———+ 3 s (1 1 1)(11 1 ~; H I H S S + \ J S $ + 1 ②求每一部分分式項(xiàng)的Z變換：得與+ 相應(yīng)的Z變換 U2 S 5 + 1J [_Tz , Z ),與f± _1 + _1_V相應(yīng)的 Z 變換為( + Z Ji， t(z-l)2 z-1 z-e~T) U2 s S + 1J "(z-l)2 z-1 z-e~T) 所以 F(z)=(l-z-') Tz z

23、 z Jz-1)2 + z-e-Tj T ] | z-1 _ i-(7 + i)e-，+(r-i + g-，)z z-1 z-e_T ~ 仁-1)—-疽) z2 i-(r+i)e-7'+(r-i+g-7')z z2 ~(\+e~T)z + e~T 例7-3試用部分分式法，幕級(jí)數(shù)法和反變換公式法求函虹⑵=(「0.8)0。」) 的Z反變換。 解一：用昴級(jí)數(shù)法求z反變換 用長(zhǎng)除法將已(z)展為 解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 把r=o.2代入得 G(z) = Z[l W + 5] s2 =(pz[業(yè)羿] 可以求出：位置誤差系數(shù) Kn = limfl + G(z)] =

24、 lim[l + LZi：半]=g P ZTl 11 (Z-l)2 速度誤差系數(shù) Kr =lim(z-l)G(z) = lim(z-l) ——r— = oo z->l z->l (Z-頂 加速度誤差系數(shù) K, =lim(z-l)2 G(z) = lim (z _ 1)2 a Z->1 2 ->1 1.2z-0.8 = Q4 (z-l)2 所以系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差為 T2 1 T . e(oo) = e =——+ ——+ ——=().1 Ar A 例7-18如圖7-16所示系統(tǒng)，己知G, (s)= 爪，用根軌跡法確定k值的穩(wěn)定范 s(s +1) 圍。采樣周期T=0.

25、5so R (s) 圖 7-16 解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)= K s(s +1) 52(5 + l) 得到脈沖傳遞函數(shù) 當(dāng) 061.73 時(shí)，zi, 2均為實(shí)根, ZI.2為共扼復(fù)根。 而當(dāng) 0.22 lvK<61.73 時(shí), 特別是 當(dāng)K=0時(shí), 當(dāng) K=0.221 時(shí), 當(dāng) K=61.73 時(shí), 為求共扼復(fù)根軌跡，取z = a，j/3代入特征 zi=l Z2=0.6065 zi. 2=0.7915 （重根） zi. 2=-2.485 （重根） 圖 7-17 方程，并分別列出實(shí)部與虛部 G(z) =

26、 (g'+r-l) + (l — g-7—7>-7)zT (l-z-'Ml-e-V1) K (嚴(yán) 一 0.5)z + (l - 1.5°一°‘) (z-l)(z-e-05) K 0.1065z +0.0902 (z — l)(z —0.6065) 顯然根軌跡起始點(diǎn)為1和0.6065o 系統(tǒng)特征方程為 z2 -(1.6065 — 0.1065 K)z +(0.6065 + 0.0902X) = 0 其特征根 zL2 1.6065 一 0.1065 K 土 Jo.0113 (K - 0.211)(K - 6.73) a2-/?2-(1.6065 - 0.1065K)a +

27、0.6065 + 0.0902K = 0 j/}(2a -1.6065 + 0.1065/C) = 0 爪_ 1.6065-2。 0.1065 (a + 0.8467)2 +厭=1.6382 說(shuō)明特征方程的共扼復(fù)根都位于上式所描述的圓上。所以可以做出如圖7-17所示根 軌跡。 在z平面上作出單位圓，由圖上可以看出，當(dāng)0〈K〈0.22時(shí)系統(tǒng)非振蕩穩(wěn)定，當(dāng)0.22 〈K〈4.36時(shí)系統(tǒng)振蕩穩(wěn)定，當(dāng)K) 4.36時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 例7-19設(shè)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-18所示，其中k = 2,試在伯德圖上分析系統(tǒng) 的穩(wěn)定性。 解：由圖可的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 G(睥空旦 $2(S

28、+ 1) 圖7-18閉環(huán)采樣系統(tǒng) 從而求得 gb 八+ E) z2 -(1 + 6? )z + e ,0.37z + 0.26 ——k z2-1.37z + 0.37 令z =上龍，得 \-(0 0.37(旦當(dāng)+ 0.26 =k 1 _ ? ￡ 蕓 (冬)2_1.37(!±絲)+ 0.37 1-69 1-69 二 k 0.37(1 + 切)(1 一 刃)+ 0.26(1 一 切)2 一 (1 + 切)2 — 1.37(1 + 0))(1 -CD) + 0.37(1- co)2 ,-0.11(^2+0.47^-5.7) —k 口 (2.7S + 1.26

29、) ^0.11x5.7 .(刃— 1)(0.175切+ 1) 1.26 切(2.17/+1) G(刃)=G(z) 以k=2代入得 ?、 (切一 1)(0.175 切 + 1) (1 一 切)(0.175刃 + 1) G(69)= = 69(2.17^9 + 1) 69(2.17^ + 1) 以CD = jCOp代入得 Gg) = (I — /% )(0.175/0+1) 心 2.17/斜+1) ZG(jcop) = 一90" - arctan2.17a)p 一 arctanq, + arctanO. 175% 對(duì)數(shù)頻率特性的交接頻率分別為 co. = —-—

30、= 0.46,69 = I,/,. = —-— = 5.7 pl 2.17 "2 P3 0.]75 將對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別畫(huà)在圖7-19上，得 %=0?6"=7° 所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但穩(wěn)定裕度較小。 圖 7-19 例7-20離散系統(tǒng)如圖7-2()所示。試分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定K值的穩(wěn)定范 圍。 解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù): s s +1 s(s +1) 1甘 s ■ i+r 對(duì)應(yīng)的z變換: 圖 7-20 閉環(huán)特征方程: 即： 一 1 vK< l + e"

31、1- -T 例7-21 圖7-21所示系統(tǒng)的采樣周期Ts=ls,試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍。 R(s) C(s) 圖 7-21 解: 由題意可知 伙)=(* — 1)+ e\ (k) ￡2(z) = z-,E2(z) + ￡,(z) 弘) 0(z) 1-Z-* 因而 1 刀―。一八 K 1-z-' 7(K K G(z) = -~ Z( ) = - Z( )= 1 - Z S S 4- 1 l-z S S +1 K(l-/)z 0.632KZ (z — l)(z - /) 一(z - l)(z - ().368) 特征方程

32、為1+G (z) =0,經(jīng)化簡(jiǎn)后得 D(z) = z2 +(0.632 K — 1.368)z +0.368 =0 對(duì)。(z)進(jìn)行雙線性變換，令z = j，化簡(jiǎn)得 1 一 W (2.736-0.632K) W 2+1.264 W +0.632K=O 列出勞斯表如下 vv2 2.736-0.632K 0.632K 1.264 vv° 0.632K 若系統(tǒng)要求穩(wěn)定, 則 2.736-0.632/00, K>0 (XKV4.329 例7-22已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-22所示，其中ZOH為零階保持器，T=0.25s。 當(dāng)r(t)=2+t,欲使穩(wěn)態(tài)誤差小于

33、0.1,試求K值。 解：開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)： G(z) = -― ? z z 圖 7-22 在階躍輸入R(z)下的穩(wěn)態(tài)誤差％]=0, 值，且： z-l KTz _2 KTz~2 z (z-1)2 z-l 2z Tz R(z) = z[r(r)] + z[2 +，] = — + -_— z-l (z_l)_ =R|(Z)+ /?2(Z) 而單位斜坡輸入RKz)下的穩(wěn)態(tài)誤差e”2為常 e.ss2 T K=]im(z-l)G(z) = KT Z->1 故系統(tǒng)在/

34、 &V0.1,即 1/KV0.1,即 K>IO。 例7-23某數(shù)字控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-23所示。己知r = ciT,ci為正整數(shù)，GJs) 為零階保持器，試設(shè)計(jì)數(shù)字校正器D(z),使系統(tǒng)在單位階躍輸入下輸出量。(〃丁)滿足圖 7-24所示的波形。 c(nT) 鏟'(a+l)T 圖7-23數(shù)字系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解：根據(jù)題意由 圖7-24系統(tǒng)輸出特性 -SI) C(z) =(D⑵ R(z)=—- 1 — z 其中中(z)為系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，且O(z) = z~(fl+,) O由于 Gq)(z) = g(s)G°(s)l = Z s(" + l) (l-z~l)z

35、~aZ K.  Ka zF Ll-z-' l-e~r/^z-1 1-z- 1 1-產(chǎn)十. = z~aK ? ——七 “ 1-產(chǎn)十 一 \-e-T,Taz~x 因此由 中(z)= D(z)G"Go(z) =z-g)可得 l + O(z)G/,G°(z) 中(z) 一(。+1) 1 - z"(a+I) D( z) = = G0o(z )[12 ⑵]K.(l-g-S)zT5 l-e-T/r^z~l 例7—24己知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-25所示。其中，采樣周期T=ls,連續(xù)部分傳 遞函數(shù)G°G) =—-—。試求當(dāng)/W=KD時(shí)，系統(tǒng)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，過(guò)渡過(guò)程在

36、最少拍內(nèi)結(jié) s(s + 1) 束的數(shù)字控制器D(z)o 解： G(z) = Z 1 S(S 4-1) =Z -- _S 5 + 1 0.632z 圖 7-25 z z-1 z-e~] (z-l)(z-0.368) 依最小拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，當(dāng)r(t)=l(t)時(shí), O(z) = z_, 中 e(Z)= l-ZT 故數(shù)字控制系統(tǒng)器的脈沖傳遞函數(shù)： D(z)= [1-①(z)]*G(z) z_l 0.632z 中(Z) z —0.368 -ix u.uj 匕匕 0.632z U _ z ) (z — l)(z —0.368) 例7-2

37、5己知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-26所示，其中采樣周期T=iso若要求系統(tǒng)在 單位斜坡輸入時(shí)實(shí)現(xiàn)最少拍控制，試求數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)o 解：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù): G(s) = IQ(l-e^) s”s + l) 圖 7 — 26 (1 一疽)Z s"s + l) (z — l)2 (z — l)(z — eT) G(z) = Z 10(1 一。"') $2(s + l) Tz (Z-l)2 3.68zT(1+0.717zT) 一(1-zT)(1-0.368z-i) 依據(jù)r(l)=l,依最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù): O)(z

38、) = 2z-|(l-O.5z~l) 誤差脈沖傳遞函數(shù)： 0/5)= (l-Z-1)2 數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)： D(z) = ①(z) G(Z)① e(Z) 2zT(1-0.5zT) ~i (] — Z ) (l-z_1)(l-0.368z_,) 0.543(1-0.368Z-1 )(1-0.5z-') (1 — zT)(1 + 0.717zT) 例7-26己知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-27所示。采樣周期T=lso要求設(shè)計(jì)一數(shù)字控制 器。(z),使系統(tǒng)單位斜坡函數(shù)t輸入時(shí)，系統(tǒng)無(wú)波紋無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，且在最小拍結(jié)束過(guò)渡過(guò)程。 解：由題7-25可知: G(z) = Z

39、10(1-/) s2(s + l) 0.368zT(1 + 0.717zT) 圖 7-27 選取: (1 — zT)(1 — 0.368zT)  0)(z) = z_, (1 + 0.717z_, )(q + bz~l) W)= ZT(1 — ZT)(1+CZT) 其中，a, b, c?為待定常數(shù)。 1 -色(z) = (2 - c/ + (2c -l)z~2 一 cz-3 0)(z) = z_,(l + 0.717 z_, )(q + 阮 t) =az~' + 0 + 0.717 a)z'2 + 0.717 z-3 對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等(因?yàn)閘-0\(z) = e(z)

40、),故解得: 1.408; b = -0.826; c = 0.592 所以： 中(z) = z_, (1 + 0.717 zT )(1.408 - 0.826 z_,) =1.408 z_, (1 + 0.717 z_, )(1- 0.587 z_,) 色,(z) = (1 — zT)(1+0.592zT) 數(shù)字控制器： G(z)色(z) _ 1.408z_, (1 + 0.717z-i )(1- 0.587z_1) _3.68z：(l + 0.717z? OR/ (1-z-i)(1-0.368zT) 0.383(1 - 0.368/ )(1 - 0.587zT )

41、 (l-z-,)(l + 0.592z_,) 例 7-27 系統(tǒng)使其對(duì) 已知系統(tǒng)方框圖如圖7-28所示，且G(s)= ，采樣周期試設(shè)計(jì) s(s + 1) (r) =1 (。的響應(yīng)穩(wěn)態(tài)偏差為0,并旦在有限拍內(nèi)結(jié)束過(guò)渡過(guò)程。 R (s) 圖 7-28 解：因?yàn)? 所以有  G ⑵=z z = (l-e")z ° z-1 z-e~] (z-l)(z-/) (z-l)(z-0.368) 設(shè)q為G)(z)中分母高于分子的階數(shù)，有q=0 要求系統(tǒng)無(wú)差度，選擇 0.632z 所以 ")y=GE ⑵ Z — 1 0.632z G°⑵ (z — l)(z —0.3

42、68) 校正后系統(tǒng)方框圖如圖7-29所示。 茶IF* —。* 圖 7-29 R 例7-28 設(shè)離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-30所示。要求當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為 尸(，)=布乂1(。+甲時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為0,并在有限拍結(jié)束過(guò)度過(guò)程。試分別用連續(xù)式校正和 離散式校正設(shè)計(jì)上述系統(tǒng)。采樣周期7；)= Is。 1 - e~T°5 - K C (s) J * A _ A v- ■ s s k R (s) 圖 7-30 解：由于 r(t) = % x l(r) + /* x/ 我⑵=塵+ 砂 =E+GFz -z-1 (z - 1)2 一 (Z-1)2

43、而系統(tǒng)的不可變部分 廠小冏―峪) G°(s) = 2 其對(duì)應(yīng)的 1 + 0.9Z"1 +0.73z-2 +0.585z-3 z2-0.9z + 0.08 z2-0.9z + 0.08 - 0.9z — 0.08 Q.9z-0.81 + 0.072zT -) 0.73-0.072z-】 Q.73 — 0.657zT +0.0584z—2 -0.585z_, -0.0584z'2 所以E(z) = l + 0.9z~, +0.73z—2 + 0.585 z-3 +…，相應(yīng)的脈沖序列為 e * ⑺=8(t) + 0.9S T) + 0.73 漢"27) + 0.5855

44、。一 37) + … e*(1)代表的脈沖序列如圖7-1所示。 相應(yīng)采樣時(shí)刻的8。)值為： e(0) = 1, e(T) = 0.9, e(2T) = 0.73, e(3T) = 0.585,?? ? 解二：將E(s)展開(kāi)成部分分式求z反變換 為了能在Z變換表中得到相應(yīng)的E(s)的形式，需將E(s)表示為如下形式: E(z) _ z _ 8/7 1/7 匚一一(z-0.8)(z-0.1) 一 z-0.8 一 z-0.1 所以 E(z) = -*—-——-*—— 7 z-0.8 7 z-0.1 得： Q 1 頃)=一 (0.8)〃 ——(0.1)'盤=0,1,2,… 7

45、 7 采樣時(shí)刻的值為 e(0) = 1, e(T) = 0.9, e(2T) = 0.73, e(3T) = 0.585, ? ? ? 所以 圖7T 8 = ^e(nT)3(t - nT) n=0 s Q 1 =￡玲(0.8)”一3(0.1)”0(，一\。) n=o 7 7 =3Q) + O.W-T) + 0.735。一 2T) + 0.5855。一 37) + … 選擇 2z-l ⑴用離散校正方法。由于編暗” 得到 2z-l 1 2-z_, %z)=器_ k(z_i)_ k —t 校正后方框圖如圖7-31所示。

46、 （2）用連續(xù)校正方法。由 G3 與EF 其對(duì)應(yīng)的 Gq = {+M = l±了 S S S 系統(tǒng)不可變部分特性為 可求得 "）=森=若？ 校正系統(tǒng)的方框圖如圖7-33所示。 R (s) C (s) 圖 7-32 若將G(z)化成如下形式: 0(睥二=心*11 = (1-ZT)［蘭0 + 2—J (z-1)2 2(z-l)2 2(z — l)3 2(z — l)2 則其對(duì)應(yīng)的 而 所以有 gm s2 ")=蕓3=(土+土) 解三：

47、用反變換公式法求Z反變換 由e（〃r）= -^￡E（z）z〃—2z = ￡[E（z）z'j極點(diǎn)z,處的留數(shù)J知，它有兩個(gè)極點(diǎn)zi =0.8 和 Z2=0.1,所以 e(nT) = [E(z)zn-'^z} =0.8 處的留數(shù)]+[頊 z)z'i 在弓=0.1 處的留數(shù)] =[c1] + [c2] 其中 z2 "既（z-0.8）E（疽四”-。.8）（?！?睥_?！唬? Q =,(。.8)〃 c, = lim(z — 0.1)E(z)zi = —(0.1)M z->o.i 7 所以 X 1 e(nT) = - (0.8)” ——(0.1)”, n = 0

48、,1,2, ? ? ? 7 7 采樣時(shí)刻的e?）值為 e(0) = l,e(T) = 0.9,e(2T) = 0.73, g(3T) = 0.585,??- 所求z的反變換為 e*Q) = ￡e(〃T)S(I - nT) n=0 8 Q 1 =Z 修(0.8)”-：(0.1)〃]W-M) ?=o 7 7 =況。+ 0.W-H + 0.735。一 2T) + 0.585$(，一 37) + … 可以看出，三種反變換的方法結(jié)果是一致的。 例 7-4 求 G（S）= （T為采樣周期）的脈沖傳遞函數(shù)。 S（S + Q） 解: 貝)=“y)=(i-^)(4-—+墮) 7z

49、 s~(s + q) s~ s s + a Z[G(s)] = (1 - zT )Z[4- —+ 里]=三1 [fr - —( 'J = ， c c + a z (z-l)~ o(z-l) a(z-e ) (W +- l)z + (1 - "T 一 ClWaT ) a(z-l)(z-e~aT) 例7-5已知E(z)=2"_?,試求Z反變換g(〃r)。 (z2+l)2 解：E⑵=咨導(dǎo)’有兩個(gè)二重極點(diǎn)'即氣「Si E(z)z〃t 2zz,(z2-1) (22+1)2 E(z)zn~l在z = Z點(diǎn)的留數(shù) Res[E(z)zi,i] = lim 歹："：)]=

50、 f dz (z + z)~ 阮 2[(〃 + 2)z* -〃](z + 計(jì) 一 2z”(z? -1) x 2(z + i) i (Z + Z)4 2[(〃 + 2)z" -〃z"T](z + i)-4z〃(z2 _1) . (z + i) lim ； = m z->i Res[E(z)z,—i] = lim 4[竺M卻]= it dz 跖 2[(- + 2)z"+i z" '](z-i)-4z"(z2 一 1) = ]〃_] f (z-i)3 ~ _ e(nT) = ￡ Re s{E{z)zn~x\ = ￡〃尸[1 + (-l)n_, J = ￡(一1)〃 2(2〃

51、+ 1) = ^2/?sin — 〃=o h=o 11=0 ?i=o 2 例7-6試求圖7-2所示系統(tǒng)的輸出Z變換C ( z)0 C (s) —>r^ — s) S + 2 (2) 2s +1 解：(1) C(z) = Z( 2 5 z) = z(竺—地|)R(z) s + 2 s + 5 s + 2 s + 5 產(chǎn)) 10. z z 1() ~3{z-e~2T~ z-e-5T z ~S(z-e~2r)(z-e (2) C(z) = Z( 2 10s + l )Z(gz) 0.2z 0.6z zW z —。一°" R(z) R(z)

52、 0.12z2 (z-e_0-,7')(z-e-0-5r) 例7-7求圖7-3所示采樣系統(tǒng)輸出C ( z )表達(dá)式。 解: E(z) = R(z) — C(z)G3(z) 而 D(z) = E(z)G,G2(z) - D(z)G|G2(z) 因此 所以 D(z) = GG⑵ 1 + G,G2(z) 頊Z) C(z) = ￡(z)G,⑵一 D(z)Q(z) = r^B)￡(z) 圖7-3 C(z) = G|(z)R(z) 1 + GG(Z) G(z) 1 + G0(z) C(z)G3(z)

53、 C(z) = 0(z)R(z) l + GR(z) + G ⑵ G3 ⑵ 例7-8試求下列函數(shù)的初值和終值。 (1)E(z) = z2(z2 +Z + 1) (z2-0.8z + 1)(z2+z + 0.8) (2) 廠,、 1 + 0.3zT +0.山一2 z 一 1—4.2z_ +5.6z-2—2.4z-3 (提示：應(yīng)用終值定理是有條件的，即函數(shù)E(z)在單位圓上和單位圓外解析。) 解：(1)由初值定理得 e(0) = lim e*(f) = lim E(z) r->0 ztco z4 + z3 + z2 一坐 z4 +

54、0.2z3 + z2 +0.36Z + 0.8 — I 由于E(z)有四個(gè)極點(diǎn)，且都位于單位圓內(nèi)，故由終值定理得 g(co) = lim e (r) = lim -―- E(z) 一8 Z->1 Z z4 + z3 + z2 = lim * 」’~ ~ = 0 ZF z Z4 + 0.2z3 + z2 + 0.36z + 0.8 (2)由初值定理得 e(0) = lim E(z) = lim Z-?O0 14-0.3Z"1 +0.1z'2 1-4.2Z-1+5.6z-2 -2.4Z-3 =1 由于E(z)三個(gè)極點(diǎn)中，有兩個(gè)極點(diǎn)zi = 1.2和Z2 = 2在單位圓外，

55、故不能直接用終值 定理求解?？捎镁C合除法判斷其終值。 例7-9試用z變換法求解下列差分方程: e(k + 2) - 3e(k +1) + 2e(k) = r(k) 己知r(r) = <5)(1)以及當(dāng)k<0時(shí), ") = 0 解：因r(0 = 3(1),于是有 l,k = 0 0,S0 ■ 令7[e(k)] = E(z),且Z[r(*)] = 1,由z變換的實(shí)位移定理得 Z[e(k + 2

56、)] = zE(z) = = — H —I- (z-l)(z-2) z z -1 z-2 一1,。3=!，故 Z Z 1 Z 1 Z 1 Z 可得E(z)的反變換為 e(幻=火)-⑴*(2% = 0』，2,… 故可得e(Q各個(gè)時(shí)刻的值為 E(z) 一 z2e(0) 一 ze(V) Z[e(k + 1)J =淫(z) - ze(O) 對(duì)差分方程兩邊取z變換，經(jīng)整理后有 (z2-3z + 2)E(z) = 1 + (z? + 3z)e(0) + ze(l) 本例中的初值e(0)和e(l)可根據(jù)題設(shè)條件：e(k) = 0當(dāng)^<0,來(lái)確定。 確定e(0):由題設(shè)可直接定

57、出c(0)=。(幻| = 0; 確定e(l)：以k = -\代入原方程得 e(l)-3e(0) + 2e(-l) = r(-l) 由題設(shè)可知，e(-l) = 0,r(-l) = 0 ,代入上式后可得e(l) = 0 0將所求的初值 e(0) = e(l)=0代入z變換方程中，得 (z2 —3z + 2)E(z) = l 所以 E(z) = ^―!——= ? z2-3z + 2 (z-1)(z-2) 求E(z)的z反變換方法很多，下面僅用部分分式法求解: E(z)= ? = 所以 ￡'⑵= 5'z Z-1 2 Z-2 2 Z-1 2 Z-2 (z-l)(z-2) z

58、(z-l)(z-2) e(0) = 0, e(l) = 0, 。⑵=1, g(3) = 3, e(4) = 7, 四5) = 15 例7-10設(shè)有圖7-4 (。)，3)所示系統(tǒng)，均采用單速同步采樣周期T。試求各系 統(tǒng)的輸出C (z)表達(dá)式。 (a) C (s) R (s) C(s) (b) 圖7-4 解：對(duì)于圖7-4 (。)所示系統(tǒng)， C(z) = Z R(z) = Z(切號(hào)-也］)R(z) 5 + 2 54-5 G(z) 對(duì)于圖7-4 (寸)所示系統(tǒng), az)=l + 0(z)G3(z) + G0(z) 例7-11采樣系統(tǒng)如圖7-5所示，采樣周期T=().2s。當(dāng)R (s) =0時(shí)，求在擾動(dòng)信 N (s)