第8章 常微分方程數(shù)值解法 本章主要內(nèi)容： 1．歐拉法、改進(jìn)歐拉法 2

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1、第8章 常微分方程數(shù)值解法 本章主要內(nèi)容： 1．歐拉法、改進(jìn)歐拉法. 2．龍格-庫(kù)塔法。 3．單步法的收斂性與穩(wěn)定性。 重點(diǎn)、難點(diǎn) 一、微分方程的數(shù)值解法 在工程技術(shù)或自然科學(xué)中，我們會(huì)遇到的許多微分方程的問(wèn)題，而我們只能對(duì)其中具有較簡(jiǎn)單形式的微分方程才能夠求出它們的精確解。對(duì)于大量的微分方程問(wèn)題我們需要考慮求它們的滿足一定精度要求的近似解的方法，稱為微分方程的數(shù)值解法。本章我們主要討論常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法。 數(shù)值解法的基本思想是：在常微分方程初值問(wèn)題解的存在區(qū)間[a,b]內(nèi)，取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0＜x1＜…＜xN=b

2、（其中差hn= xn –xn-1稱為步長(zhǎng)，一般取h為常數(shù)，即等步長(zhǎng)），在這些節(jié)點(diǎn)上把常微分方程的初值問(wèn)題離散化為差分方程的相應(yīng)問(wèn)題，再求出這些點(diǎn)的上的差分方程值作為相應(yīng)的微分方程的近似值（滿足精度要求）。 二、歐拉法與改進(jìn)歐拉法 歐拉法與改進(jìn)歐拉法是用數(shù)值積分方法對(duì)微分方程進(jìn)行離散化的一種方法。 將常微分方程變?yōu)椤? 1．歐拉法（歐拉折線法） 歐拉法是求解常微分方程初值問(wèn)題的一種最簡(jiǎn)單的數(shù)值解法。 歐拉法的基本思想：用左矩陣公式計(jì)算（＊）式右端積分，則得歐拉法的計(jì)算公式為： 歐拉法局部截?cái)嗾`差 或簡(jiǎn)記為O（h2）。 我們?cè)谟?jì)算時(shí)應(yīng)注意歐拉法

3、是一階方法，計(jì)算誤差較大。 歐拉法的幾何意義：過(guò)點(diǎn)A0（x0，y0），A1（x1，y1），…，A n（x n，y n ），斜率分別為f（x0，y0），f（x1，y1），…，f（x n，y n）所連接的一條折線，所以歐拉法亦稱為歐拉折線法。 例1用歐拉法解初值問(wèn)題 ?在x＝0 (0.2) 1處的近似解。（計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù)）。 【思路】 用歐拉法求解常微分方程的初值問(wèn)題時(shí)，首先熟練掌握歐拉公式的一般形式， 根據(jù)具體題目寫出找出歐拉公式的迭代式，并根據(jù)初始條件和所給步長(zhǎng)進(jìn)行迭代求解。 解 ∵ f(x，y)＝－2xy ，h＝0.2， 歐拉公式為

4、： 列表計(jì)算如下： n xn yn y(xn) y(xn)-yn 0 0 1 1 0 1 0.2 1 0.9608 -0.0392 2 0.4 0.92 0.8521 -0.0679 3 0.6 0.7728 0.6977 -0.0751 4 0.8 0.5873 0.5273 -0.06 5 1 0.3994 0.3679 -0.0315 2．改進(jìn)歐拉法 改進(jìn)歐拉法比歐拉法的計(jì)算準(zhǔn)確，是對(duì)歐拉法的改進(jìn)。改進(jìn)歐拉法的基本思想：用梯形公式計(jì)算（＊）式右端積分，則得改進(jìn)

5、歐拉法的計(jì)算公式為： 利用改進(jìn)歐拉法計(jì)算常微分方程初值問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)注意此公式為隱式表達(dá)式，需要對(duì)它進(jìn)行迭代求解。計(jì)算時(shí)可以采用一次迭代和多次迭代，因此，就有改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式和反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式。 改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式： 反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式： 改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差或簡(jiǎn)記為O（h3）。從局部截?cái)嗾`差的形式看，改進(jìn)歐拉法是二階方法，因此，它比歐拉法更精確。 例2用預(yù)估-校正法求初值問(wèn)題 在x=0（0.2）1的解。 【思路】掌握預(yù)估-校正法的計(jì)算公式，根據(jù)已知條件

6、迭代求解。 解 步長(zhǎng)h=0.2，將代入預(yù)估-校正公式，整理得 列表計(jì)算如下： n x n y n y(x n) 0 0 1 1 1 0.2 0.80720 0.80463 2 0.4 0.63690 0.63145 3 0.6 0.49048 0.48918 4 0.8 0.37780 0.37720 5 1 0.29103 0.29100 例3用改進(jìn)歐拉法求解例1的初值問(wèn)題,要求。 【思路】掌握改進(jìn)歐拉法的計(jì)算公式，根據(jù)已知條件迭代求解，并檢驗(yàn)迭代解是否滿足精度要求，若滿足則確

7、定此解為常微分方程在某點(diǎn)的近似解。 解 將代入改進(jìn)歐拉法的計(jì)算公式得： 列表計(jì)算如下： n y(xn) y(xn)-yn 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0.2 1 0.96 0.9616 0.9615 0.9608 -0.0007 2 0.4 0.8846 0.8523 0.8549 0.8549 0.8521 -0.0028 3 0.6 0.7181 0.7003 0.7025 0.7022 0.6977 -0.0045 4 0.8 0.5337

8、 0.5325 0.5327 0.5327 0.5273 -0.0054 5 1 0.3622 0.3750 0.3725 0.3730 0.3679 -0.0051 三、龍格-庫(kù)塔法 1．龍格-庫(kù)塔法 龍格-庫(kù)塔法具有精度高、收斂、穩(wěn)定，不需要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，是求解微分方程初值問(wèn)題的一組著名的顯示單步方法，廣泛應(yīng)用于求解常微分方程的初值問(wèn)題。本章我們介紹了二、三、四階龍格-庫(kù)塔法。 龍格-庫(kù)塔法的基本思想： 在計(jì)算初值問(wèn)題的數(shù)值解時(shí)，考慮均差，則由微分中值定理可得， 由初值問(wèn)題可得公式為：上式中稱為區(qū)間上的平

9、均斜率。如果給平均斜率一種計(jì)算方法，就可得到計(jì)算y（x n+1）的近似值yn+1的公式。 如果僅取處的斜率值作為平均斜率的近似值，則得到的的公式為歐拉公式； 如果取處的斜率值，的平均值作為平均斜率的近似值，則得到的的公式改進(jìn)歐拉公式。 ㈠ 二階龍格-庫(kù)塔法的公式和局部截?cái)嗾`差： 在上式中選擇不同的參數(shù)，會(huì)得到不同的二階龍格-庫(kù)塔法公式，所以二階龍格-庫(kù)塔法公式不唯一。二階龍格-庫(kù)塔法公式的局部截?cái)嗾`差為Ο（h3）。 常見的二階龍格-庫(kù)塔法公式有以下兩種 改進(jìn)歐拉法迭代公式

10、 ㈡ 三階龍格-庫(kù)塔法的公式和局部截?cái)嗾`差： 常見的三階龍格-庫(kù)塔法公式為 三階龍格-庫(kù)塔法公式的局部截?cái)嗾`差為Ο（h4）。 ㈢ 四階龍格-庫(kù)塔法公式 通常所說(shuō)的龍格-庫(kù)塔法是指四階龍格-庫(kù)塔法，也稱為標(biāo)準(zhǔn)龍格-庫(kù)塔法。由于它是一步法，（即已知，就可以求出，無(wú)需知道，，…的值）且它的計(jì)算精度高，所以應(yīng)用較多，但在計(jì)算時(shí)，因?yàn)槊恳徊蕉夹枰?jì)算四次f（x，y）的值，計(jì)算量較大，所以，一般用來(lái)計(jì)算前幾項(xiàng)的近似值，即“表頭”。 四階龍格-庫(kù)塔法公式為的公式和局部截?cái)嗾`差： 四階龍格-庫(kù)塔法

11、的局部截?cái)嗾`差為Ο（h5）。 四、單步法的收斂性和穩(wěn)定性 1．收斂性 如果在無(wú)舍入誤差且步長(zhǎng)h充分小的情況下，求得的近似值足夠精確地逼近真解 ，即：當(dāng)時(shí)，一致地有 ①歐拉法整體截?cái)嗾`差：其中為真解，為在無(wú)舍入誤差情況下，從y0用歐拉法計(jì)算公式求得的近似解。 ② 歐拉法的收斂條件：如果f(x,y)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，且局部截?cái)嗾`差Rn有 界，即則歐拉法收斂。且歐拉法的整體截?cái)嗾`差估計(jì) 式為： 其中L為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)，b-a為求解區(qū)間

12、的長(zhǎng)度，。 3.穩(wěn)定性和絕對(duì)穩(wěn)定性 ①穩(wěn)定性：指初始（或某步）產(chǎn)生的誤差在后面的迭代計(jì)算中不會(huì)再擴(kuò)大。即存在常數(shù)C及h0,0＜h≤h0時(shí)，對(duì)任意兩個(gè)初始值滿足不等式 。 ② 歐拉法穩(wěn)定性的條件：如果f(x,y)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，則歐拉法穩(wěn)定。 ③ 絕對(duì)穩(wěn)定性：若對(duì)固定步長(zhǎng)及任意兩個(gè)初始值滿足不等式 。 ④ 我們?cè)谟懻摲€(wěn)定性時(shí)應(yīng)注意，一般在實(shí)際計(jì)算中只能取固定步長(zhǎng)，它不可能任意縮小。所以絕對(duì)穩(wěn)定性則表示的是對(duì)固定步長(zhǎng)h0，在初始（或某步）所產(chǎn)生的誤差，在以后計(jì)算中不會(huì)逐步增長(zhǎng)。由于絕對(duì)穩(wěn)定性的成立和f(x,y)有關(guān)，討論較為復(fù)雜。所以一般地，我們對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程的絕對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行討論。使得數(shù)值方法絕對(duì)穩(wěn)定的步長(zhǎng)h和常數(shù)μ的取值范圍稱為絕對(duì)穩(wěn)定域。（各種數(shù)值方法的絕對(duì)穩(wěn)定域見課本）。 例4 對(duì)于初值問(wèn)題， 證明當(dāng)時(shí)，歐拉法絕對(duì)穩(wěn)定。 證明 由歐拉公式得 所以， 當(dāng)時(shí)，有 所以歐拉法絕對(duì)穩(wěn)定。 本章學(xué)習(xí)以記憶公式和掌握證明題的推導(dǎo)方法為主。 8