高一數學必修二 圓的標準方程七嘴八舌知識點分析蘇教版圓的標準方程

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1、C(x,y)r xyO自然界中有著漂亮的自然界中有著漂亮的圓圓，圓圓是最完美的曲線之一是最完美的曲線之一.圓的定義：平面內與定點距離等于定長的點圓的定義：平面內與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）是圓的集合（軌跡）是圓.問題問題1 1什么叫做圓？什么叫做圓？問題問題2 2確定圓需要哪幾個要素？確定圓需要哪幾個要素？圓心確定圓的位置圓心確定圓的位置半徑確定圓的大小半徑確定圓的大小問題問題3 3圓心為圓心為(a,b(a,b) )，半經為，半經為r r的圓的方程是什么的圓的方程是什么呢？呢？定點就是圓心，定長就是半徑定點就是圓心，定長就是半徑。圓的定義探索探索：圓心是圓心是C(a,bC(a,b) )

2、，半徑是，半徑是r r的圓的方程是什么？的圓的方程是什么？CPrxOy解解：設設P(x,y)是圓是圓C上任意一點，上任意一點，則則 CP=r. (x-a) 2 + (y-b) 2 = r把上式兩邊平方得：把上式兩邊平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2由兩點間距離公式可得：由兩點間距離公式可得：兩.gsp(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2CPrxOy反過來，若點反過來，若點P P1 1的坐標（的坐標（x x1 1,y,y1 1) )是方程（二元二次方程）是方程（二元二次方程） (x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r

3、2的解，那么的解，那么 即有：即有：這說明點這說明點P P1 1（x x1 1,y,y1 1) )在以在以C(a,bC(a,b) )為圓心，為圓心， r r為半徑的圓上為半徑的圓上.的解，那么的解，那么 即有：即有：圓的標準方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2特點：特點：問題問題：觀察圓的標準方程的特點有哪些？觀察圓的標準方程的特點有哪些？1 1、 明確給出了圓心坐標和半徑明確給出了圓心坐標和半徑. .2 2、確定圓的方程必須具備三個獨立條件、確定圓的方程必須具備三個獨立條件, , 即即a a、b b、r .r .3 3、是關于、是關于x x、y y的二元二次方程的二元二次方程.

4、 .4、特殊位置的圓的方程特殊位置的圓的方程: : 圓心在原點圓心在原點: : x2 + y2 = r2 圓心在圓心在x x軸上軸上: : (x a)2 + y2 = r2 圓心在圓心在y軸上軸上: x2+ (y b)2 = r2 例例1 1：求圓心是：求圓心是C C（2,-32,-3），且經過原點的圓的標準方程），且經過原點的圓的標準方程. .解：因為圓解：因為圓C經過坐標原點，所以圓經過坐標原點，所以圓C的半徑的半徑 r= = 圓圓C方程為方程為: (x-2) 2 + (y+3) 2 = 1322)3(213變式變式2 2：已知點：已知點A A（-4-4，-5-5），），B B（6 6，-

5、1-1），求以線段），求以線段ABAB為為直徑的圓的標準方程直徑的圓的標準方程. .解：圓的標準方程為解：圓的標準方程為:(x-1)2+(y+3)2=29變式變式1 1：直線：直線x+yx+y=4=4和和x-yx-y=-2=-2均過圓心，半徑為均過圓心，半徑為3 3的圓的標的圓的標準方程是什么？準方程是什么？解解：圓的標準方程為：圓的標準方程為：(x-1) 2 + (y-3) 2 = 9變式變式4 4：求：求圓心在圓心在x x軸上，半徑為軸上，半徑為5 5，且過點，且過點A A(2(2， 3)3)的的圓的標準方程。圓的標準方程。解：圓的標準方程為：解：圓的標準方程為：(x 6)2 + y2 =

6、 25或或(x + 2)2 + y2 = 25變式變式3 3：求圓心在（：求圓心在（1 1，3 3），且和直線），且和直線3x-4y-7=03x-4y-7=0相切的圓相切的圓的標準方程的標準方程. . 解：圓的標準方程為解：圓的標準方程為: (x-1) 2 + (y-3) 2 =25625圓心：兩條直線的交點圓心：兩條直線的交點半徑：圓心到圓上一點半徑：圓心到圓上一點xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) ):10l xy 弦弦ABAB的垂的垂直平分線直平分線 例例2 2:已知圓心為已知圓心為C C 的圓經過點的圓經過點A A(1, 1)(1, 1)和和B B(2, (2, 2

7、)2)，且圓心且圓心C C 在直線上在直線上l l：x x y y +1=0+1=0，求圓心為，求圓心為C C 的圓的的圓的標準方程標準方程D解一解一:由A A(1,1)(1,1)和和B B(2,-2)(2,-2)得線段得線段ABAB 中垂線方程為：中垂線方程為：033 yx解方程組解方程組01033yxyx得得. 2, 3yx即圓心即圓心C C )2, 3(圓的半徑圓的半徑22(13)(12)5rAC所以，圓所以，圓C C 的標準方程是的標準方程是: :22(3)(2)25xy 解二：設所求圓解二：設所求圓C C的方程是的方程是 (1)(1) 因為因為A A(1,1), (1,1), B B

8、(2,(2,2)2)都在圓上，所以它們的坐標都滿都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程（足方程（1 1）圓心圓心C C 在直線上在直線上l l：x x y y +1=0+1=0，于是于是222222(1)(1)(2)( 2)10abrabrab 325abr 所求圓所求圓C的方程為的方程為:22(3)(2)25xy 222)()(rbyax待定系待定系數法數法幾何幾何法法例例3 3已知隧道的截面是半徑為已知隧道的截面是半徑為4 4米的半圓，車輛只能在道米的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為路中心線一側行駛，一輛寬為2.72.7米，高為米，高為3 3米的貨車能不米的貨車能不能駛入這個隧道？

9、能駛入這個隧道？解：以某一截面半圓的圓心為坐標原解：以某一截面半圓的圓心為坐標原點，半圓的直徑點，半圓的直徑AB所在的直線為所在的直線為x軸，建立直角坐標系（如右圖）軸，建立直角坐標系（如右圖）將將x=2.7代入代入,得得 3。 那么半圓的方程為那么半圓的方程為2216(0)xyy2162.78.71y 即在離中心線即在離中心線2.7米處，隧道的高度低于貨車的高度米處，隧道的高度低于貨車的高度.因此，貨車不能駛入這個隧道因此，貨車不能駛入這個隧道.ABXY02.7思考：假設貨車的最大寬度為a m，那么貨車要駛入該隧道，限高為多少？課堂檢測課堂檢測: :1.1.求經過點求經過點P( 6, 3 )

10、,P( 6, 3 ),圓心為圓心為C(2, -2)C(2, -2)的圓的方程。的圓的方程。2.2.求以點求以點A (1, 5)A (1, 5)與與B B（3 3，-1-1）為直徑兩端點的圓的）為直徑兩端點的圓的方程。方程。3.3.求以點求以點C( -1 ,-5)C( -1 ,-5)為圓心為圓心, ,并且和并且和y y軸相切的圓的方軸相切的圓的方程。程。4.4.求經過兩點求經過兩點A(-1, 4)A(-1, 4)、B B（3 3，2 2），且圓心在），且圓心在y y軸上軸上的圓的方程。的圓的方程。22(2)(2)41xy22(2)(2)10 xy22(1)(5)1xy22(1)10 xy(1)(

11、1)圓心為圓心為C(a,b)C(a,b)，半徑為，半徑為r r的圓的標準方程為的圓的標準方程為 (x-(x-a a) )2 2+(y-+(y-b b) )2 2= =r r2 2 幾種特殊位置的圓的標準方程：幾種特殊位置的圓的標準方程：(2)(2)由于圓的標準方程中含有由于圓的標準方程中含有 a,b,ra,b,r三個參數，因三個參數，因 此必須具備三個獨立的條件才能確定圓。此必須具備三個獨立的條件才能確定圓。 (3) (3)圓的標準方程的求法：幾何法、待定系數法。圓的標準方程的求法：幾何法、待定系數法。 (4)(4)注意圓的平面幾何知識的運用以及應用圓注意圓的平面幾何知識的運用以及應用圓的方程解決實際問題。的方程解決實際問題。課本第課本第100頁頁 第第1（2）（）（3）、）、2、3題題 11,A xy 22,B xy 12120 x xx xy yy y 已知：一個圓的直徑端點是已知：一個圓的直徑端點是 ，證明：圓的方程是證明：圓的方程是