2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 方法、思想解讀 第4講 從審題中尋找解題思路課件 文.ppt

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第4講從審題中尋找解題思路 審題亦即提取有效信息 挖掘隱含信息 提煉關(guān)鍵信息 條件是題目的 泉眼 為考察學(xué)生的觀察 理解 分析 推理等能力 高考試題往往變換概念的表述形式 精簡試題從條件到結(jié)論的中間環(huán)節(jié) 透析試題的條件之間的聯(lián)系 隱去問題涉及的數(shù)學(xué)思想及背景 如何科學(xué)地審題是同學(xué)們最需要掌握的基本技能 事實(shí)上 審題能力的培養(yǎng)并未引起應(yīng)有的重視 很多同學(xué)熱衷于題型的總結(jié)與解題方法和技巧的訓(xùn)練 把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等同于解題訓(xùn)練 一味地機(jī)械模仿導(dǎo)致應(yīng)變能力不強(qiáng) 遇到陌生的問題往往束手無策 致使解題失誤或陷入誤區(qū) 審題和解題是解答數(shù)學(xué)試題的重要兩步 其中 審題是解題的前提 詳細(xì)全面地審題為順利解題掃除大部分障礙 正確把握數(shù)學(xué)試題中的已知條件和所求 從題目關(guān)鍵詞語中挖掘隱含條件 啟發(fā)解題思路 最短時(shí)間內(nèi)理解條件和結(jié)論所包含的詳細(xì)信息是保障解題效率與解題質(zhì)量的必需條件 解題作為審題活動(dòng)的升華 是全面解答數(shù)學(xué)試題的核心 怎樣才算審清題意了呢 主要是弄清題目已經(jīng)告訴了什么信息 需要我們?nèi)プ鍪裁?從題目本身獲取 如何解這道題 的邏輯起點(diǎn) 推理目標(biāo)以及溝通起點(diǎn)與目標(biāo)之間聯(lián)系的更多信息 試題的條件和結(jié)論是兩個(gè)信息源 為了從中獲取盡可能多的信息 我們要字斟句酌地分析條件 分析結(jié)論 分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系 常常還要輔以圖形或記號 以求手段與目標(biāo)的統(tǒng)一 一 二 三 四 五 六 七 一 審清條件信息審視條件一般包括 挖掘隱含信息 洞察結(jié)構(gòu)特征 洞悉圖形趨勢 研讀圖表數(shù)據(jù) 等幾方面 審題時(shí)要避開過去熟悉的同類題目的影響 看似相同 就按過去同類型題目進(jìn)行求解 要審出同還是不同 不能似是而非 一 二 三 四 五 六 七 例1在 ABC中 D為邊BC上一點(diǎn) BD DC ADB 120 AD 2 若 ADC的面積為3 則 BAC 答案60 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 審題指導(dǎo)一先作出草圖了解題意 由 ADC的面積為3 DC DB BC 在 ADC中 由余弦定理得AC 在 ABD中 由余弦定理得AB 在 ABC中 由余弦定理得 BAC 審題指導(dǎo)二考慮已知的條件 ADB 120 AD 2 S ADC 3 作AE BC 在Rt DAE中易得AE DE 由S ADC易得DC 從而得BC 分別在Rt AEC Rt AEB中由勾股定理易得AC AB 這樣由余弦定理得 BAC 審題指導(dǎo)三在審題指導(dǎo)二得出AE DE BE后 如能及時(shí)審視出AE BE 則有 EAB 45 在Rt AEC中易求tan EAC 從而利用tan BAC tan 45 EAC 得出 BAC 一 二 三 四 五 六 七 二 審條件中的隱含有的數(shù)學(xué)試題條件并不明顯 審題時(shí)要注意挖掘隱含條件和信息 對條件進(jìn)行再認(rèn)識 再加工 只有這樣 方可避免因忽視隱含條件而出現(xiàn)錯(cuò)誤 要注意已知條件中的概念本身容易疏忽的限定信息 關(guān)注問題中易于疏忽的特殊情形 可能情形 相近概念之間的差異 要清晰定理成立 公式存在的前提 一 二 三 四 五 六 七 例2 1 若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列 且最大邊長與最小邊長的比值為m 則m的取值范圍是 A 1 2 B 2 C 3 D 3 2 設(shè)點(diǎn)P在曲線y ex上 點(diǎn)Q在曲線y ln 2x 上 則 PQ 的最小值為 答案 1 B 2 B 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 三 審條件中的結(jié)構(gòu)特征高考數(shù)學(xué)試題中的已知條件 很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的 在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中 往往隱含著某種特殊關(guān)系 我們不僅要認(rèn)真審視數(shù)式的淺層結(jié)構(gòu)特征 還要對數(shù)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入的分析 加工 轉(zhuǎn)化 努力弄清其深層結(jié)構(gòu)特征 在這個(gè)逐步清晰的過程中 力爭尋找到突破問題的方案 一 二 三 四 五 六 七 例3已知 an 是公差為3的等差數(shù)列 數(shù)列 bn 滿足b1 1 b2 anbn 1 bn 1 nbn 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 求 bn 的前n項(xiàng)和 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 四 審圖形特點(diǎn)尋簡捷在一些高考數(shù)學(xué)試題中 問題的條件往往是以圖形的形式給出 或?qū)l件隱含在圖形之中 因此在審題時(shí) 最好畫一個(gè)圖 并在圖中標(biāo)出必要的條件和數(shù)據(jù) 畫圖的過程是一個(gè)熟悉問題的過程 是一個(gè)對已知條件進(jìn)行再認(rèn)識的過程 不僅如此 還要善于觀察圖形 洞悉圖形所隱含的特殊的關(guān)系 數(shù)值的特點(diǎn) 變化的趨勢 抓住圖形的特征 利用圖形所提供的信息來解決問題 一 二 三 四 五 六 七 例4函數(shù)y 2x2 e x 在 2 2 的圖象大致為 一 二 三 四 五 六 七 答案D解析特殊值驗(yàn)證法 取x 2 則y 2 4 e2 8 2 7182 0 6 0 1 排除A B 當(dāng)0 x 2時(shí) y 2x2 ex 則y 4x ex 由函數(shù)零點(diǎn)的判定可知 y 4x ex在 0 2 內(nèi)存在零點(diǎn) 即函數(shù)y 2x2 ex在 0 2 內(nèi)有極值點(diǎn) 排除C 故選D 一 二 三 四 五 六 七 審題指導(dǎo)這類題型的最佳解法應(yīng)為結(jié)合函數(shù)的性質(zhì) 選取特殊點(diǎn)進(jìn)行排除 y f x 2x2 e x 為偶函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) f x 4x ex 作y 4x與y ex的圖象如圖所示 故存在實(shí)數(shù)x0 0 1 使得f x0 0 則當(dāng)x 0 x0 時(shí) f x0 0 所以f x 在 0 x0 內(nèi)單調(diào)遞減 在 x0 2 內(nèi)單調(diào)遞增 又f 2 8 e2 8 7 4 0 6 故選D 一 二 三 四 五 六 七 五 審圖表數(shù)據(jù)找關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一 此類問題關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活 其試題中的圖表 數(shù)據(jù)隱藏著豐富的數(shù)據(jù)和信息及其內(nèi)在聯(lián)系 也往往暗示著解決問題的目標(biāo)和方向 要求考生發(fā)現(xiàn)生活中的問題 學(xué)著運(yùn)用課堂上學(xué)到的知識來分析 解決 在審題時(shí) 要認(rèn)真觀察分析圖表 數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律 找到其中的內(nèi)在聯(lián)系 為解決問題提供有效的途徑 一 二 三 四 五 六 七 例5某公司計(jì)劃購買1臺(tái)機(jī)器 該種機(jī)器使用三年后即被淘汰 機(jī)器有一易損零件 在購進(jìn)機(jī)器時(shí) 可以額外購買這種零件作為備件 每個(gè)200元 在機(jī)器使用期間 如果備件不足再購買 則每個(gè)500元 現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件 為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù) 得下面條形圖 記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù) y表示1臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用 單位 元 n表示購機(jī)的同時(shí)購買的易損零件數(shù) 一 二 三 四 五 六 七 1 若n 19 求y與x的函數(shù)解析式 2 若要求 需更換的易損零件數(shù)不大于n 的頻率不小于0 5 求n的最小值 3 假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購買19個(gè)易損零件 或每臺(tái)都購買20個(gè)易損零件 分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù) 以此作為決策依據(jù) 購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)還是20個(gè)易損零件 一 二 三 四 五 六 七 解 1 當(dāng)x 19時(shí) y 3800 當(dāng)x 19時(shí) y 3800 500 x 19 500 x 5700 所以y與x的函數(shù)解析式為 2 由條形圖知 需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0 46 不大于19的頻率為0 7 故n的最小值為19 一 二 三 四 五 六 七 3 若每臺(tái)機(jī)器在購機(jī)同時(shí)都購買19個(gè)易損零件 則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購買易損零件上的費(fèi)用為3800 20臺(tái)的費(fèi)用為4300 10臺(tái)的費(fèi)用為4800 因此這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為 3800 70 4300 20 4800 10 4000 若每臺(tái)機(jī)器在購機(jī)同時(shí)都購買20個(gè)易損零件 則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購買易損零件上的費(fèi)用為4000 10臺(tái)的費(fèi)用為4500 因此這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為 4000 90 4500 10 4050 比較兩個(gè)平均數(shù)可知 購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)易損零件 一 二 三 四 五 六 七 審題指導(dǎo)把統(tǒng)計(jì)與函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查 有綜合性但難度不大 1 當(dāng)n 19時(shí) 探求y與x的函數(shù)解析式 由于機(jī)器使用前額外購買這種零件的價(jià)格與機(jī)器使用期間再購買這種零件的價(jià)格不同 需對1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)x與購機(jī)的同時(shí)購買的易損零件數(shù)n 19加以比較 自然應(yīng)用分類討論思想對x 19與x 19 分別探求y與x的函數(shù)解析式 2 本題的統(tǒng)計(jì)圖表不是高頻考查的頻率分布直方圖 而是統(tǒng)計(jì)圖表中的條形圖 3 許多考生沒有讀懂題意 本問是判斷購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)還是20個(gè)易損零件 而判斷的決策依據(jù)是 這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù) 為此需計(jì)算兩種方案時(shí)的平均數(shù) 每一種方案 如何求解其平均數(shù)呢 自然借助于條形圖 一 二 三 四 五 六 七 六 審結(jié)論善轉(zhuǎn)換結(jié)論是解題的最終目標(biāo) 解決問題的思維在很多情形下都是在目標(biāo)意識下啟動(dòng)和定向的 審視結(jié)論是要探索已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化規(guī)律 可以從結(jié)論中捕捉解題信息 確定解題方向 有些問題的結(jié)論看似不明確或不利于解決 我們可以轉(zhuǎn)換角度 達(dá)到解決問題的目的 一 二 三 四 五 六 七 例6如圖 已知正三棱錐P ABC的側(cè)面是直角三角形 PA 6 頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E 連接PE并延長交AB于點(diǎn)G 1 證明G是AB的中點(diǎn) 2 在題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F 說明作法及理由 并求四面體PDEF的體積 一 二 三 四 五 六 七 解 1 因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D 所以AB PD 因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E 所以AB DE 所以AB 平面PED 故AB PG 又由已知可得 PA PB 從而G是AB的中點(diǎn) 2 在平面PAB內(nèi) 過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影 一 二 三 四 五 六 七 理由如下 由已知可得PB PA PB PC 又EF PB 所以EF PA EF PC 因此EF 平面PAC 即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影 連接CG 因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D 所以D是正三角形ABC的中心 由 1 知 G是AB的中點(diǎn) 所以D在CG上 一 二 三 四 五 六 七 審題指導(dǎo) 1 本題條件中出現(xiàn)正三棱錐P ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D 可得AB PD 又D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E 則AB DE AB 平面PED 而待證G是AB的中點(diǎn) 由于PA PB 只需證明AB PG 一 二 三 四 五 六 七 七 審已知與結(jié)論建聯(lián)系高考試題的條件和結(jié)論是兩個(gè)信息源 其條件和結(jié)論 很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的 弄清問題不僅要弄清條件 弄清結(jié)論 而且還要弄清條件與所求結(jié)論的相互聯(lián)系 以求手段與目標(biāo)的統(tǒng)一 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 1 試題的條件和結(jié)論是解題的兩個(gè)信息源 題目的條件對于得出結(jié)論是充分的 解題的鑰匙就放在題目的條件里 其中的許多信息常常是通過語言文字 公式符號以及它們之間的聯(lián)系間接地告訴我們 所以 審題要逐字逐句看清楚 力求從語法結(jié)構(gòu) 邏輯關(guān)系 數(shù)字含義 條件特征 答題形式 數(shù)據(jù)聯(lián)系等各方面真正弄懂題意 只有細(xì)致審題才能挖掘出來 讓其 現(xiàn)出原形 避免發(fā)生會(huì)而不對 對而不全的現(xiàn)象 欲速則不達(dá) 磨刀不誤砍柴工 審題不要怕慢 當(dāng)然這有待于平時(shí)的審題訓(xùn)練 2 審題決定成敗 審題是解題的一個(gè)重要步驟 通過審題收集信息 加工信息 熟悉題目并深入到題目內(nèi)部去思考 去分析 我們就會(huì)找到問題解決的突破口 審題是通向成功的起點(diǎn) 也是成功的歸宿