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4.1 勢能的變化與機械功
[學習目標] 1.認識重力做功與物體運動的路徑無關的特點，理解重力勢能的概念.2.理解重力做功與重力勢能變化的關系.3.知道重力勢能具有相對性，知道重力勢能是物體和地球所組成的系統(tǒng)所共有的．
一、研究重力做功跟重力勢能變化的關系
1．重力勢能
(1)定義：物體由于被舉高而具有的能量．
(2)公式：Ep＝mgh，式中h是物體重心到參考平面的高度．
(3)單位：焦耳；符號：J.
2．重力做功與重力勢能的變化：
(1)表達式：W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
(2)兩種情況：
①物體由高處到低處，重力做正功，重力勢能減少；
②物體由低處到高處，重力做負功，重力勢能增加．
二、重力做功與路徑無關
1．重力做功的表達式：W＝mgh，h指初位置與末位置的高度差．
2．重力做功的特點：物體運動時，重力對它做的功只跟它的初位置和末位置的高度有關，而跟物體運動的路徑無關．
三、彈性勢能
1．定義：物體發(fā)生彈性形變時具有的勢能叫做彈性勢能．
2．大?。簭椈傻膭哦认禂?shù)為k，彈簧的伸長量或壓縮量為x，則彈簧的彈性勢能Ep＝kx2.
[即學即用]
1．判斷下列說法的正誤．
(1)重力做功與物體沿直線或曲線運動有關．()
(2)物體只要運動，其重力一定做功．()
(3)同一物體在不同位置的重力勢能分別為Ep1＝3 J，Ep2＝－10 J，則Ep1
WB＝WC，PA>PB＝PC
B．WA＝WB＝WC，PA＝PB＝PC
C．WA＝WB＝WC，PB>PC>PA
D．WA>WB>WC，PA>PB>PC
答案 C
解析 由重力做功特點知：WA＝WB＝WC；由運動學知識知，從拋出到落地的時間：tBPC>PA，故C對．
二、重力勢能
[導學探究] 如圖3所示，質量為m的物體自高度為h2的A處下落至高度為h1的B處．求下列兩種情況下，重力做的功和重力勢能的變化量，并分析它們之間的關系．
圖3
(1)以地面為零勢能參考面；
(2)以B處所在的平面為零勢能參考面．
答案 (1)重力做的功W＝mgΔh＝mg(h2－h(huán)1)，選地面為零勢能參考面，EpA＝mgh2，EpB＝mgh1，重力勢能的變化量ΔEp＝mgh1－mgh2＝－mgΔh.
(2)選B處所在的平面為零勢能參考面，重力做功W＝mgΔh＝mg(h2－h(huán)1)．物體的重力勢能EpA＝mg(h2－h(huán)1)＝mgΔh，EpB＝0，重力勢能的變化量ΔEp＝0－mgΔh＝－mgΔh.
綜上兩次分析可見W＝－ΔEp，即重力做的功等于重力勢能的變化量的負值，而且重力勢能的變化與零勢能參考面的選取無關．
[知識深化]
1．重力做功與重力勢能變化的關系：
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
2．重力勢能的相對性
物體的重力勢能總是相對于某一水平參考面，選取不同的參考面，物體重力勢能的數(shù)值是不同的．故在計算重力勢能時，必須首先選取參考平面．
3．重力勢能是標量，但有正負之分，物體在零勢能面上方，物體的重力勢能是正值，表示物體的重力勢能比在參考平面上時要多，物體在零勢能面下方，物體的重力勢能是負值，表示物體的重力勢能比在參考平面上時要少．
4．重力勢能的變化量與參考平面的選擇無關．
例2 如圖4所示，質量為m的小球，從離桌面H高處由靜止下落，桌面離地高度為h.若以桌面為參考平面，那么小球落地時的重力勢能及整個過程中重力勢能的變化分別是(重力加速度為g)( )
圖4
A．mgh，減少mg(H－h(huán))
B．mgh，增加mg(H＋h)
C．－mgh，增加mg(H－h(huán))
D．－mgh，減少mg(H＋h)
答案 D
解析 以桌面為參考平面，落地時小球的重力勢能為－mgh，即末狀態(tài)的重力勢能為－mgh，初狀態(tài)的重力勢能為mgH，重力勢能的變化即為－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，重力勢能減少了mg(H＋h)，故選D.
三、重力做功與重力勢能變化的關系
例3 如圖5所示，質量為m的小球，用一長為l的細線懸于O點，將懸線拉直成水平狀態(tài)，并給小球一個向下的速度讓小球向下運動，O點正下方D處有一釘子，小球運動到B處時會以D為圓心做圓周運動，并經過C點，若已知OD＝l，則小球由A點運動到C點的過程中，重力做功為多少？重力勢能減少了多少？
圖5
答案 mgl mgl
解析 從A點運動到C點，小球下落的高度為h＝l，
故重力做功W＝mgh＝mgl，
重力勢能的變化量ΔEp＝－W＝－mgl
負號表示小球的重力勢能減少了．
1．重力做功與重力勢能變化的關系：W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp，即重力勢能變化多少是由重力做功的多少唯一量度的，與物體除重力外是否還受其他力作用以及除重力做功外是否還有其他力做功等因素均無關．
2．兩種情況
物體由高到低重力勢能減少
物體由低到高重力勢能增加．
四、彈力做功與彈性勢能變化的關系
[導學探究] 如圖6所示，物體與彈簧相連，物體在O點時彈簧處于原長，把物體向右拉到A處由靜止釋放，物體會由A向A′運動，則：
圖6
(1)物體由A向O運動的過程中，彈力對物體做什么功？彈簧的彈性勢能如何變化？
(2)物體由O向A′運動的過程中，彈力對物體做什么功？彈簧的彈性勢能如何變化？
答案 (1)正功 減少 (2)負功 增加
[知識深化]
1．對彈性勢能的理解
(1)系統(tǒng)性：彈性勢能是發(fā)生彈性形變的物體上所有質點因相對位置改變而具有的能量，因此彈性勢能具有系統(tǒng)性．
(2)相對性：彈性勢能的大小與選定的零勢能位置有關，對于彈簧，一般規(guī)定彈簧處于原長時的勢能為零勢能．
注意：對于同一個彈簧，伸長和壓縮相同的長度時，彈簧的彈性勢能是相同的．
2．彈力做功與彈性勢能變化的關系
(1)關系：彈力做正功時，彈性勢能減少，彈力做負功時，彈性勢能增加，并且彈力做多少功，彈性勢能就變化多少．
(2)表達式：W彈＝－ΔEp＝Ep1－Ep2.
3．使用范圍：在彈簧的彈性限度內．
注意：彈力做功和重力做功一樣，也和路徑無關，彈性勢能的變化只與彈力做功有關．
例4 如圖7所示，處于自然長度的輕質彈簧一端與墻接觸，另一端與置于光滑地面上的物體接觸，現(xiàn)在物體上施加一水平推力F，使物體緩慢壓縮彈簧，當推力F做功100 J時，彈簧的彈力做功________J，以彈簧處于自然長度時的彈性勢能為零，則彈簧的彈性勢能為______J.
圖7
答案?。?00 100
解析 在物體緩慢壓縮彈簧的過程中，推力F始終與彈簧彈力等大反向，所以推力F做的功等于物體克服彈簧彈力所做的功，即W彈＝－WF＝－100 J．由彈力做功與彈性勢能的變化關系知，彈性勢能增加了100 J.
針對訓練 如圖8所示，輕彈簧下端系一重物，O點為其平衡位置(即重物重力和彈簧彈力大小相等的位置)，現(xiàn)用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A點，彈力做功為W1，第二次把它拉到B點后再讓其回到A點，彈力做功為W2，則這兩次彈力做功的關系為( )
圖8
A．W10，所以小球的重力勢能減少，且減少了90 J.
一、選擇題
考點一 重力做功的特點
1.如圖1所示，甲、乙兩名學生的質量都是m，且身高相同，當他們從地面分別以圖示的路徑登上高h的階梯頂端A時，他們的重力做功情況是( )
圖1
A．甲的重力做的功多
B．乙的重力做的功多
C．甲、乙的重力做的功一樣多
D．無法判斷
答案 C
解析 重力做功只與物體的初、末位置有關，與運動路徑無關，所以甲、乙重力做功一樣多，C正確．
【考點】重力做功的特點
【題點】不同物體重力做功的比較
2．某游客領著孩子游泰山時，不小心將手中的皮球滑落，球從山上的位置A滾到了山腳下的位置B，高度標記如圖2所示，則下列說法正確的是( )
圖2
A．從A到B的曲線長度不知道，無法求出此過程重力做的功
B．從A到B過程中阻力大小不知道，無法求出此過程重力做的功
C．從A到B重力做功mg(H＋h)
D．從A到B重力做功mgH
答案 D
解析 重力做功與路徑無關，根據(jù)兩點間的高度差即可求得重力做的功．因A、B兩點間的高度差為H，則重力做功W＝mgH，D正確．
【考點】重力做功的特點
【題點】同一物體重力做功的比較
考點二 對重力勢能的理解
3．下列關于重力勢能的幾種理解，正確的是( )
A．重力勢能等于零的物體，一定不能對別的物體做功
B．放在地面上的物體，它的重力勢能一定等于零
C．選取地面為參考平面，從不同高度將某一物體拋出，落地時物體的重力勢能不相等
D．選取不同的參考平面，物體具有不同數(shù)值的重力勢能，但并不影響有關重力勢能問題的研究
答案 D
【考點】對重力勢能的理解
【題點】重力勢能的性質
4．(多選)如圖3所示，一小球貼著光滑曲面自由滑下，依次經過A、B、C三點．以下表述正確的是( )
圖3
A．若以地面為參考平面，小球在B點的重力勢能比C點大
B．若以A點所在的水平面為參考平面，小球在B點的重力勢能比C點小
C．若以B點所在的水平面為參考平面，小球在C點的重力勢能大于零
D．無論以何處水平面為參考平面，小球在B點的重力勢能均比C點大
答案 AD
【考點】重力勢能的變化
【題點】定性判斷重力勢能的變化
5．一物體以初速度v豎直向上拋出，做豎直上拋運動，則物體的重力勢能Ep－路程s圖像應是四個圖中的( )
答案 A
解析 以拋出點為零勢能點，則上升階段路程為s時，克服重力做功mgs，重力勢能Ep＝mgs，即重力勢能與路程s成正比；下降階段，物體距拋出點的高度h＝2h0－s，其中h0為上升的最高點，故重力勢能Ep＝mgh＝2mgh0－mgs，故下降階段，隨著路程s的增大，重力勢能線性減小，選項A正確．
【考點】重力勢能的變化
【題點】定性判斷重力勢能的變化
考點三 重力做功與重力勢能的變化
6．(多選)物體在運動過程中，克服重力做功100 J，則以下說法正確的是( )
A．物體的高度一定降低了
B．物體的高度一定升高了
C．物體的重力勢能一定是100 J
D．物體的重力勢能一定增加100 J
答案 BD
解析 克服重力做功，即重力做負功，重力勢能增加，高度升高，克服重力做多少功，重力勢能就增加多少，但重力勢能是相對的，增加100 J的重力勢能，并不代表現(xiàn)在的重力勢能就是100 J，故B、D正確，A、C錯誤．
【考點】重力做功與重力勢能變化的關系
【題點】定量計算重力做功與重力勢能變化的關系
7．一根長為2 m、重為200 N的均勻木桿放在水平地面上，現(xiàn)將它的一端緩慢地從地面抬高0.5 m，另一端仍放在地面上，則所需做的功為( )
A．50 J B．100 J
C．200 J D．400 J
答案 A
解析 由幾何關系可知，桿的重心向上運動了h＝ m＝0.25 m，故克服重力做功WG＝mgh＝2000.25 J＝50 J，外力做的功等于克服重力做的功，即外力做功50 J，選項A正確．
【考點】重力做功與重力勢能變化的關系
【題點】定量計算重力做功與重力勢能變化的關系
8.如圖4所示，一質量為m、邊長為a的正方體物塊與地面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.1.為使它水平移動距離a，可以用將它翻倒或向前緩慢平推兩種方法，則下列說法中正確的是( )
圖4
A．將它翻倒比平推前進做功少
B．將它翻倒比平推前進做功多
C．兩種情況做功一樣多
D．兩種情況做功多少無法比較
答案 B
解析 使物塊水平移動距離a，若將它翻倒一次，需要克服重力做功，使其重心位置由離地h1＝增加到h2＝a，所以至少需要做功W1＝mg(h2－h(huán)1)＝mg(－1)a；而緩慢平推需要做功W2＝μmga＝0.1mga＜W1.故選B.
【考點】重力做功與重力勢能變化的關系
【題點】定量計算重力做功與重力勢能變化的關系
考點四 彈力做功與彈性勢能變化的關系
9.如圖5所示，物體A的質量為m，A的上端連接一個輕彈簧，彈簧原長為L0，勁度系數(shù)為k，整個系統(tǒng)置于水平地面上，現(xiàn)用拉力將彈簧上端B緩慢地豎直向上提起，B點上移距離為L，此時物體A也已經離開地面，則下列說法中正確的是( )
圖5
A．拉力對系統(tǒng)做功為mgL
B．物體A的重力勢能增加mgL
C．物體A的重力勢能增加mg(L－L0)
D．物體A的重力勢能增加mg
答案 D
解析 將彈簧上端B緩慢地豎直向上提起，由于開始時地面對物體A有支持力，故拉力小于mg，物體A離地后拉力等于mg，故拉力對系統(tǒng)做功小于mgL，故A錯誤；B點上移距離為L，彈簧伸長量為ΔL＝，故A上升的高度為L－ΔL，所以物體A的重力勢能增加mg，故B、C錯誤，D正確．
10.一豎直彈簧下端固定于水平地面上，小球從彈簧的正上方高為h的地方自由下落到彈簧上端，如圖6所示，經幾次反彈以后小球最終在彈簧上靜止于某一點A處，則( )
圖6
A．h越大，彈簧在A點的壓縮量越大
B．彈簧在A點的壓縮量與h無關
C．h越大，最終小球靜止在A點時彈簧的彈性勢能越大
D．小球第一次到達A點時彈簧的彈性勢能比最終小球靜止在A點時彈簧的彈性勢能大
答案 B
解析 最終小球靜止在A點時，通過受力分析，小球重力mg與彈簧的彈力kx大小相等，由mg＝kx得，彈簧在A點的壓縮量x與h無關，彈簧的彈性勢能與h無關．
11．(多選)如圖7所示，一輕彈簧一端固定于O點，另一端系一重物，將重物從與懸點O在同一水平面且使彈簧保持原長的A點無初速度釋放，讓它自由擺下，不計空氣阻力，在重物由A點擺向最低點B的過程中( )
圖7
A．重力做正功，彈力不做功
B．重力做正功，彈力做負功，彈性勢能增加
C．若用與彈簧原長相等的細繩代替彈簧后，重力做正功，彈力不做功
D．若用與彈簧原長相等的細繩代替彈簧后，重力做功不變，彈力不做功
答案 BC
解析 用細繩拴住重物向下擺動時，重力做正功，彈力不做功，C對；用彈簧拴住重物向下擺動時，彈簧要伸長，重物軌跡不是圓弧，彈力做負功，彈性勢能增加，重力做正功，且比用細繩拴重物時做功多，所以A、D錯，B對．
二、非選擇題
12．(重力做功與重力勢能的變化)如圖8所示，總長為2 m的光滑勻質鐵鏈，質量為10 kg，跨過一光滑的輕質定滑輪．開始時鐵鏈的兩端相齊，當略有擾動時某一端開始下落，不計滑輪的大小，問：從鐵鏈剛開始下落到鐵鏈剛脫離滑輪這一過程中，重力對鐵鏈做了多少功？重力勢能如何變化？變化了多少？(g取10 m/s2)
圖8
答案 50 J 重力勢能減少 50 J
解析 如圖所示，開始時，鐵鏈重心在A點，鐵鏈將要離開滑輪時，重心在B點，則此過程中鐵鏈重心下降距離Δh＝0.5 m，重力做功W＝mgΔh＝10100.5 J＝50 J，重心下降，重力做正功，故鐵鏈重力勢能減少50 J.
13．(彈力做功與彈性勢能變化的關系)通過探究得到彈性勢能的表達式為Ep＝kx2，式中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧伸長(或縮短)的長度．請利用彈性勢能表達式計算以下問題：
放在地面上的物體上端系在一勁度系數(shù)k＝400 N/m的彈簧上，彈簧的另一端拴在跨過定滑輪的繩子上，如圖9所示．手拉繩子的另一端，當往下拉0.1 m時，物體開始離開地面，繼續(xù)拉繩，使物體緩慢升高到離地h＝0.5 m高處．如果不計彈簧重力及滑輪與繩的摩擦，求拉力所做的功以及此時彈簧彈性勢能的大?。?
圖9
答案 22 J 2 J
解析 物體剛離開地面時，彈簧的彈性勢能
Ep＝kx2＝4000.12 J＝2 J
此過程中拉力做的功與克服彈力做的功相等，則有
W1＝－W彈＝ΔEp＝2 J
物體剛好離開地面時，
有G＝F＝kx＝4000.1 N＝40 N
物體上升h＝0.5 m過程中，拉力做的功等于克服物體重力做的功，則有W2＝Gh＝400.5 J＝20 J
在整個過程中，拉力做的功
W＝W1＋W2＝2 J＋20 J＝22 J
此時彈簧的彈性勢能仍為2 J.
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