工程數(shù)值分析報(bào)告實(shí)驗(yàn)龍格庫塔,最小二乘法

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1、word 工程數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告 指導(dǎo)教師 班級(jí) 學(xué)號(hào) 某某 實(shí)驗(yàn)一：最小二乘法擬合曲線實(shí)驗(yàn) 一、實(shí)驗(yàn)名稱：最小二乘法擬合曲線實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)時(shí)間：2015-5-14 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)： 主樓機(jī)房 實(shí)驗(yàn)器材： 計(jì)算機(jī)matlab 二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簩W(xué)會(huì)用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式，并應(yīng)用算法于實(shí)際問題。 三、實(shí)驗(yàn)要求： 〔1〕根據(jù)最小二乘法和加權(quán)最小二乘法的根本理論，編寫程序構(gòu)造擬合曲線的法方程，要求可以方便的調(diào)整擬合多項(xiàng)式的次數(shù)； 〔2〕采用列主元法解〔1〕中構(gòu)造

2、的法方程，給出所擬合的多項(xiàng)式表達(dá)式； 〔3〕編寫程序計(jì)算所擬合多項(xiàng)式的均方誤差，并作出離散函數(shù) 和擬合函數(shù)的圖形； 〔4〕 用MATLAB的內(nèi)部函數(shù)polyfit求解上面最小二乘法曲線擬合多項(xiàng)式的系數(shù)與平方誤差，并用MATLAB的內(nèi)部函數(shù)plot作出其圖形，并與〔1〕的結(jié)果進(jìn)展比擬。 四、算法描述〔實(shí)驗(yàn)原理與根底理論〕 根本原理：從整體上考慮近似函數(shù) 同所給數(shù)據(jù)點(diǎn) (i=0,1,…,m)誤差 (i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差 (i=0,1,…,m)絕對值的最大值 ，即誤差 向量 的∞—X數(shù)；二是誤差絕對值的和 ，即誤差向量r的1—X數(shù)；三是誤差平方和 的

3、算術(shù)平方根，即誤差向量r的2—X數(shù)；前兩種方法簡單、自然，但不便于微分運(yùn)算 ，后一種方法相當(dāng)于考慮 2—X數(shù)的平方，因此在曲線擬合中常采用誤差平方和 來 度量誤差 (i=0，1，…，m)的整體大小。 五、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：共有兩組給定數(shù)據(jù)，把給定的數(shù)據(jù)擬合成多項(xiàng)式。 第一組給定數(shù)據(jù)點(diǎn)如表1所示如下： 表1 數(shù)據(jù)表 0 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 1 1．75 1．96 2．19 2．44 2．71 3．00 表2 數(shù)據(jù)表 0 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 1 1．75 1．96 2．19

4、 2．44 2．71 3．00 1 2 3 6 4 2 1 六、程序流程圖 開始 輸入擬合次數(shù)N,X,Y的坐標(biāo) 矩陣A 計(jì)算X,Y平均值 獲得A的逆矩陣B 獲得矩陣C 計(jì)算相關(guān)系數(shù)r 解方程組 獲得系數(shù)a0,a1 輸出 完畢 七、實(shí)驗(yàn)結(jié)果 >> zuixiaoerchenfa ans = 27-May-2015 ans = 7.3611e+05 ans = 1.0e+03 *

5、 >> Figure 1 Figure 2 Figure 4 Figure 3 八、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 實(shí)驗(yàn)程序 quxiannihe.m clear all date,now,clock x0=[0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y0=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; w=ones(size(x0)); x=0:0.01:1; %進(jìn)展五次曲線擬合 N=5; for i=1:N a1=LSF(x0,y0,w,i) ; y=pol

6、yval(a1,x); figure(i) plot(x0,y0,'ok',x,y,'r') title('最小二乘法'); legend('y0','y'); xlabel('x'); ylabel('y'); end 實(shí)驗(yàn)二：4階經(jīng)典龍格庫塔法解常微分方程 一、實(shí)驗(yàn)名稱：4階經(jīng)典龍格庫塔法解常微分方程 實(shí)驗(yàn)時(shí)間：2015-5-14 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)： 主樓機(jī)房 實(shí)驗(yàn)器材： 計(jì)算機(jī)matlab 二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簩W(xué)習(xí)掌握4階經(jīng)典R-K方法，體會(huì)參數(shù)和步長對

7、問題的影響。 三、實(shí)驗(yàn)要求： 〔1〕用4階經(jīng)典R-K法編寫計(jì)算程序，要求用法與ode45一致。并將計(jì)算結(jié)果畫圖比擬，并分析步長變化對解的影響。 〔2〕當(dāng)激勵(lì)力幅值分別按0.3，0.33，0.4， 0.43，0.54，0.58，0.75， 0.84，11.21，13.34進(jìn)展計(jì)算。每一個(gè)數(shù)據(jù)畫出三幅圖，分別為時(shí)間位移曲線，時(shí)間速度曲線和相圖?？疾旒?lì)力幅值變化引起的系統(tǒng)響應(yīng)的變化。 〔3〕請采用MATLAB中的內(nèi)部庫函數(shù)ode45求解此常微分方程初值問題的解，并與〔1〕中的結(jié)果進(jìn)展比擬。 四、算法描述〔實(shí)驗(yàn)原理與根底理論〕 系統(tǒng)方程和表述如下： 如此系統(tǒng)的輸出按如下求解：

8、 其中： 這樣，下一個(gè)值(yn+1)由現(xiàn)在的值(yn)加上時(shí)間間隔(h)和一個(gè)估算的斜率的乘積決定。該斜率是以下斜率的加權(quán)平均： k1是時(shí)間段開始時(shí)的斜率； k2是時(shí)間段中點(diǎn)的斜率，通過歐拉法采用斜率k1來決定y在點(diǎn)tn?+?h/2的值； k3也是中點(diǎn)的斜率，但是這次采用斜率k2決定y值； k4是時(shí)間段終點(diǎn)的斜率，其y值用k3決定。 五、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：求解常微分方程初值問題，考慮著名的Duffing方程。 G．Duffing 在1918 年引入了一個(gè)帶有立方項(xiàng)的非線性振子來描述出現(xiàn)在許多力學(xué)問題中的質(zhì)量、彈簧、阻尼系統(tǒng)。從那時(shí)起，Duffing方程在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的

9、研究中占有重要的地位。Duffing方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是 其中：是一個(gè)含有三次項(xiàng)的非線性函數(shù)，是一個(gè)周期函數(shù)。 把，代入上式，可得 〔1〕 式中：, 步長; 初值向量為:x0=(0, 0.1)。要求考察激勵(lì)力幅值變化引起的系統(tǒng)響應(yīng)的變化。積分時(shí)間區(qū)間為：[0, 50]。 六、程序流程圖 開始 輸入a,b,n,x a,y y0 輸出k,x,y k=n = 完畢 七、實(shí)驗(yàn)結(jié)果 i x(i) y(i)

10、 >> 八、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 實(shí)驗(yàn)程序 function varargout=saxplaxliu(varargin) clc,clear x0=0;xn=1.2;y0=1;h=0.1; [y,x]=lgkt4j(x0,xn,y0,h); n=length(x); fprintf('i x(i) y(i)\n'); for i=1:n fprintf('%2d %4.4f %4.4f\n',i,x(i),y(i) ); end function z=f(x,y) z=-2*x*y^2; function [y,x]=lgkt4j(x0,xn,y0,h) x=x0:h:xn; n=length(x); y1=x; y1(1)=y0; for i=1:n-1 K1=f(x(i),y1(i)); K2=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K1); K3=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K2); K4=f(x(i)+h,y1(i)+h*K3); y1(i+1)=y1(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); end y=y1; 13 / 13