橋梁結(jié)構(gòu)理論與計算方法梁板式結(jié)構(gòu)分析的有限條法PPT課件

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1、 有限條法(1)板條(a）位移函數(shù)在有限板條中，選用條帶節(jié)線中點的撓度（w）及x向（橋梁的橫向）的轉(zhuǎn)角 作為位移函數(shù)。圖示為一簡支板式橋的典型有限條。該板條的縱向撓曲形狀可采用正弦函數(shù)模擬，而撓曲面的橫向（xx）截面可用連接若干個多項式函數(shù)來模擬。現(xiàn)將位移函數(shù)取為)(xw板劃分為有限條 lymxfyxwmrmsin)(),(1342321)(xaxaxaaxfm第1頁/共47頁lymxwlymxwlymwwlymwwjmrmjjimrmiijmrmjimrmisinsinsinsin1111常數(shù) 可用變形協(xié)調(diào)條件)4 , 3 , 2 , 1( iaiimmimmxfwfx)0(,)0(, 0j

2、mmjmmxbfwbfbx)(,)(,得出方程jmjmimimbabaawbababaaawa24323423212132,求出第2頁/共47頁lymxNwxNxNwxNyxwjmjmimimrmsin)()()()(),(43211lymNzxwimrmisin),(1(b）能量方程iiiVU lxyyxbiyxyxwMywMxwMU 0 22222 0 dd221 lbiyxyxwyxqV 0 0 dd),(),(典型有限條第3頁/共47頁 lbiTilbxyyxiyxMyxyxwywxwMMMU 0 0 22222 0 0 dd21dd221、2122222imimrmmByxwywxw

3、曲率向量 ykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNykNykNykNBmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmimcos2 cos2 cos2 cos2sin sin sin sinsin sin sin sin432142322124321第4頁/共47頁彎矩或扭矩 yxwDMxwDywDMywDxwDMxyxyyyxx222122221222)()( 0 00 0 11mbmxyyxxyyxDDDDDDMMMMimimiblbTimTimrnrmiyxBDBUdd21 0 0 11 第5頁/共47頁yxlzmyxqNVlbTTimrmidd 0 0 1sin)

4、,( （c）剛度矩陣 總勢能 iniiniiniVU111最小勢能原理 0Tm011iminiiminiTmVUyxLymyxqNyxBDBlbTimibibnilbTimdddd 0 0 1 0 0 sin),( imimnjimPK1 - - 2365154231kkkkkkkkkkKKKKKbjjTbijbijbijim對稱第6頁/共47頁1224315651270136DkblDkblDbklDblkmxymymx12243215215421012DbklDbklDkblDblkmxymymx1224223535420113DklDklDkblDblkmxymymx1224345651

5、214096DbklDkblDbklDblkmxymymx1224225105840133DklDklDkblDblkmxymymx1224363015280DbklDbklDkblDblkmxymymx（d）荷載向量將各單元的節(jié)點荷載用正弦級數(shù)展開。該正弦級數(shù)應(yīng)在板條 方向上展開并和位移函數(shù)相似，即lyqlyqq2sinsin21第7頁/共47頁yxlymyxqNMPMPPlbTjmjmimimimdd 0 0 sin),(單元的荷載向量 均布荷載mlqbbbbPmim022) 1(1 122122集中荷載 0004030201sin)(),(),(),(ykFxNxNxNxNPmTim局部

6、均布荷載 mimCqbxbxbxbxbxbxxbxbxxP024324232432342343 2 43222nnnxxx12)cos(cos121ykykkCmmmm第8頁/共47頁（e）其它支承條件的位移函數(shù)選取對于板條來說，選擇合適的位移函數(shù)非常重要，一般情況下板條的位移函數(shù)可寫為)(),(mmrmyYNyxw1kyCkyCkyCkyCyYchsh4321cossin)(兩端均簡支 ykyYmmsin( 兩端均固結(jié) )(cossin)(ykykykykyYmmmmmmchshlklklklkmmmmmchcosshsin而 是方程1- 的解 lkm0chcosklkl第9頁/共47頁 一

7、端簡支另一端固結(jié)ykykyYmmmmsh sin)(lklkmmmshsin而 是方程 的解，當(dāng) 時， lkmklklthtg5mmlkm41兩端均自由; 1, 1)(11kyY1,21)(22klzyY)ch(cosshsin)(ykykykykyYmmmmmm 表達式同情況,當(dāng) 時, 于情況2中的一端固結(jié)另一端自由m3mmk2mk)(cossin)(ykykykykyYmmmmmmchshlklklklkmmmmmchcosshsin而 是方程 的解。當(dāng) 時， lkm0chcos1klkl10m)5 . 0( mlkm第10頁/共47頁一端簡支另一端自由1,)(11klyyYykykyYm

8、mmmshsin)(的表達式同情況，當(dāng) 2時， 等于情況的mmmk1mk(2) 平面應(yīng)力條（a）位移函數(shù) 假定沿板的厚度方向的應(yīng)力可略去不計，如圖所示，則應(yīng)變變形關(guān)系xvyuyvxuxyyx應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 )(pxyyxxyxzyzyyxxyxxyyxDEEEEE1 0 00 0 11第11頁/共47頁簡支的矩形板邊界條件 0),()0 ,( , 0),()0 ,(lxxlxuxuyy位移函數(shù) ykxdxddykxcxccvummrmcos)(sin)(221022101,/1010ddcclmkm第12頁/共47頁利用條之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系有rmjmjmimimmmmmrmmmNvuvuykbx

9、ykbxykbxykbxvu11cos 0 cos)1 ( 0 0 sin 0 sin11mmrmB 1mmrmPBDykbykkbxykbykkbxykkbxykkbxykbykbBmmmmmmmmmmmmmcoscoscoscossinsinsinsin1 1 1 0 1 0 0 1 0 1應(yīng)力,應(yīng)變第13頁/共47頁（b）剛度矩陣和荷載向量 平面應(yīng)力條的應(yīng)變能yxtUxyxyyyxxblidd)(200yxtTbldd200yxBDBtmmplbTmrmTmdd2001 荷載勢能 yxqqvuyxldd -Vb00yxqqNyxTmblTmrmdd001yxqqNyxTmblTmrmdd

10、001yxBDBtKmpTmblmdd 002356164231 - - kkkkkkkkkktKKKKKpjjTijpijpiimp對稱剛度矩陣 第14頁/共47頁xymxymElbkEblkElbkEblk122 62214211225222122 62ElbkEblkElbkEblkmxymxyxymxmxymxmElkElkkElkElkk44 441613荷載向量 yxqqNPyxTmblmdd00集中力作用)cos(cos0/0/12100ykykkqbxbxPmmmxm 第15頁/共47頁線荷載作用 ,)cos(cos0/0/12100ykykkqbxbxPmmmxm 僅有均布載

11、 作用在整個板條上xP mlbPPxmm) 1(1 021021xqxPyxFF ,第16頁/共47頁(3) 薄殼條（a）剛度矩陣和荷載向量 在分析箱形梁用薄殼條，薄殼條是由板條和平面應(yīng)力條組合而成。對于兩邊簡支結(jié)構(gòu)，總勢能可寫為2111mTmrmmmTmrmPKVUTjmjmjmjmimimimimmwvuwvu ,位移列向量 bjjTbijpjjTpijbijbiipijpiimKKKKKKKKK 0 0 0 0 0 0 0 0 板條 平面應(yīng)力條 TjmjmyjmxjmimimyimximmMPPPMPPPP,第17頁/共47頁（b）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換imimimimimimimimimimwuwv

12、vwuucossinsincos 00 mmmTtt1 0 0 0 0 cos 0 sin0 0 1 0 0 sin 0 cost坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 第18頁/共47頁(4) 連續(xù)結(jié)構(gòu)分析 對于連梁板或箱梁結(jié)構(gòu)，可以先將中支承全部解除，代以未知反力 ，那么結(jié)構(gòu)是在外荷載和未知反力共同作用下的簡支結(jié)構(gòu)，跨徑為兩橋臺支點之距。而 應(yīng)滿足下式 jrjrjr0 2121212222111211nnnnnnnnrrr0r只要聯(lián)立有限條方程和此式進行求解即可。此法稱為柔度法，求解連續(xù)結(jié)構(gòu)的剛度法及支點沉降的處理可參見文獻第19頁/共47頁高級有限條 上節(jié)所介紹的有限條位移函數(shù)，只能使條的橫向斜率和位移在節(jié)線處（或板

13、邊）連續(xù)，但條的曲率和彎矩不能滿足連續(xù)條件，且自由邊上的彎矩也不等于零。這個問題可通過下述兩種途徑來解決：（a）增加節(jié)線上的自由度；（b）在條內(nèi)加入內(nèi)節(jié)線，此即為高級有限條。 （1） 曲率連續(xù)板條如圖所示，在板條節(jié)線處增加一個位移參數(shù)橫向曲率 ，這樣，板條的橫向曲率和彎矩均是連續(xù)的，其計算結(jié)果將更精確 曲率連續(xù)板條第20頁/共47頁這種板條位移可寫為lymNNNNNNNwrmmrmmmsin,165432115431615101XXXN)3861 (4322XXXxN)(.322333150XXXxN543461510XXXN)374(4325XXXxN)(.3226250XXXxNbxX/T

14、jmjmjmimimimmww,imimxw)/(22位移函數(shù)的曲率向量 ,12222mrmmTByxwywxw 2 2 2 2 2 2 654625242654321322212321ykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNykNykNykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNykNykNBmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmcoscoscossinsinsinsinsinsincoscoscossinsinsinsinsinsinlmkm/第21頁/共47頁 彎矩向量 mrmmBDM1 剛度矩陣 365121192411108198736

15、5241 - - - kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKm對稱317120720710462181bDbCbBbAkbDbCbBAbk3519235163583465523235331563092403353bDCbBbAbk2247607101434620311bDCBAbkbDbCbBAbk73428455440281353511306018480232246DCbBbAbk37712072071023125bDbCbBbAk328760731434620151bDCBAbkbDbCbBAbk7342845544018139bDbCbBAbk3510835701980193103

16、54105210138601322411DCbBbAbk7063012601108833512bDCbBbAbkxymymDlkBDlkA242 21xmlDDDlkC2 2114第22頁/共47頁條的荷載向量 mlqbbbbbbpmTm0323211120102120102)(,集中荷載用00060201ykpxNxNxNpmTmsin)(,),(),(2) 內(nèi)節(jié)線板條 如圖所示，在板條內(nèi)增加一條內(nèi)節(jié)線c，通?？蓪⒐?jié)線c放在板條中央，這樣，位移函數(shù)可用5次拋物線表示為內(nèi)節(jié)線板條第23頁/共47頁lymNNNNNNNwrmmrmmmsin,16543211Tjmjmcmcmimimmwww,5

17、4321246866231XXXXN)4121361 (4322XXXXxN)1632164323XXXN)(43241640328XXXXxN543252452347XXXXN)485(4326XXXXxNbxX/72981061436512941183721 - - - - 0 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKm對稱313550921052781052783465523bDbCbBbAk剛度矩陣 2223511381055921013231019bDCBAbk335512105256105256634bDCbBbAk22473842182186938bDCBAbk35351508

18、10522105226930131bDbCbBbAk2263524270701386029bDCBAbkbDbCbBAbk3533245245234652372285128105810583152bDCBAbk第24頁/共47頁bDbCbBAbk76431543154115539bDbCbBAbk3538126126462031031151024105512105512315128bDbCbBbAkbDbCbBAbk7256315128315128346532312xymymDlkBDlkA242 21xmlDDDlkC 12滿布均布荷載向量mlqbbbbbpmTm02211603070158

19、60307)(, 值得注意的是，此種條元在邊界上的曲率亦是不協(xié)調(diào)的，但其解的精度要高一些。因為內(nèi)節(jié)線與其它條元無法連接，在裝配總剛前可用靜力凝聚法給出內(nèi)節(jié)線 的位移參數(shù) c(3) 內(nèi)節(jié)線平面應(yīng)力條如下圖所示，取位移函數(shù)為rmjmjmcmcmimimmmmvuvuvuNNNvu1321 cos 00 sinykNykNNmimiim第25頁/共47頁21231XXN2244XXN232XXNbxX/rmmmB1rmmmpmBD1 - 0 0 0 0 - 0 0 332323211121ykNykNkykNykNkykNkykNykNkykNykNkykNkykNykNBmmmmmmmmmmmmm

20、mmmmmmcoscoscossinsinsincoscoscossinsinsin內(nèi)節(jié)線平面應(yīng)力條第26頁/共47頁剛度矩陣 7284961436511841043721 - - - 0 - kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKm對稱xymElbkEblk1567211xymxElkEkmlk4412xymElbkEblk3034213xymxElkEkmlk3314xymxmElkEk lk121216xymElbkEblk606215xymEblEbklk6715227xymEblEbklk3430228xymElbkEblk154382110 xymEblEbklk660229x

21、ymEblEbklk381542211yxzyxxvvEEvvEE1,121內(nèi)節(jié)線位移參數(shù)亦可由靜力凝聚法獲得 分析箱形梁時，可采用由高級板條和高級平面應(yīng)力條組合而成的高階薄殼條 第27頁/共47頁樣條有限條法(1) 樣條函數(shù)三次B樣條函數(shù) 為)(ym其它 0 333 333 612132131211231312112312323mmmmmmmmmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyhyyhhyyyyyyyhyyhhyyyyyhy)()()()()()()()()( 函數(shù) 及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)曲線如圖所示，其節(jié)點數(shù)值可查有關(guān)表 為了用樣條函數(shù)來插值任意連續(xù)函數(shù) 可將 分解為節(jié)點為 的等間

22、距段，且)(ym),()(bayyf,bamyrabmyybyaymr/ )(,00),(rom第28頁/共47頁則在節(jié)點上的函數(shù)值 為)(yS11)()(rmmmyCyS其中待定系數(shù)由 下式獲得)()(),()()()()(00rrmmyfySromyfySyfyS第29頁/共47頁則可得到求解未知系數(shù) 的線性方程組 mC)()(21),()()4(61)()(211111011rrrmmmmyfCChromyfCCCyfCCh11rmmyfyCyS)()()(為了獲得較高的精度，如將集中載作用點和支承點作為節(jié)點時，會用到變間距樣條函數(shù)，變間距三次B樣條邊數(shù)可寫為 0 02214131212

23、12yyyyyfyyyfyyyfyyyfyyymmmmmmmmmmm)()()()()(2111112312212mmmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyff)()()()(1211121312243mmmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyff)()()(12212324mmmmmmmyyyyyyyyf第30頁/共47頁(2)薄殼樣條有限條 由Y.K.Cheung和Fam在1983年提出的用于板橋、加肋板橋和箱梁橋分析的薄殼樣條有限條如圖所示薄殼樣條有限條第31頁/共47頁1143211111)()()()1 ()()()1 (rmjmmjmmimmimmrmjmvimimvimr

24、mjmuimimuimNwNNwNwvyXvyXvuyXuyXu)()(yXXNwimm321231)()(yXXxNimm2221)()23(323yXXNwjmm)()(24yXXxNjmmbxX/ 有了位移函數(shù)，條剛度矩陣，荷載向量等可按前述有限條法獲得條的位移第32頁/共47頁組合有限條法 如圖所示的由橋面板、縱梁、橫梁和立柱組合而成的橋梁結(jié)構(gòu)，可以采用Puckett和Gutkowski于1983年提出的組合有限條進行分析。組合條的剛度矩可以寫為ccttllDeKKKKK 板條或薄殼條的剛度矩陣； 單條縱梁剛度矩陣； 單條橫梁剛度矩陣； DKlKtK 單條立柱剛度矩陣； 組合條剛度矩陣

25、。 cKeK將 裝配成總體剛度陣矩 ，其求解過程同一般有限條eKK組合有限條第33頁/共47頁(1) 矩形組合條 矩形組合條如圖所示，包括板條或薄殼條、縱梁、橫梁和立柱。板條和薄殼條的剛度矩陣 已給出。 DK在組合條中，任意點的位移rmmmrmmmNyYNNNNw114321)(,Tjmjmimimmww,321231XXNm)21 (22XXxNm32323XXNm)(24XXxNmbxX/)(,4321yYNNNNNmm附加單元（梁、柱）的剛度矩陣分述如下 （a）縱梁的彎曲剛度矩陣縱梁的彎曲應(yīng)變能為lllflyywIEU 0 22d2lrnnnrmmmllflyNyNywIEU 0 122

26、122d2第34頁/共47頁lmnTmllrmrnmyyNyNIE 0 222211d21rmnrnflmnTnK11 21444333423222413121114 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNIIEKllflmn對稱 lnyyyI 0 m4dYY)()( 梁的抗彎剛度； 縱梁的彎曲剛度矩陣 llIEflmnK（b）縱梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣縱梁的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為yyxwJGUlltld222lmTmlltlmnyyxNyxNJGK 0 22d444333423222413121115 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNIJGKlltlmn對稱第35頁/共47頁 lnmyyYyYI 0

27、 5d)()( 縱梁的抗扭剛度； 縱梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣。（c）橫梁的彎曲剛度矩陣llJGtlmnK橫梁的彎曲應(yīng)變能bttflxxwIEU 0 222d2bnTmttftmnxxNxNIEK 0 2222d 4 6- 12 2 6- 4 6 12- 6 122322323bbbbbbbbb/bYYIEKnmttftmn/對稱 橫梁的抗彎剛度； 橫梁的彎曲剛度矩陣 ttIEftmnK第36頁/共47頁（d）橫梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣橫梁的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能xyxwJGUbttttd2022bnTmttttmnxyxNyxNJGK 0 22d 4 3 36 3- 4 3 36- 3 6330222bbbbbbbYYb

28、JGKnmttttmn對稱橫梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣（e）柱的軸 向 剛 度 矩陣221caacwkU44433342322241312111 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNYYkNNkKnmanTmaacmn對稱立柱的軸向應(yīng)變能橫梁的抗扭剛度第37頁/共47頁（f）柱的彎曲剛度矩陣 立柱的彎曲應(yīng)變能由兩部分組成，分別是立柱的橫向轉(zhuǎn)動和縱向轉(zhuǎn)動。 橫向轉(zhuǎn)動應(yīng)變能221xwkUcxxc44433342322241312111 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNYYkxNxNkKnmxnTmxxcmn對稱縱向轉(zhuǎn)動應(yīng)變能221ywkUcyyc44433342322241312111 NNNN

29、NNNNNNNNNNNNNNNNYYkyNyNkKnmynTmyycmn對稱第38頁/共47頁、 立柱柱頂?shù)臋M、縱向抗轉(zhuǎn)動剛度 立柱的橫、縱向彎曲剛度矩陣 xkykycmnxcmnKK 獲得條中板和所有支承單元的剛度矩陣后，組合條單元剛度矩陣 可寫為emnKnclycmncxmnacmnntlttmnftmnnlitlmnflmnpmnemnKKKKKKKKK)()()( 條中縱梁個數(shù)； 條中橫梁個數(shù)； 條中立柱個數(shù)nlntnc(2) 矩形B樣條組合條采用薄殼樣條有限條時，縱梁、橫梁和立柱的應(yīng)變能分別為縱梁： lllllyllllyyxwJGywAEywevAEU 0 222222d21)(橫

30、梁： bttttxtttlxyxwTGxwAEyweuAEU 0 222222d21)( 立柱： 22221xwkywkwkUxyac第39頁/共47頁、 縱、橫梁重心離板重心之距。應(yīng)用位移函數(shù)，不難得到此種樣條組合條的剛度矩陣 lete 小結(jié) 有限條法在橋梁結(jié)構(gòu)靜力、動力和穩(wěn)定分析方面得到廣泛應(yīng)用，并取得良好的效果，不僅因為此種方法綜合了一般結(jié)構(gòu)解析分析方法和數(shù)值分析方法的優(yōu)點，更重要的是其所采用的單元與橋梁這種狹長結(jié)構(gòu)不謀而合。 有限條法自從誕生以來，其發(fā)展速度，應(yīng)用范圍不亞于有限元法。 在眾多國內(nèi)外學(xué)者的大量研究和實踐中，提出了有限層法、有限棱柱法、雙樣條子域法、有限條傳遞矩陣法等新方法

31、。并擴展應(yīng)用到斜橋、彎橋。任意形狀板橋及材料幾何非線性分析等方面。以下就常見的用有限條法分析橋梁結(jié)構(gòu)問題進行討論。第40頁/共47頁（1） 有限條方法選擇（a）有限條法、有限層法和有限棱柱法有限條法：薄板結(jié)構(gòu)，其中：基本有限條法：僅關(guān)心縱向位移和應(yīng)力的精度；高級有限條法：同時關(guān)心縱、橫向位移和應(yīng)力的精度；樣條有限條法：有內(nèi)力矩突變、集中荷載作用時，精度會提高，可分析任意形狀板橋。適于因定支承、自由支撐、帶有中支承橋、彎橋等。有限層法：等厚度厚板橋，如上圖所示有限層 第41頁/共47頁有限棱柱法：變厚度厚板橋、空心板橋和厚壁箱形梁橋，有限棱柱空心板 厚壁箱梁第42頁/共47頁（b）板條、平面應(yīng)力

32、條和薄殼條，均適于薄板結(jié)構(gòu)，其中 板 條：板橋承受豎向荷載； 單面應(yīng)力條：是向薄殼條的過渡，在橋梁上無對應(yīng)結(jié)構(gòu)； 薄 殼 條：薄壁箱梁橋。（2） 橋梁結(jié)構(gòu)的有限條模型建立（a）板 橋：薄板有限元，高級有限條樣條有限條（b）肋梁橋：板面板按薄板分析，按厚板分析（c）箱梁橋：厚壁箱，薄壁箱。可根據(jù)要求的精度不同，加 密或減少條的數(shù)量，但一般情況下，腹板可分 為1-3個條，翼板（在每兩腹板間）?？煞譃?2-5個條。第43頁/共47頁 薄壁箱梁分條第44頁/共47頁d）節(jié)線和條的編號 編號將影響剛度矩度的半帶寬，合理的編號可減小半帶寬，從而節(jié)省計算時間，如圖所示a優(yōu)于b節(jié)線和條的編號第45頁/共47頁

33、本章參考文獻本章參考文獻1Cheung Y.K.The Finint Strip Method in the Analysis of Elastic Plates with Two Opposite Simply Supported ends, Proc. Inst.Civ.Eng.,40,1-7,19682Cheung Y.K.Finite Strip Method Analysis of Elastic Slabs . Proc.ASCE94(EM6),13651378，19683Powell.C.H.and Ogden D.W. Analysis of Orthotropic Steel

34、 Plate Bridge Decks, Proc.ASCE,95(ST5),909-9224Cheung Y.K.Finaite Strip Method in Structural AnalysisPergaman Press, Oxford,19765Loo Y.C.and Cusens A.R.The Finite strip Method in Bridge Engineering , A Viewpoint Publication, Wexhaw Springs, Slough, UK,19786Cheung M.S.,W.Li and Chidiac S.E. Finite St

35、rip Analysis of Bridges,E & FN SPON,19997徐光輝丁漢山雙樣條子域法分析變截面連續(xù)彎箱梁橋土木工程學(xué)徐光輝丁漢山雙樣條子域法分析變截面連續(xù)彎箱梁橋土木工程學(xué)報，報，Vol.23, No.4,19908賀拴海、張翔彈性曲板的有限條賀拴海、張翔彈性曲板的有限條傳遞矩陣法分析及其在彎橋上的傳遞矩陣法分析及其在彎橋上的應(yīng)用西安公路學(xué)院學(xué)報，應(yīng)用西安公路學(xué)院學(xué)報，Vol.9, No.1,19899Cheung M.S.,S.F.NG，and J.Q.Zhao. Analysis of Curved Reinforced Concrete Slab Bridges by the Spline finite Strip Method.Can J.Civ Eng., Vol.20,855-862,199310張翔、賀拴海結(jié)構(gòu)靜力、動力及穩(wěn)定問題的傳遞矩陣法分析西安公張翔、賀拴海結(jié)構(gòu)靜力、動力及穩(wěn)定問題的傳遞矩陣法分析西安公路學(xué)院學(xué)報，路學(xué)院學(xué)報，Vol.10, No.4,1990第46頁/共47頁2022-5-2247感謝您的觀看。第47頁/共47頁