高中數(shù)學 4_3_3 三次函數(shù)的性質：單調區(qū)間和極值同步精練 湘教版選修2-21

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高中數(shù)學 4.3.3 三次函數(shù)的性質：單調區(qū)間和極值同步精練 湘教版選修2-2 1．有下列命題：①一個函數(shù)的極大值總比極小值大；②函數(shù)導數(shù)為0的點不一定是極值點；③一個函數(shù)的極大值可以比最大值大；④一個函數(shù)的極值點可在其不可導點處達到．其中正確命題的序號是(　　)． A．①④ B．②④ C．①② D．③④ 2．函數(shù)f(x)＝x3＋x在區(qū)間－1,1]上(　　)． A．最小值為－1，最大值為2 B．最小值為－2，最大值為2 C．最小值為－1，最大值為1 D．最小值為0，最大值為1 3．三次函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d與x軸的交點個數(shù)最多為(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 4．函數(shù)y＝2－x2－x3的極值情況是(　　)． A．有極大值，沒有極小值 B．有極小值，沒有極大值 C．既無極大值，也無極小值 D．既有極大值又有極小值 5．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間－1,1]上的最大值是(　　)． A．－2 B．0 C．2 D．4 6．若f(x)＝x3＋mx2＋5x＋1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是__________． 7．函數(shù)f(x)＝9＋3x－x3的極小值為__________． 8．函數(shù)y＝4x2(x－2)在x∈－2,2]上的最大值和最小值分別為__________． 9．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3. (1)設a＝1，求函數(shù)f(x)的極值； (2)若a＞，且當x∈1,4a]時，|f′(x) |≤12a恒成立，試確定a的取值范圍． 10．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R. (1)討論函數(shù)f(x)的單調性； (2)設函數(shù)f(x)在區(qū)間內是減函數(shù)，求a的取值范圍．  參考答案 1．B 2．B　∵f′(x)＝3x2＋1＞0，∴f(x)為增函數(shù)． ∴f(x)的最小值為f(－1)＝－2，f(x)的最大值為f(1)＝2. 3．C 4．D　y′＝－3x2－2x＝－3x.令y′＝0， ∴x＝0或－. 當x∈時，f′(x)＜0； 當x∈時，f′(x)＞0； 當x∈(0，＋∞)時，f′(x)＜0. ∴f(x)在x＝－處取得極小值， 在x＝0處取得極大值． 5．C　f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或2(舍去)． ∵f(0)＝2，f(1)＝0，f (－1)＝－2， ∴f(x)最大值＝2. 6．－≤m≤　f′(x)＝3x2＋2mx＋5，由(2m)2－435≤0，得－≤m≤. 7．7　f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)， 當x＜－1時，f′(x)＜0， 當－1＜x＜1時，f′(x)＞0， ∴f(x)在x＝－1處取得極小值，f(－1)＝9－3＋1＝7. 8．0，－64　令y′＝12x2－16x＝0，∴x＝0或x＝. 當x∈(－2,0)時，f′(x)＞0； 當x∈時，f′(x)＜0； 當x∈時，f′(x)＞0. 故f(x)在x＝0時取得極大值，在x＝時取得極小值． 又∵f(0)＝0，f(－2)＝－64，f(2)＝0， f＝－， ∴函數(shù)的最大值為0，最小值為－64. 9．解：(1)當a＝1時，對函數(shù)f(x)求導數(shù)，得 f′(x)＝3x2－6x－9. 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 列表討論f(x)，f′(x)的變化情況如下： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值6 極小值－26 所以，f(x)的極大值是f(－1)＝6，極小值是f(3)＝－26. (2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的圖象是一條開口向上的拋物線，關于x＝a對稱． 若＜a≤1，則f′(x)在1,4a]上是增函數(shù)，從而f′(x)在1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2. 由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，于是有 f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a. 由f′(1)≥－12a得－≤a≤1，由f′(4a)≤12a得0≤a≤. 所以a∈∩∩， 即a∈. 若a＞1，則|f′(a)|＝12a2＞12a，故當x∈1,4a]時 |f′(x)|≤12a不恒成立． 所以使|f′(x)|≤12a(x∈1,4a])恒成立的a的取值范圍是. 10．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋x＋1， ∴令f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0， 當Δ＝(2a)2－34＝4a2－12≤0， 即－≤a≤時，f′(x)≥0恒成立， 此時f(x)為在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)． 當Δ＝4a2－12＞0， 即a＞或a＜－時，函數(shù)f′(x)存在零點， 此時，當x＜或x＞時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調遞增； 當＜x＜時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調遞減． (2)若函數(shù)在區(qū)間內是減函數(shù)，說明f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0的兩根在區(qū)間外，因此f′≤0，且f′≤0， 由此可以解得a≥2. 因此a的取值范圍是2，＋∞)． S