高中數(shù)學(xué) 4_3_1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)同步精練 湘教版選修2-21

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高中數(shù)學(xué) 4.3.1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)同步精練 湘教版選修2-2 1．f(x)＝5x2－2x的單調(diào)增區(qū)間為(　　)． A． B． C． D． 2．函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33x＋6的單調(diào)減區(qū)間為(　　)． A．(－1,0) B．(－1,11) C．(0,11) D．(－1,33) 3．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)的圖象如圖所示，下列判斷正確的是(　　)． A．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減 C．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)上單調(diào)遞增 D．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2,2)上單調(diào)遞減 4．若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間a，b]上的圖象可能是(　　)． 5．設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(x)＋xf′(x)＞x2.下面的不等式在R上恒成立的是(　　)． A．f(x)＞0 B．f(x)＜0 C．f(x)＞x D．f(x)＜x 6．函數(shù)y＝x3＋10的單調(diào)遞增區(qū)間為__________． 7．函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)＝f(2－x)且當(dāng)x∈(－∞，1)時，(x－1)f′(x)＜0.設(shè)a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，則a， b，c的大小關(guān)系是______． 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＞0且x≠1)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是______，單調(diào)減區(qū)間是______． 9．已知函數(shù)f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)設(shè)a≤－2，證明：對任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|. 10．已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．  參考答案 1．A　f′(x)＝10x－2.令f′(x)＞0，得x＞，故選A. 2．B　f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)， 當(dāng)x＜－1或x＞11時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)； 當(dāng)－1＜x＜11時，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)． 3．C　由圖可知在區(qū)間(－2,2)和(4,5)上，f′(x)＞0，故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2,2)和(4,5)上單調(diào)遞增；在區(qū)間(－3，－2)和(2,4)上，f′(x)＜0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3，－2)和(2,4)上單調(diào)遞減，故選C. 4．A　因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間a，b]上是增函數(shù)，所以在區(qū)間a，b]上各點(diǎn)處，曲線y＝f(x)的切線的斜率k是遞增的，由圖易知選A. 5．A　設(shè)g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．由題意，f(x)＋xf′(x)＞x2≥0，∴g(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，且g(0)＝0.于是有x＞0時，g(x)＝xf(x)＞0，∴f(x)＞0.當(dāng)x＜0時，g(x)＝xf(x)＜0，∴f(x)＞0. 6．(－∞，＋∞) 7．c＜a＜b　由題意知函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對稱． 當(dāng)x＜1時，有(x－1)f′(x)＜0，即f′(x)＞0， ∴函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)． ∴c＝f(3)＝f(2－3)＝f(－1)＜f(0)＝a＜f＝b，即c＜a＜b. 8．　和(1，＋∞)　f′ (x)＝′＝. 令f′(x)＞0，即－＞0，得1＋ln x＜0，即x＜. 令f′(x)＜0，即－＜0，得1＋ln x＞0，即x＞. 又x＞0且x≠1， ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和(1，＋∞)． 9．(1)解：f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝. 當(dāng)a≥0時，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a≤－1時，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)－1＜a＜0時，令f′(x)＝0，解得x＝，則當(dāng)x∈時，f′(x)＞0； 當(dāng)x∈時，f′(x)＜0. 故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． (2)證明：不妨假設(shè)x1≥x2， 由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等價于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2， 即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1. 令g(x)＝f(x)＋4x，則g′(x)＝＋2ax＋4＝. 由于g′(x)≤＝≤0. 從而g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 故g(x1)≤g(x2)， 即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2， 故對任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|. 10．解：f(x)＝ln x－ax的定義域?yàn)?0，＋∞)且f′(x)＝－a(x＞0)． (1)當(dāng)a≤0時，f′(x)＞0，即函數(shù)f(x)是增函數(shù)． 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)． (2)當(dāng)a＞0時，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝. 當(dāng)0＜x＜時，f′(x)＝＞0； 當(dāng)x＞時，f′(x)＝＜0. 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為