高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip
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第二章 空間向量與立體幾何
§1 從平面向量到空間向量
課時(shí)目標(biāo) 1.了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷向量的有關(guān)概念由平面向空間推廣的過程.3.了解空間中直線的方向向量，平面的法向量，共面向量與不共面向量的概念．
1．空間向量
(1)在空間中，既有________又有________的量，叫作空間向量．
(2)向量用小寫字母表示，如：，或a，b.
也可用大寫字母表示，如：，其中______叫做向量的起點(diǎn)，______叫做向量的終點(diǎn)．
(3)數(shù)學(xué)中所討論的向量與向量的________無關(guān)，稱之為自由向量．
(4)與平面向量一樣，空間向量的大小也叫作向量的長度或模，用________或______表示．
(5)向量夾角的定義：如圖所示，兩非零向量a，b，在空間中任取點(diǎn)O，作＝a，＝b，則________叫作向量a，b的夾角，記作________．
(6)向量夾角的范圍：
規(guī)定__________．
(7)特殊角：當(dāng)〈a，b〉＝時(shí)，向量a與b________，記作__________；
當(dāng)〈a，b〉＝0或π時(shí)，向量a與b______，記作______．
2．向量、直線、平面
(1)所謂直線的方向向量是指和這條直線________或______的非零向量，一條直線的方向向量有_______________________________個(gè)．
(2)
如果直線l垂直于平面α，那么把直線l的____________，叫作平面α的法向量．
平面α有________個(gè)法向量，平面α的所有法向量都________．
(3)空間中，若一個(gè)向量所在直線__________一個(gè)平面，則稱這個(gè)向量平行該平面．把________________的一組向量稱為共面向量．
一、選擇題
1．下列命題中，假命題是( )
A．向量與的長度相等
B．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共線的單位向量都相等
2．給出下列命題
①空間中兩直線的夾角就是它們的方向向量的夾角；
②相互平行的向量一定共面，共面的向量也一定相互平行；
③空間兩平面所成的二面角的大小等于它們的法向量的夾角．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在棱長為的正方體ABCD—A1B1C1D1中，所有棱及面對角線中能表示單位向量的有向線段共有(如，只記一次)( )
A．12條 B．16條 C．18條 D．24條
4.
如圖所示，三棱錐A—BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，則在所有的棱表示的向量中，夾角為90°的共有( )
A．3對 B．4對
C．5對 D．6對
5．已知向量，，滿足||＝||＋||，則( )
A.＝＋ B.＝－－
C.與同向 D.與同向
6．下列命題是真命題的是( )
A．分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量
B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反
C．若向量，滿足||>||，且與同向，則>
D．若兩個(gè)非零向量與滿足＋＝0，則∥
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7.
如圖所示，兩全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交成直二面角，其中心分別是M，N，則直線MN的一個(gè)方向向量是________(要填不在直線MN上的向量)．
8．在正方體ABCD—A1B1C1D1的所有棱、面對角線、體對角線所對應(yīng)的向量中，是平面A1B1CD的法向量的是__________________．
9．給出下面命題：
①空間任意兩個(gè)向量a，b一定是共面的．②a，b為空間兩個(gè)向量，則|a|＝|b|a＝b.③若a∥b，則a與b所在直線平行．④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
其中假命題的序號是________．
三、解答題
10．判斷以下命題的真假：
(1)|a|＝0的充要條件是a＝0；
(2)不相等的兩個(gè)空間向量模必不相等；
(3)空間中任何兩個(gè)向量一定共面；
(4)空間向量a，b夾角為銳角cosa，b〉>0.
11．在正方體ABCD—A1B1C1D1中求下列向量的夾角：
(1)〈，〉；(2)〈，〉；
(3)〈，〉；(4)〈，〉．
能力提升
12.
如圖所示，四棱錐D1—ABCD中，AD＝DD1＝CD，底面ABCD是正方形，DD1⊥面ABCD，E是AD1的中點(diǎn)，求〈，〉．
13．四棱錐P—ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD為正方形且PD＝AD＝CD，E、F分別是PC、PB的中點(diǎn)．
(1)試以F為起點(diǎn)作直線DE的方向向量；
(2)試以F為起點(diǎn)作平面PBC的法向量．
1．直線的方向向量和平面的法向量是兩個(gè)重要的概念，在證明線面平行，線面垂直以及求線面的夾角時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用．
2．兩向量的夾角
對于兩向量a、b的夾角〈a，b〉的理解，除〈a，b〉＝〈b，a〉外還應(yīng)注意由于兩向量的夾角的范圍為[0，π]，要注意〈，〉與〈－，〉，〈，－〉的區(qū)別和聯(lián)系，即〈－，〉＝〈，－〉＝π－〈，〉．
第二章 空間向量與立體幾何
§1 從平面向量到空間向量
知識梳理
1．(1)大小 方向 (2)A B (3)起點(diǎn) (4)|| |a| (5)∠AOB 〈a，b〉 (6)0≤〈a，b〉≤π
(7)垂直 a⊥b 平行 a∥b
2．(1)平行 重合 無數(shù)個(gè) (2)方向向量 無數(shù) 平行 (3)平行于 平行于同一平面
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．D [共線的單位向量是相等向量或相反向量．]
2．A 3.A 4.C
5．D [由||＝||＋||＝||＋||，知C點(diǎn)在線段AB上，否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，所以與同向．]
6．D [A錯(cuò)．因?yàn)榭臻g任兩向量平移之后可共面，所以空間任兩向量均共面．
B錯(cuò)．因?yàn)閨a|＝|b|僅表示a與b的模相等，與方向無關(guān)．
C錯(cuò)．空間任兩向量不研究大小關(guān)系，因此也就沒有>這種寫法．
D對．∵＋＝0，∴＝－，
∴與共線，故∥正確．]
7.或
8.或
9．②③④
10．解 (1)真命題 (2)假命題 (3)真命題
(4)假命題
命題(4)，當(dāng)〈a，b〉＝0時(shí)，cos〈a，b〉＝1>0，
但〈a，b〉不是銳角．
故命題(4)是假命題．
11．解
(1)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD，
∴AC⊥DD1，
∴〈，〉＝.
(2)連結(jié)AD1，則AC＝CD1＝AD1，
故△ACD1為正三角形，∠ACD1＝，
∴〈，〉＝.
(3)連結(jié)A1C1，C1D，則＝，
且△A1C1D為正三角形．
∴∠C1A1D＝＝〈，〉＝〈，〉．
∴〈，〉＝.
(4)連結(jié)BD，則AC⊥BD，
又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BD1D，
∵BD1面BDD1，∴AC⊥BD1，∴〈，〉＝.
12．解 取CD1的中點(diǎn)F，連接EF，DF，
則＝，
∴〈，〉＝〈，〉，
由AD＝DD1＝CD，
且D1D⊥AD，D1D⊥CD，
∴DE＝DF＝EF＝DD1，
∴△EFD為正三角形，
∠FED＝，
∴〈，〉＝〈，〉＝.
13.
解 (1)∵E、F分別是PC、PB的中點(diǎn)，
∴EFBC，又BCAD，∴EFAD，
取AD的中點(diǎn)M，連MF，則由EFDM知四邊形DEFM是平行四邊形，
∴MF∥DE，∴就是直線DE的一個(gè)方向向量．
(2)∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，∴BC⊥面PCD，
∵DE面PCD，∴DE⊥BC，
又PD＝CD，E為PC中點(diǎn)，∴DE⊥PC，
從而DE⊥面PBC，
∴是面PBC的一個(gè)法向量，
由(1)可知＝，
∴就是面PBC的一個(gè)法向量．
- 7 -
§2 空間向量的運(yùn)算
課時(shí)目標(biāo) 1.掌握空間向量的加減運(yùn)算及其運(yùn)算律，能借助圖形理解空間向量及其運(yùn)算的意義.2.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義和運(yùn)算律，了解共線向量定理.3.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法，能用向量的數(shù)量積判斷向量共線與垂直．
1．空間向量的加法
設(shè)a和b是空間兩個(gè)向量，如圖，過點(diǎn)O作＝a，＝b，則平行四邊形的對角線OC對應(yīng)的__________就是a與b的和，記作________．
2．空間向量的減法
a與b的差定義為__________，記作__________，其中－b是b的相反向量．
3．空間向量加減法的運(yùn)算律
(1)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝____________.
(2)交換律：a＋b＝__________.
4．?dāng)?shù)乘的定義
空間向量a與實(shí)數(shù)λ的乘積是一個(gè)______________，記作________．
(1)|λa|＝________.
(2)當(dāng)________時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)________時(shí)，λa與a方向相反；當(dāng)________時(shí)，λa＝0.
(3)交換律：λa＝________(λ∈R)．
(4)分配律：λ(a＋b)＝__________.
(λ＋μ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)．
(5)結(jié)合律：(λμ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)．
5．空間兩個(gè)向量a與b (b≠0)共線的充分必要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得____________．
6．空間向量的數(shù)量積：空間兩個(gè)向量a和b的數(shù)量積是________，等于______________，記作__________．
7．空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)交換律：a·b＝__________；
(2)分配律：a·(b＋c)＝__________；
(3)λ(a·b)＝____________ (λ∈R)．
8．利用空間向量的數(shù)量積得到的結(jié)論
(1)|a|＝____________；
(2)a⊥b____________；
(3)cos〈a，b〉＝____________ (a≠0，b≠0)．
一、選擇題
1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，向量表達(dá)式－＋化簡后的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
2．四面體ABCD中，設(shè)M是CD的中點(diǎn)，則＋(＋)化簡的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
3．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)且2＋＋＝0，則等于( )
A. B. C. D．2
4．若a，b均為非零向量，則a·b＝|a||b|是a與b共線的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則·等于( )
A．0 B. C．－ D．－
6.
如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．在正四面體O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝__________________(用a，b，c表示)．
8．若向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為，則|a＋b|＝________.
9．在△ABC中，有下列命題：
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，則△ABC為等腰三角形；
④若·>0，則△ABC為銳角三角形．
其中正確的是________．(填寫正確的序號)
三、解答題
10.
如圖，已知在空間四邊形OABC中，||＝||，||＝||.求證：⊥.
11.
如圖所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
求證：⊥.
能力提升
12．平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)＝a，＝b，則△OAB的面積等于( )
A.
B.
C.
D.
13.
已知在平行六面體ABCD—A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的長(如圖所示)；
(2)求與的夾角的余弦值．
1．空間向量的加減法運(yùn)算及加減法的幾何意義和平面向量的是相同的．
2．空間兩個(gè)向量a，b的數(shù)量積，仍舊保留平面向量中數(shù)量積的形式，即：a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，這里〈a，b〉表示空間兩向量所組成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空間向量的數(shù)量積具有平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)．應(yīng)用數(shù)量積可以判斷空間兩直線的垂直問題，可以求兩直線夾角問題和線段長度問題．即(1)利用a⊥ba·b＝0證線線垂直(a，b為非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cos θ＝，求兩直線的夾角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有關(guān)線段的長度問題．
§2 空間向量的運(yùn)算
知識梳理
1．向量 a＋b
2．a(chǎn)＋(－b) a－b
3．(1)a＋(b＋c) (2)b＋a
4．向量 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 λ＝0 (3)aλ (4)λa＋λb λa＋μa (5)λ(μa)
5．a(chǎn)＝λb
6．一個(gè)數(shù) |a||b|cos〈a，b〉 a·b
7．(1)b·a (2)a·b＋a·c (3)(λa)·b
8．(1) (2)a·b＝0 (3)
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．A
[如圖所示，
∵＝，－
＝－＝，
＋＝，
∴－＋＝.]
2．A
[如圖所示，
因(＋)＝，
所以＋(＋)
＝＋＝.]
3．C [∵D為BC邊中點(diǎn)，∴＋＝2，
∴＋＝0，∴＝.]
4．A [a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos〈a，b〉＝1〈a，b〉＝0，當(dāng)a與b反向時(shí)，不能成立．]
5．D [·＝(＋)·
＝·＋·－·－||2
＝cos 60°＋cos 60°－cos 60°－＝－.]
6．C [∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝108＋2×6×6×＝144，
∴||＝12.]
7.a＋b＋c
解析
如圖，＝(＋)
＝＋×(＋)
＝a＋b＋c.
8.
解析 |a＋b|＝
＝＝.
9．②③
解析 ①錯(cuò)，－＝；②正確；③正確，||＝||；④錯(cuò)，△ABC不一定是銳角三角形．
10．證明 ∵||＝||，||＝||，
||＝||，∴△OAC≌△OAB.
∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，
∴⊥.
11．證明 設(shè)＝a，＝b，
＝c，
依題意，|a|＝|b|，
又設(shè)，，中兩兩所成夾角為θ，
于是＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，
所以⊥.
12.
C [如圖所示，
S△OAB＝|a||b|·sin〈a，b〉
＝|a||b|
＝|a||b|
＝|a||b|
＝.]
13．解 (1)∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.
∴||＝.
(2)設(shè)與的夾角為θ，
∵ABCD是矩形，
∴||＝＝5.
∴由余弦定理可得
cos θ＝
＝＝.
- 8 -
3.1 空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示
3.2 空間向量基本定理
課時(shí)目標(biāo) 1.掌握空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解.2.了解空間向量基本定理．
1.
標(biāo)準(zhǔn)正交基
在給定的空間直角坐標(biāo)系中，x軸，y軸，z軸正方向的________________i，j，k叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基．
2．標(biāo)準(zhǔn)正交分解
設(shè)i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，對空間任意向量a，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，則把a(bǔ)＝xi＋yj＋zk叫作a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解．
3．向量的坐標(biāo)表示
在a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解中三元有序?qū)崝?shù)____________叫做空間向量a的坐標(biāo)，_ _____________叫作向量a的坐標(biāo)表示．
4．向量坐標(biāo)與投影
(1)i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么：a·i＝______，a·j＝______，a·k＝______.把x，y，z分別稱為向量a在x軸，y軸，z軸正方向上的投影．
(2)向量的坐標(biāo)等于它在______________上的投影．
(3)一般地，若b0為b的單位向量，則稱______________________為向量a在向量b上的投影．
5．空間向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空間三個(gè)__________的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3使得________________________．
空間中不共面的三個(gè)向量e1，e2，e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底．
一、選擇題
1．在以下3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是( )
①三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面；
②若兩個(gè)非零向量a，b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b共線；
③若a，b是兩個(gè)不共線向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知O、A、B、C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a、b不能構(gòu)成空間基底的是( )
A. B. C. D.或
3．以下四個(gè)命題中，正確的是( )
A．若＝＋，則P、A、B三點(diǎn)共線
B．設(shè)向量a，b，c是空間一個(gè)基底，則a＋b，b＋c，c＋a構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D．△ABC是直角三角形的充要條件是·＝0
4．設(shè)O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則(x，y，z)為( )
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
5．已知點(diǎn)A在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底i，j，k下的坐標(biāo)是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
6．已知空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，則等于( )
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．設(shè)i，j，k是空間向量的一個(gè)單位正交基底，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標(biāo)分別是____________．
8．已知空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，對角線AC、BD的中點(diǎn)分別為E、F，則＝____________.
9．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O為AC1與BD1的交點(diǎn)，＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝______.
三、解答題
10.
四棱錐P—OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)＝a，＝b，＝c，E、F分別是PC和PB的中點(diǎn)，用a，b，c表示、、、.
11．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD，求、的坐標(biāo)．
能力提升
12．甲、乙、丙三名工人搬運(yùn)石頭，分別作用于石頭的力為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，若i、j、k是空間中的三個(gè)不共面的基向量，F(xiàn)1＝i＋2j＋3k，F(xiàn)2＝－2i＋3j－k，F(xiàn)3＝3i－4j＋5k，則這三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.
13．已知e1，e2，e3是空間的一個(gè)基底，試問向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并說明理由．
1．空間的一個(gè)基底是空間任意三個(gè)不共面的向量，空間的基底可以有無窮多個(gè)．一個(gè)基底是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，一個(gè)基向量指一個(gè)基底的某一個(gè)向量．
2．對于＝x＋y＋z，當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面．
3．對于基底a，b，c除了應(yīng)知道a，b，c不共面，還應(yīng)明確：
(1)空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底，基底選定以后，空間的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是0.
§3 向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理
3．1 空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示
3．2 空間向量基本定理
知識梳理
1．單位向量
3．(x，y，z) a＝(x，y，z)
4．(1)x y z (2)坐標(biāo)軸正方向
(3)a·b0＝|a|cos〈a，b〉
5．不共面 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．C [命題①，②是真命題，命題③是假命題．]
2．C [∵＝(a－b)，與a、b共面，
∴a，b，不能構(gòu)成空間基底．]
3．B [A中若＝＋，則P、A、B三點(diǎn)共線，故A錯(cuò)；
B中，假設(shè)存在實(shí)數(shù)k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c，
則有方程組無解，即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正確．
C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C錯(cuò)．
D中，由·＝0△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，則有·＝0，故D錯(cuò)．]
4．A [因?yàn)椋剑?＋)
＝＋×[(＋)]
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝.]
5．A [設(shè)點(diǎn)A在基底{a，b，c}下對應(yīng)的向量為p，
則p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12,14,10)．]
6．B [＝－＝(＋)－
＝－a＋b＋c.]
7．(3,2，－1)，(－2,4,2)
8．3a＋3b－5c
解析 ∵＝＋＋，
又＝＋＋，
∴兩式相加得2＝(＋)＋＋＋(＋)．
∵E為AC中點(diǎn)，故＋＝0，同理＋＝0，
∴2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c.
9.
解析?。剑?＋＋)．
故x＝y(tǒng)＝z＝，∴x＋y＋z＝.
10．解 ＝＝(＋)
＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c.
＝＋
＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
11．解
∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴可設(shè)＝e1，＝e2，＝e3.
以e1、e2、e3為坐標(biāo)向量建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
∴＝，＝＝e2＝(0,1,0)．
12．解 由題意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k.
又因?yàn)镕＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7.
13．解 由共面向量定理可知，關(guān)鍵是能否找到三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，即x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0.亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0.
由于e1，e2，e3不共面，
故得
①＋②求得z＝－5x，代入③得y＝－7x，取x＝－1，
則y＝7，z＝5，于是－a＋7b＋5c＝0，即a＝7b＋5c，所以a，b，c三向量共面．
- 7 -
3.3 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
課時(shí)目標(biāo) 1.理解空間向量坐標(biāo)的概念.2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律，會(huì)判斷兩個(gè)向量的共線或垂直.3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間距離公式，并能運(yùn)用這些知識解決一些相關(guān)問題．
1．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
(1)a＋b＝_____________________________；
(2)a－b＝_________________________________________；
(3)λa＝______________________(λ∈R)；
(4)a·b＝________________________；
(5)a∥b________________________________；
(6)a⊥b________________________．
2．幾個(gè)重要公式
(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，則＝________________________________.即一個(gè)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的________的坐標(biāo)減去________的坐標(biāo)．
(2)模長公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則|a|＝＝_________________，|b|＝＝________________________.
(3)夾角公式：cos〈a，b〉＝________________＝____________________ (a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．
(4)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．則||＝＝.
一、選擇題
1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,2,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3,4)，則( )
A.＝(－1,2,1) B.＝(1,3,4)
C.＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3)
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是( )
A．1 B. C. D.
5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為( )
A. B. C．4 D．8
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)則|b－a|的最小值是( )
A. B. C. D.
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，點(diǎn)P(x，－1,3)在平面ABC內(nèi)，則x＝______.
8．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則在上的投影為______．
三、解答題
9．設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
10.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；
(2)到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)x，y，z滿足的條件．
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取A1B1、A1A的中點(diǎn)分別為P、Q.
(1)求的長；
(2)求cos〈，〉，cos〈，〉，并比較〈，〉與〈，〉的大小；
(3)求證：⊥.
能力提升
12．在長方體OABC—O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法解下列問題：
(1)求與所成的角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求點(diǎn)O1到點(diǎn)D的距離．
1．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是要注意向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，并熟練掌握運(yùn)算公式．
2．關(guān)于空間直角坐標(biāo)系的建立
建系時(shí)，要根據(jù)圖形特點(diǎn)，充分利用圖形中的垂直關(guān)系確定原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸．同時(shí)，使盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)，這樣可以較方便的寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
3．3 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
知識梳理
1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3) (3)(λa1，λa2，λa3) (4)a1b1＋a2b2＋a3b3 (5)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
(6)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2．(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1) 終點(diǎn) 起點(diǎn)
(2)
(3)
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．C
2．B [∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝，y＝－4.]
3．A [設(shè)＝＝＝k，易知a∥b，即條件具有充分性．又若b＝0時(shí)，b＝(0,0,0)，
雖有a∥b，但條件＝＝顯然不成立，所以條件不具有必要性，故選A.]
4．D [∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，
(ka＋b)⊥(2a－b)，∴3(k－1)＋2k－4＝0.
∴k＝.]
5．A [設(shè)向量a、b的夾角為θ，
于是cos θ＝＝，由此可得sin θ＝.
所以以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為
S＝2××3×3×＝.]
6．C [∵|b－a|＝＝
＝≥ ＝，
∴|b－a|的最小值是.]
7．11
解析 ∵點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，∴存在實(shí)數(shù)k1，k2，
使＝k1＋k2，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，
∴ 解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
8．－4
解析 ∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影為||cos〈，〉
＝×＝－4.
9．解 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(7，－4，－16)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
則＝＝，
解得k＝－.
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，則(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
10．解 (1)設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，
則＝(＋)＝(2，，3)，
所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2，，3)．
|AB|＝＝.
(2)點(diǎn)P(x，y，z)到A，B兩點(diǎn)距離相等，則
＝，
化簡，得4x＋6y－8z＋7＝0.即到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)x，y，z滿足的條件是4x＋6y－8z＋7＝0.
11．解
以C為原點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知，得C(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，
＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，
＝.
(1)||＝＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又0<<<1，
∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos x在內(nèi)單調(diào)遞減，
∴〈，〉>〈，〉．
(3)證明 ∵·
＝(－1,1,2)·＝0，
∴⊥.
12．解
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
(1)由題意得A(2,0,0)，
O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．
∴＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，－2)，
∴cos〈，〉＝＝－.
(2)由題意得⊥，∥，
∵C(0,3,0)，設(shè)D(x，y,0)，∴＝(x，y，－2)，
＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
∴ 解得
∴D，
∴||＝ ＝.
即點(diǎn)O1到點(diǎn)D的距離為.
- 7 -
§4 用向量討論垂直與平行
課時(shí)目標(biāo) 1.會(huì)用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直等位置關(guān)系.2.會(huì)用向量的有關(guān)知識證明線與線、線與面、面與面的垂直與平行．
1．空間中平行關(guān)系的向量表示
(1)線線平行
設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，則l∥m___________________________________．
(2)線面平行
設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α____________________________________________．
(3)面面平行
設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β__________________________________________．
2．空間中垂直關(guān)系的向量表示
(1)線線垂直
設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m______________________________________________________．
(2)線面垂直
設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，則l⊥α____________________________________．
(3)面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β______________________________________________．
一、選擇題
1．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則( )
A．l∥α B．l⊥α
C．lα D．l與α斜交
2．平面α的一個(gè)法向量為(1,2,0)，平面β的一個(gè)法向量為(2，－1,0)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能確定
3．從點(diǎn)A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長AB＝34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
4.
在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B、AC的中點(diǎn)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能確定
5．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，則△ABC是( )
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6.
如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是上底面中心，則AC1與CE的位置關(guān)系是( )
A．平行
B．相交
C．相交且垂直
D．以上都不是
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為，且l∥α，則m＝________.
8．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個(gè)平面中互相垂直的有______對．
9.
如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分別為棱AB、CD、BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則( )
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥面DCC1D1；
④A1M∥面D1PQB1.
以上結(jié)論中正確的是________．(填寫正確的序號)
三、解答題
10．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，求證：B1C∥平面ODC1.
11．在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，在棱BB1上是否存在點(diǎn)M，使得D1M⊥平面EFB1?
能力提升
12．如圖，四棱錐P－ABCD中，底
面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．證明：AE⊥平面PBC.
13.
如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.
(1)證明：PA∥平面EDB；
(2)證明：PB⊥平面EFD.
1．平行關(guān)系的常用證法
證明線線平行只需證明表示兩條直線的向量滿足實(shí)數(shù)倍數(shù)關(guān)系，如證明AB∥CD只需證＝λ.證明線面平行可轉(zhuǎn)化為證直線的方向向量和平面的法向量垂直，然后說明直線在平面外．證面面平行可轉(zhuǎn)化證兩面的法向量平行．
2．垂直關(guān)系的常用證法
要證線線垂直，可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的向量垂直．
要證線面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直．
要證面面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)平面的法向量垂直．
§4 用向量討論垂直與平行
知識梳理
1．(1)a∥b a＝λb?。剑健?2)a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (3)u∥v u＝kv ＝＝(a2b2c2≠0)
2．(1)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(2)u∥v u＝λv?。剑?a2b2c2≠0) (3)u⊥v u·v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．B [∵n＝－2a，∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α.]
2．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面也垂直．]
3．B [設(shè)B(x，y，z)，＝(x－2，y＋1，z－7)
＝λ(8,9，－12)，λ>0.
故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，
又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，
得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.
∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]
4．B [可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面的法向量和的關(guān)系判斷．]
5．C [∵＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，＝(2,6,4)，∴·＝0，
∴AB⊥AC，且||≠|(zhì)|≠|(zhì)|，
∴△ABC為直角三角形．]
6．C [可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過與的關(guān)系判斷．]
7．－8
解析 ∵l∥α，∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直．
∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
8．0
解析 ∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，
a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，
b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a，b，c中任意兩個(gè)都不垂直，即α、β、γ中任意兩個(gè)都不垂直．
9．①③④
解析 ∵＝－＝－＝，
∴A1M∥D1P.
∵D1P面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.
又D1P面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.
∵B1Q為平面DCC1D1的斜線，
∴B1Q與D1P不平行，∴A1M與B1Q不平行．
10．證明 方法一 ∵＝，B1A1D，
∴B1C∥A1D，又A1D平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
方法二 ∵＝＋
＝＋＋＋＝＋.
∴，，共面．
又B1C平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.
方法三
建系如圖，設(shè)正方體的棱長為1，則可得
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
O，C1(0,1,1)，
＝(－1,0，－1)，
＝，
＝.
設(shè)平面ODC1的法向量為n＝(x0，y0，z0)，
則
得
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．
又·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
∴⊥n，且B1C平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
11．解
如圖所示，分別以，，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，E，F(xiàn)，設(shè)M(1,1，m)，∴＝，
＝，＝(1,1，m－1)．
若D1M⊥平面EFB1，
則D1M⊥EF且D1M⊥B1E.
即·＝0，·＝0，
∴，∴m＝，
即存在點(diǎn)M且為B1B的中點(diǎn)，使D1M⊥平面EFB1.
12.
證明 如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)D(0，a,0)，
則B(，0,0)，C(，a,0)，
P(0,0，)，E(，0，)．
于是＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，a，－)，則·＝0，·＝0.
所以AE⊥BC，AE⊥PC.
又因?yàn)锽C∩PC＝C，
所以AE⊥平面PBC.
13.
證明 (1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DP所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
連結(jié)AC，BD，AC交BD于G.
連結(jié)EG.設(shè)DC＝a，
依題意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，
∴＝(a,0，－a)，＝.
∴＝2.即PA∥EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依題意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
又＝，
故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
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