優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型.ppt

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第三章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 3 1設(shè)計(jì)變量 3 2約束條件 3 3目標(biāo)函數(shù) 3 4優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 3 5數(shù)學(xué)模型的幾何描述 3 6優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過程及終止準(zhǔn)則 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)內(nèi)容 變量關(guān)系 有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式 它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系 是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ) 3 1設(shè)計(jì)變量 一 設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量 在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中是變化的 需要優(yōu)選的量 設(shè)計(jì)參數(shù) 在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中保持不變或預(yù)先確定數(shù)值 可以是幾何參數(shù) 例 尺寸 形狀 位置運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù) 例 位移 速度 加速度動(dòng)力學(xué)參數(shù) 例 力 力矩 應(yīng)力其它物理量 例 質(zhì)量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 頻率 撓度非物理量 例 效率 壽命 成本設(shè)計(jì)向量 用X x1 x2 xn T表示 是定義在n維歐氏空間中的一個(gè)向量 二 設(shè)計(jì)點(diǎn)與設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)點(diǎn) X k x1 k x2 k xn k 是設(shè)計(jì)向量X k 的端點(diǎn) 代表設(shè)計(jì)空間中的一個(gè)點(diǎn) 也代表第k個(gè)設(shè)計(jì)方案 可能是可行方案 也可能不是可行方案 設(shè)計(jì)空間Rn 以x1 x2 xn為坐標(biāo)軸 構(gòu)成n維歐氏實(shí)空間Rn 它包含了所有可能的設(shè)計(jì)點(diǎn) 即所有設(shè)計(jì)方案 歐氏空間 由于工程設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量都是實(shí)數(shù) 所以稱這種設(shè)計(jì)空間為歐式空間 三 連續(xù)量與離散量一般來說 設(shè)計(jì)變量大多是一些連續(xù)變化的量 但在機(jī)械設(shè)計(jì)中 有些變量也可能是跳躍式的量 例如齒輪的齒數(shù)必須為整數(shù) 模數(shù)必須符合國家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的值 軸承的尺寸必須符合產(chǎn)品樣本中所規(guī)定的值等 凡屬這類跳躍式的量稱為離散量 對(duì)于離散設(shè)計(jì)變量 在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中常常把它們視作連續(xù)量 在求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化 以求得一個(gè)實(shí)用的最優(yōu)方案 3 2約束條件 設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合 但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的 如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對(duì)它提出的要求 就稱為可行設(shè)計(jì) 一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件 這些限制條件稱作約束條件 簡稱約束 一 設(shè)計(jì)約束的類型 1 約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型 2 根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成 性能約束 針對(duì)性能要求而提出的限制條件稱作性能約束 例如 選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度 剛度或穩(wěn)定性等要求 邊界約束 只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束 例如 允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍 對(duì)軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束 3 顯式約束隱式約束約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式 即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系 有的只能表示成隱式形式 如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù) 變形 應(yīng)力 頻率等 需要通過有限元等方法計(jì)算求得 可行域 在可行域內(nèi)任意一點(diǎn)稱為可行設(shè)計(jì)點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn) 代表一個(gè)可行方案 可行設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合D稱為可行設(shè)計(jì)區(qū)域 非可行域 在可行域外的點(diǎn)稱為非可行設(shè)計(jì)點(diǎn) 外點(diǎn) 代表不可采用的設(shè)計(jì)方案 這種設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合為非可行域 二 可行域和非可行域 3 3目標(biāo)函數(shù) 為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià) 必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù) 它是優(yōu)化的目標(biāo) 稱為目標(biāo)函數(shù) 以F X 表示 在優(yōu)化過程中 通過設(shè)計(jì)變量的不斷向F X 值改善的方向自動(dòng)調(diào)整 最后求得F X 值最好或最滿意的X值 在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí) 應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量 所有的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束函數(shù)中 在機(jī)械設(shè)計(jì)中 可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有 體積最小 重量最輕 效率最高 承載能力最大 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度最高 振幅或噪聲最小 成本最低 耗能最小 動(dòng)負(fù)荷最小等等 在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中 可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù) 稱為單目標(biāo)函數(shù) 當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí) 這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題 在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中 多目標(biāo)函數(shù)的情況較多 3 4優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 綜上所述 最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型一般表示如下 對(duì)于無約束最優(yōu)化問題 式中 表示n維實(shí)歐氏空間 對(duì)于約束最優(yōu)化問題 式中D表示由p個(gè)不等約束條件和q個(gè)等約束條件所規(guī)定的可行域 通過最優(yōu)化方法求得的一組最優(yōu)設(shè)計(jì)變量 表示了一個(gè)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案 稱為最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn) 對(duì)應(yīng)于該設(shè)計(jì)方案的目標(biāo)函數(shù)為 稱為最優(yōu)化值 最優(yōu)點(diǎn)和最優(yōu)值兩者構(gòu)成了一個(gè)優(yōu)化問題的最優(yōu)解 在數(shù)學(xué)模型中 若目標(biāo)函數(shù)F X 和約束函數(shù)和都是設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù) 這樣的優(yōu)化問題常稱為線性規(guī)劃問題 否則稱為非線性規(guī)劃問題 3 5數(shù)學(xué)模型的幾何描述 為了進(jìn)一步說明最優(yōu)化問題的一些基本概念 下面再對(duì)它作必要的幾何描述 以便比較直觀地 形象化地理解它 先以一個(gè)二維優(yōu)化問題為例 設(shè)有一個(gè)約束最優(yōu)化問題 數(shù)學(xué)模型如下 對(duì)于這樣一個(gè)優(yōu)化問題 可用下圖的幾何圖形來說明幾個(gè)基本概念 3 6優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代過程及終止準(zhǔn)則 一 迭代過程與迭代格式 為了適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn) 要求最優(yōu)化方法具有下列性質(zhì) 數(shù)值計(jì)算 而不是解析方法 具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu) 并能進(jìn)行反復(fù)的運(yùn)算過程 不要求獲得精確解 而只要求有足夠精度的近似解 滿足上述要求的計(jì)算過程或計(jì)算方法就是所謂的數(shù)值迭代過程或數(shù)值迭代方法 數(shù)值迭代的基本思想是 從某一個(gè)選定的初始點(diǎn)出發(fā) 按照某種最優(yōu)化方法所規(guī)定的原則 確定適當(dāng)?shù)姆较蚝筒介L 獲得第一個(gè)新的修改設(shè)計(jì)點(diǎn) 計(jì)算此點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值使?jié)M足 最終達(dá)到與理論最優(yōu)點(diǎn)X 非常逼近的近似最優(yōu)點(diǎn)X 式中的就是以為新起始點(diǎn) 沿著一定的方向以一定的步長確定下一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的改進(jìn)迭代矢量 由此可知 每一步迭代格式可寫作 第n步迭代計(jì)算的步長 二 優(yōu)化方法的分類 目前已有的最優(yōu)化方法很多 各種方法的區(qū)別就在于確定方向S和步長a的方法不同 這些方法可大致歸納為兩大類 1 直接搜索法這種方法只需要進(jìn)行函數(shù)的計(jì)算與比較來確定優(yōu)化的方向和步長 2 間接法這種方法需要利用函數(shù)的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣來確定優(yōu)化方向和優(yōu)化步長 由于大多數(shù)工程設(shè)計(jì)問題的設(shè)計(jì)變量比較多 函數(shù)形式也比較復(fù)雜 不易求得一階和二階偏導(dǎo)數(shù) 因此在實(shí)際應(yīng)用中 直接搜索法更受工程界的歡迎 但不論何種具體的優(yōu)化算法 它們?cè)诖_定方向和步長時(shí)都應(yīng)具有以下共同之點(diǎn) 1 所選擇的優(yōu)化方向S是比較容易計(jì)算的 2 所選擇的優(yōu)化方向應(yīng)盡可能指向目標(biāo)函數(shù)F X 的極小點(diǎn) 至少在每一個(gè)迭代點(diǎn)附近是指向F X 的極小點(diǎn) 3 所選的步長a應(yīng)在已定方向上使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小 或者至少使目標(biāo)函數(shù)值有所下降 三 迭代點(diǎn)列的收斂條件和終止準(zhǔn)則 1 點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則若某種迭代過程所選擇的設(shè)計(jì)點(diǎn)序列為 若點(diǎn)列是收斂的 即存在極限 點(diǎn)列收斂的必要與充分條件是 對(duì)于任意指定的足夠小的正數(shù) 存在著自然數(shù)N 使得當(dāng)兩個(gè)自然數(shù)m和p大于N時(shí)滿足 滿足上述條件的點(diǎn)列稱為基本序列 這個(gè)條件叫做點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則 收斂條件式也可寫作 2 優(yōu)化計(jì)算的終止準(zhǔn)則 通常采用的計(jì)算終止準(zhǔn)則有以下幾種形式 1 當(dāng)兩相鄰的迭代點(diǎn)之間的距離足夠小時(shí)用矢量的長度來表示 即為 也可以用矢量長度在各坐標(biāo)軸上的分量來表示 即 2 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的下降量已達(dá)到充分小時(shí) 即 也可以用目標(biāo)函數(shù)值的相對(duì)下降量達(dá)到充分小時(shí)來表示 即 3 當(dāng)?shù)c(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)梯度達(dá)到充分小時(shí) 即 但是這種判別準(zhǔn)則很可能把駐點(diǎn)作為最優(yōu)值點(diǎn)輸出 這是它的缺點(diǎn) 在優(yōu)化設(shè)計(jì)中 只要滿足以上諸式中之一 就可算作目標(biāo)函數(shù)值已收斂于函數(shù)F X 的極小值 近似最優(yōu)化解已求得 迭代即可以結(jié)束 上述三個(gè)收斂準(zhǔn)則都在一定程度上反映了達(dá)到極值點(diǎn)的特點(diǎn) 但都不能保證所取得的設(shè)計(jì)點(diǎn)是全局最優(yōu)點(diǎn) 它很可能是一個(gè)局部最優(yōu)點(diǎn) 因此有必要進(jìn)一步考查它是否為全局最優(yōu)點(diǎn) 判斷全局最優(yōu)點(diǎn)常采用的方法是 同時(shí)取若干個(gè)相距甚遠(yuǎn)的兩點(diǎn)作為初始點(diǎn) 考查它們最后迭代的最優(yōu)解是否趨于同一解