高考數學 考前三個月復習沖刺 專題6 第28練“空間角”攻略課件 理.ppt

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專題6立體幾何與空間向量 第28練 空間角 攻略 題型分析 高考展望 空間角包括異面直線所成的角 線面角以及二面角 在高考中頻繁出現(xiàn) 也是高考立體幾何題目中的難點所在 掌握好本節(jié)內容 首先要理解這些角的概念 其次要弄清這些角的范圍 最后再求解這些角 在未來的高考中 空間角將是高考考查的重點 借助向量求空間角 將是解決這類題目的主要方法 常考題型精析 高考題型精練 題型一異面直線所成的角 題型二直線與平面所成的角 題型三二面角 ?？碱}型精析 題型一異面直線所成的角 例1在棱長為a的正方體ABCD A1B1C1D1中 求異面直線BA1與AC所成的角 解方法一 因為AB BC BB1 AB BB1 BC 所以異面直線BA1與AC所成的角為60 方法二連接A1C1 BC1 則由條件可知A1C1 AC 從而BA1與AC所成的角即為BA1與A1C1所成的角 由于該幾何體為邊長為a的正方體 于是 A1BC1為正三角形 BA1C1 60 從而所求異面直線BA1與AC所成的角為60 方法三由于該幾何體為正方體 所以DA DC DD1兩兩垂直且長度均為a 于是以D為坐標原點分別為x y z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系 于是有A a 0 0 C 0 a 0 A1 a 0 a B a a 0 所以所求異面直線BA1與AC所成角為60 2 如果題目條件易建立空間坐標系 可以借助空間向量來求異面直線所成角 設異面直線l1 l2的方向向量分別為m1 m2 則l1與l2所成的角 滿足cos cos m1 m2 變式訓練1 2014 課標全國 直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分別是A1B1 A1C1的中點 BC CA CC1 則BM與AN所成角的余弦值為 解析由于 BCA 90 三棱柱為直三棱柱 且BC CA CC1 可將三棱柱補成正方體 建立如圖所示空間直角坐標系 設正方體棱長為2 則可得A 0 0 0 B 2 2 0 M 1 1 2 N 0 1 2 答案C 題型二直線與平面所成的角 例2 2015 課標全國 如圖 長方體ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 點E F分別在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 過點E F的平面 與此長方體的面相交 交線圍成一個正方形 1 在圖中畫出這個正方形 不必說明畫法和理由 解交線圍成的正方形EHGF如圖 2 求直線AF與平面 所成角的正弦值 解作EM AB 垂足為M 則AM A1E 4 EM AA1 8 因為EHGF為正方形 所以EH EF BC 10 設n x y z 是平面EHGF的法向量 所以可取n 0 4 3 點評 1 求直線l與平面 所成的角 先確定l在 上的射影 在l上取點作 的垂線 或觀察原圖中是否存在這樣的線 或是否存在過l上一點與 垂直的面 2 找到線面角 作出說明 并通過解三角形求之 3 利用向量求線面角 設直線l的方向向量和平面 的法向量分別為m n 則直線l與平面 所成角 滿足sin cos m n 變式訓練2如圖 已知四棱錐P ABCD的底面為等腰梯形 AB CD AC BD 垂足為H PH是四棱錐的高 E為AD的中點 1 證明 PE BC 證明以H為原點 HA HB HP所在直線分別為x y z軸 線段HA的長為單位長度 建立空間直角坐標系 如圖 則A 1 0 0 B 0 1 0 設C m 0 0 P 0 0 n m0 2 若 APB ADB 60 求直線PA與平面PEH所成角的正弦值 設n x y z 為平面PEH的法向量 題型三二面角 例3 2015 山東 如圖 在三棱臺DEFABC中 AB 2DE G H分別為AC BC的中點 1 求證 BD 平面FGH 證明如圖 連接DG CD 設CD GF O 連接OH 在三棱臺DEF ABC中 AB 2DE G為AC的中點 可得DF GC DF GC 所以四邊形DFCG為平行四邊形 則O為CD的中點 又H為BC的中點 所以OH BD 又OH 平面FGH BD 平面FGH 所以BD 平面FGH 2 若CF 平面ABC AB BC CF DE BAC 45 求平面FGH與平面ACFD所成的角 銳角 的大小 解方法一 設AB 2 則CF DE 1 在三棱臺DEF ABC中 G為AC的中點 又FC 平面ABC 所以DG 平面ABC 在 ABC中 由AB BC BAC 45 G是AC中點 所以AB BC GB GC 因此GB GC GD兩兩垂直 以G為坐標原點 建立如圖所示的空間直角坐標系 設n x y z 是平面FGH的一個法向量 所以平面FGH與平面ACFD所成角 銳角 的大小為60 方法二作HM AC于點M 作MN GF于點N 連接NH 設AB 2 由FC 平面ABC 得HM FC 又FC AC C 所以HM 平面ACFD 因此GF NH 所以 MNH即為所求的角 由HM 平面ACFD MN 平面ACFD 所以 MNH 60 所以平面FGH與平面ACFD所成角 銳角 的大小為60 點評 1 二面角的范圍是 0 解題時要注意圖形的位置和題目的要求 作二面角的平面角常有三種方法 棱上一點雙垂線法 在棱上任取一點 過這點在兩個平面內分別引棱的垂線 這兩條射線所成的角 就是二面角的平面角 面上一點三垂線法 自二面角的一個面上一點向另一個面引垂線 再由垂足向棱作垂線得到棱上的點 即斜足 斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角 即為二面角的平面角 空間一點垂面法 自空間一點作與棱垂直的平面 截二面角得兩條射線 這兩條射線所成的角就是二面角的平面角 2 用向量法求二面角的大小 如圖 1 AB CD是二面角 l 的兩個面內與棱l垂直的直線 則二面角的大小 2 如圖 2 3 n1 n2分別是二面角 l 的兩個半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 變式訓練3 2015 安徽 如圖所示 在多面體A1B1D1 ABCD 四邊形AA1B1B ADD1A1 ABCD均為正方形 E為B1D1的中點 過A1 D E的平面交CD1于F 1 證明 EF B1C 證明由正方形的性質可知A1B1 AB DC 且A1B1 AB DC 所以四邊形A1B1CD為平行四邊形 從而B1C A1D 又A1D 面A1DE B1C 面A1DE 于是B1C 面A1DE 又B1C 面B1CD1 面A1DE 面B1CD1 EF 所以EF B1C 2 求二面角E A1D B1的余弦值 解因為四邊形AA1B1B ADD1A1 ABCD均為正方形 所以AA1 AB AA1 AD AB AD且AA1 AB AD 以A為原點 分別以為x軸 y軸和z軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標系 可得點的坐標A 0 0 0 B 1 0 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 B1 1 0 1 D1 0 1 1 而E點為B1D1的中點 設面A1DE的法向量n1 r1 s1 t1 1 1 1 為其一組解 所以可取n1 1 1 1 設面A1B1CD的法向量n2 r2 s2 t2 高考題型精練 1 2015 浙江 如圖 已知 ABC D是AB的中點 沿直線CD將 ACD翻折成 A CD 所成二面角A CDB的平面角為 則 A A DB B A DB C A CB D A CB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解析極限思想 若 則 A CB 排除D 若 0 如圖 則 A DB A CB都可以大于0 排除A C 故選B 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點E為BB1的中點 則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 解析以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系 設棱長為1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設平面A1ED的一個法向量為n1 1 y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 n1 1 2 2 平面ABCD的一個法向量為n2 0 0 1 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 3 2014 大綱全國 已知二面角 l 為60 AB AB l A為垂足 CD C l ACD 135 則異面直線AB與CD所成角的余弦值為 解析方法一如圖 1 平移CD至AF 則 BAF為所求 作二面角 l 的平面角 BAE 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 又 EAF 45 方法二如圖 2 設AB 2a 過點B作BB1 垂足為B1 作AD1 CD 則 BAD1即為所求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 過點B1作B1D1 AD1于D1 連接AB1 BD1 則易知 BAB1為二面角的平面角 即 BAB1 60 在Rt BB1D1中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 在 BAD1中 由余弦定理 得 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 4 2014 四川 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點O為線段BD的中點 設點P在線段CC1上 直線OP與平面A1BD所成的角為 則sin 的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解析根據題意可知平面A1BD 平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O 所以過點P作交線A1O的垂線PE 則PE 平面A1BD 所以 A1OP或其補角就是直線OP與平面A1BD所成的角 設正方體的邊長為2 則根據圖形可知直線OP與平面A1BD可以垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 根據選項可知B正確 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 5 如圖所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 點E F分別是棱AB BB1的中點 則直線EF和BC1所成的角是 解析以BC為x軸 BA為y軸 BB1為z軸 建立空間直角坐標系 設AB BC AA1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 則C1 2 0 2 E 0 1 0 F 0 0 1 EF和BC1所成的角為60 答案60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 6 正四棱錐S ABCD中 O為頂點在底面上的射影 P為側棱SD的中點 且SO OD 則直線BC與平面PAC所成的角是 解析如圖所示 以O為原點建立空間直角坐標系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設OD SO OA OB OC a 設平面PAC的法向量為n 可求得n 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 直線BC與平面PAC所成的角為90 60 30 答案30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 7 2014 四川 三棱錐A BCD及其側 左 視圖 俯視圖如圖所示 設M N分別為線段AD AB的中點 P為線段BC上的點 且MN NP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 證明 P是線段BC的中點 證明如圖 1 取BD的中點O 連接AO CO 圖 1 由側視圖及俯視圖知 ABD BCD均為正三角形 因此AO BD OC BD 因為AO OC 平面AOC 且AO OC O 所以BD 平面AOC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 又因為AC 平面AOC 所以BD AC 取BO的中點H 連接NH PH 又M N分別為線段AD AB的中點 所以NH AO MN BD 因為AO BD 所以NH BD 因為MN NP 所以BD NP 因為NH NP 平面NHP 且NH NP N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以BD 平面NHP 又因為HP 平面NHP 所以BD HP 又OC BD HP 平面BCD OC 平面BCD 所以HP OC 因為H為BO中點 故P為BC中點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求二面角A NP M的余弦值 解方法一如圖 2 作NQ AC于Q 連接MQ 圖 2 由 1 知 NP AC 所以NQ NP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 因為MN NP 所以 MNQ為二面角A NP M的一個平面角 由 1 知 ABD BCD為邊長為2的正三角形 由俯視圖可知 AO 平面BCD 因為OC 平面BCD 所以AO OC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 作BR AC于R 在 ABC中 AB BC 因為在平面ABC內 NQ AC BR AC 所以NQ BR 又因為N為AB的中點 所以Q為AR的中點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 圖 3 方法二由俯視圖及 1 可知 AO BCD 因為OC OB 平面BCD 所以AO OC AO OB 又OC OB 所以直線OA OB OC兩兩垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 因為M N分別為線段AD AB的中點 又由 1 知 P為線段BC的中點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設平面ABC的一個法向量n1 x1 y1 z1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設平面MNP的一個法向量n2 x2 y2 z2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 取z2 1 所以n2 0 1 1 設二面角A NP M的大小為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 8 2015 課標全國 如圖 四邊形ABCD為菱形 ABC 120 E F是平面ABCD同一側的兩點 BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 1 證明 平面AEC 平面AFC 證明連接BD 設BD AC G 連接EG FG EF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 在菱形ABCD中 不妨設GB 1 由BE 平面ABCD AB BC 可知AE EC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 從而EG2 FG2 EF2 所以EG FG 又AC FG G 可得EG 平面AFC 因為EG 平面AEC 所以平面AEC 平面AFC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求直線AE與直線CF所成角的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 點Q是線段BP上的動點 當直線CQ與DP所成的角最小時 求線段BQ的長 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系 則各點的坐標為A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 P 0 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 因為AD 平面PAB 高考題型精練 設平面PCD的法向量為m x y z 所以m 1 1 1 是平面PCD的一個法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 10 2015 北京 如圖 在四棱錐AEFCB中 AEF為等邊三角形 平面AEF 平面EFCB EF BC BC 4 EF 2a EBC FCB 60 O為EF的中點 1 求證 AO BE 證明因為 AEF是等邊三角形 O為EF的中點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以AO EF 又因為平面AEF 平面EFCB 平面AEF 平面EFCB EF AO 平面AEF 所以AO 平面EFCB 又BE 平面EFCB 所以AO BE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求二面角FAEB的余弦值 解取BC中點G 連接OG 由題設知EFCB是等腰梯形 所以OG EF 由 1 知AO 平面EFCB 又OG 平面EFCB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以OA OG 如圖建立空間直角坐標系 設平面AEB的法向量為n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 平面AEF的一個法向量為p 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 3 若BE 平面AOC 求a的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10