（通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 第2練 復數(shù)與平面向量精準提分練習 文.docx

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第2練　復數(shù)與平面向量 [明晰考情]　1.命題角度：復數(shù)的四則運算和幾何意義；以平面圖形為背景，考查平面向量的線性運算、平面向量的數(shù)量積.2.題目難度：復數(shù)題目為低檔難度，平面向量題目為中低檔難度. 考點一　復數(shù)的概念與四則運算 要點重組　(1)復數(shù)：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部，i為虛數(shù)單位.若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù). (2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (4)復數(shù)的模：向量的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R). (5)復數(shù)的四則運算類似于多項式的四則運算，復數(shù)除法的關鍵是分子分母同乘分母的共軛復數(shù). 1.(2018全國Ⅱ)等于(　　) A.－－i B.－＋i C.－－i D.－＋i 答案　D 解析?。剑剑? ＝－＋i. 故選D. 2.已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位.若a－i與2＋bi互為共軛復數(shù)，則(a＋bi)2等于(　　) A.5－4i B.5＋4i C.3－4i D.3＋4i 答案　D 解析　由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i， ∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故選D. 3.已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，則“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　A 解析　當a＝b＝1時，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i， 反過來(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i， 則a2－b2＝0,2ab＝2， 解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1. 故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要條件， 故選A. 4.復數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是________. 答案　5 解析　z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z的實部為5. 考點二　復數(shù)的幾何意義 要點重組　(1)復數(shù)z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R). (2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 5.設a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虛數(shù)單位)，則a等于(　　) A.3B.－3C.D.－ 答案　B 解析　(1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a， ∵(1＋3i)(1＋ai)∈R， ∴虛部為0，則a＋3＝0，∴a＝－3. 6.(2018株洲質檢)設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝i，則|z|等于(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　由(1＋i)z＝i， 得z＝＝＝＋i， ∴|z|＝＝. 7.如圖，在復平面內，復數(shù)z1，z2對應的向量分別是，，則|z1＋z2|＝__________. 答案　2 解析　由題意知，z1＝－2－i，z2＝i， ∴z1＋z2＝－2， ∴|z1＋z2|＝2. 8.已知復數(shù)z＝，則復數(shù)z在復平面內對應的點位于第________象限. 答案　二 解析　因為i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0， 所以i＋i2＋i3＋…＋i2019＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1， 所以z＝＝＝－(1－i)＝－＋i，對應的點為，在第二象限. 考點三　平面向量的線性運算 方法技巧　(1)向量加法的平行四邊形法則：共起點；三角形法則：首尾相連；向量減法的三角形法則：共起點連終點，指向被減. (2)已知O為平面上任意一點，則A，B，C三點共線的充要條件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R. (3)證明三點共線問題，可轉化為向量共線解決. 9.(2018全國Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則等于(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　作出示意圖如圖所示. ＝＋＝＋ ＝(＋)＋(－)＝－. 故選A. 10.如圖，在△ABC中，N是AC邊上一點，且＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為(　　) A.B.C.1D.3 答案　B 解析　∵＝，∴＝， ∴＝m＋＝m＋. 又B，N，P三點共線，∴m＋＝1， ∴m＝. 11.如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　) A.2 B. C. D. 答案　D 解析　方法一　如圖以AB，AD為坐標軸建立平面直角坐標系， 設正方形邊長為1，＝，＝，＝(1,1). ∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝， ∴解得故λ＋μ＝. 方法二　以，作為基底， ∵M，N分別為BC，CD的中點， ∴＝＋＝＋， ＝＋＝－， ∴＝λ＋μ＝＋， 又＝＋， 因此解得 所以λ＋μ＝. 12.若|a|＝1，|b|＝，且|a－2b|＝，則向量a與向量b夾角的大小是________. 答案　 解析　由|a－2b|＝，得|a|2－4ab＋4|b|2＝7， ∴1－4ab＋43＝7，∴ab＝. ∴cos〈a，b〉＝＝＝，又∵0≤〈a，b〉≤π， ∴〈a，b〉＝. 考點四　平面向量的數(shù)量積 方法技巧　(1)向量數(shù)量積的求法：定義法，幾何法(利用數(shù)量積的幾何意義)，坐標法. (2)向量運算的兩種基本方法：基向量法，坐標法. 13.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ為實數(shù)，(b＋λa)⊥c，則λ的值為(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　A 解析　b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)c＝0，即3(1＋λ)＋2λ4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－. 14.(2017全國Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則(＋)的最小值是(　　) A.－2 B.－ C.－ D.－1 答案　B 解析　方法一　(解析法) 建立坐標系如圖①所示，則A，B，C三點的坐標分別為A(0，)，B(－1，0)，C(1,0). 圖① 設P點的坐標為(x，y)， 則P＝(－x，－y)， ＝(－1－x，－y)， ＝(1－x，－y)， ∴(＋)＝(－x，－y)(－2x，－2y) ＝2(x2＋y2－y)＝2 ≥2＝－. 當且僅當x＝0，y＝時，(＋)取得最小值，最小值為－. 故選B. 方法二　(幾何法) 如圖②所示，＋＝2(D為BC的中點)，則(＋)＝2. 圖② 要使最小，則與方向相反，即點P在線段AD上，則(2)min＝－2||||， 問題轉化為求||||的最大值. 又當點P在線段AD上時，||＋||＝||＝2＝， ∴||||≤2＝2＝， ∴[(＋)]min＝(2)min＝－2＝－. 故選B. 15.(2016全國Ⅲ)已知向量＝，＝，則∠ABC等于(　　) A.30B.45C.60D.120 答案　A 解析　||＝1，||＝1， cos∠ABC＝＝. 又∵0≤∠ABC≤180， ∴∠ABC＝30. 16.在平面內，＝＝＝6，動點P，M滿足||＝2，＝，則||2的最大值是________. 答案　16 解析　由已知易得△ABC是等邊三角形且邊長為2. 設O是△ABC的中心，則||＝||＝||＝2. 以O為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標系， 如圖所示， 則A(2,0)，B(－1，－)，C(－1，). 設P(x，y)，由已知||＝2， 得(x－2)2＋y2＝4.∵＝， ∴M，∴＝， ∴||2＝， 它表示圓(x－2)2＋y2＝4上的點P(x，y)與點D(－1，－3)的距離的平方的， ∵||max＝＋2＝＋2＝8， ∴||＝＝16. 1.(2017全國Ⅰ)設有下面四個命題： p1：若復數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2； p4：若復數(shù)z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p4 答案　B 解析　設z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)， z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R). 對于p1，若∈R，即＝∈R，則b＝0，即z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題； 對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題； 對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝0D?/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題； 對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題.故選B. 2.在△ABC中，有如下命題，其中正確的是________.(填序號) ①－＝； ②＋＋＝0； ③若(＋)(－)＝0，則△ABC為等腰三角形； ④若>0，則△ABC為銳角三角形. 答案?、冖? 解析　在△ABC中，－＝，①錯誤； 若>0，則B是鈍角，△ABC是鈍角三角形，④錯誤. 3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是__________. 答案　∪ 解析　a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)， 由a(a＋λb)>0，可得λ>－. 又a與a＋λb不共線， ∴λ≠0. 故λ>－且λ≠0. 解題秘籍　(1)復數(shù)的概念是考查的重點，虛數(shù)及純虛數(shù)的意義要把握準確. (2)復數(shù)的運算中除法運算是高考的熱點，運算時要分母實數(shù)化(分子分母同乘以分母的共軛復數(shù))，兩個復數(shù)相等的條件在復數(shù)運算中經(jīng)常用到. (3)注意向量夾角的定義和范圍.在△ABC中，和的夾角為π－B；向量a，b的夾角為銳角要和ab>0區(qū)別開來(不要忽視向量共線情況，兩向量夾角為鈍角類似處理). 1.設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)i3－等于(　　) A.－i B.－3i C.i D.3i 答案　C 解析　i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.故選C. 2.已知＝b＋i(a，b∈R)，則a＋b等于(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案　B 解析　方法一　由已知可得a＋2i＝(b＋i)i，即a＋2i＝bi－1. 由復數(shù)相等可得所以a＋b＝1. 方法二　＝2－ai＝b＋i，由復數(shù)相等可得解得所以a＋b＝1. 3.設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析?。剑剑剑?＋i，由復數(shù)的幾何意義知，－1＋i在復平面內的對應點為(－1,1)，該點位于第二象限，故選B. 4.(2018安慶模擬)在△ABC中，點D是邊BC上任意一點，M是線段AD的中點，若存在實數(shù)λ和μ，使得＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　) A. B.－ C.2 D.－2 答案　B 解析　因為點D在邊BC上，所以存在t∈R， 使得＝t＝t. 因為M是線段AD的中點，所以＝(＋)＝＝－(t＋1)＋t. 又＝λ＋μ， 所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－. 5.“復數(shù)z＝在復平面內對應的點在第三象限”是“a≥0”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　D 解析　由題意得z＝a－3i， 若z在復平面內對應的點在第三象限，則a<0， 故選D. 6.(2018通州期末)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若＋＋＝0，且||＝||，則等于(　　) A. B. C.3 D.2 答案　C 解析　∵＋＋＝0，∴＝－，故點O是BC的中點，且△ABC為直角三角形， 又△ABC的外接圓的半徑為1，||＝||，∴BC＝2，AB＝1，CA＝，∠BCA＝30， ∴＝||||cos30＝2＝3. 7.已知a>0，＝2，則a等于(　　) A.2B.C.D.1 答案　B 解析?。剑剑?， 即a2＝3. 又∵a>0， ∴a＝. 8.(2018梧州模擬)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝，若向量m滿足|m－2－|＝3，則|m|的最大值與最小值的和為(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　D 解析　由AB＝2，AC＝3，BC＝，得BC2＝AB2＋AC2，即∠A為直角.以A點為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(2,0)，C(0,3)，設m的終點坐標為(x，y)，∵|m－2－|＝3，∴(x－4)2＋(y－3)2＝9，故|m|的最大值與最小值分別為圓(x－4)2＋(y－3)2＝9上的點到原點距離的最大值和最小值，故最大值為5＋3＝8，最小值為5－3＝2，即最大值與最小值之和為10， 故選D. 9.已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z12是實數(shù)，則實數(shù)t＝________. 答案　 解析　∵z2＝t＋i，∴2＝t－i， ∴z12＝(3＋4i)(t－i)＝3t－3i＋4ti－4i2 ＝(3t＋4)＋(4t－3)i. 又∵z12是實數(shù)，∴4t－3＝0，即t＝. 10.若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積之比為________. 答案　 解析　設AB的中點為D， 由5＝＋3， 得3－3＝2－2， 即3＝2. 故C，M，D三點共線， 如圖所示，＝， 也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5， 則△ABM與△ABC的面積之比為. 11.已知z＝1＋i，則－z2的共軛復數(shù)是__________. 答案　1＋3i 解析　∵z＝1＋i， ∴－z2＝－(1＋i)2＝－2i ＝1－i－2i＝1－3i， ∴－z2的共軛復數(shù)是1＋3i. 12.(2018瓦房店模擬)直線ax＋y－2＝0與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點，若＝－2，則a＝________. 答案　 解析　圓心到直線的距離是d＝.又圓的半徑是2, 由＝－2，得||||cos∠ACB＝－2，解得cos∠ACB＝－， ∵0≤∠ACB≤π， ∴∠ACB＝， ∴cos＝＝＝，∴a＝.