概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后答案北郵版(第三章)2.doc
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習題三 1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律. 【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表： X Y 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律. 【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表： X Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 P(0黑,2紅,2白)= 0 3.設二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求二維隨機變量（X，Y）在長方形域內(nèi)的概率. 【解】如圖 題3圖 說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。 4.設隨機變量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= 求：（1） 常數(shù)A； （2） 隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由 得 A=12 （2） 由定義，有 (3) 5.設隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= （1） 確定常數(shù)k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性質(zhì)有 故 （2） (3) (4) 題5圖 6.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為 fY（y）= 求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P{Y≤X}. 題6圖 【解】（1） 因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為 而 所以 (2) 7.設二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求（X，Y）的聯(lián)合分布密度. 【解】 8.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度. 【解】 題8圖 題9圖 9.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度. 【解】 題10圖 10.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= （1） 試確定常數(shù)c； （2） 求邊緣概率密度. 【解】（1） 得. (2) 11.設隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 題11圖 【解】 所以 12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y. （1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布； （2） X與Y是否相互獨立？ 【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表 Y X 3 4 5 1 2 0 3 0 0 (2) 因 故X與Y不獨立 13.設二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為 X Y 2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求關于X和關于Y的邊緣分布； （2） X與Y是否相互獨立？ 【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表 X Y 2 5 8 P{Y=yi} 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 0.2 0.42 0.38 (2) 因 故X與Y不獨立. 14.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為 fY（y）= （1）求X和Y的聯(lián)合概率密度； （2） 設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根的概率. 【解】（1） 因 故 題14圖 (2) 方程有實根的條件是 故 X2≥Y， 從而方程有實根的概率為： 15.設X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），并設X和Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為 f（x）= 求Z=X/Y的概率密度. 【解】如圖,Z的分布函數(shù) (1) 當z≤0時， （2） 當0
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