（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第十章 附加考查部分 5 第5講 隨機變量及其概率分布、均值與方差刷好題練能力 文-人教版高三全冊數(shù)學試題

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1、第5講 隨機變量及其概率分布、均值與方差 1．從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動． (1)求所選3人中恰有一名男生的概率； (2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的概率分布． 解：(1)所選3人中恰有一名男生的概率P＝＝. (2)ξ的可能取值為0，1，2，3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 2.(2019·宿遷模擬)某學校的三個學生社團的人數(shù)分布如下表(每名學生只能參加一個社團)： 圍棋社 舞蹈社 拳擊社 男生 5 10

2、 28 女生 15 30 m 學校要對這三個社團的活動效果進行抽樣調查，按分層抽樣的方法從三個社團成員中抽取18人，結果拳擊社被抽出了6人． (1)求拳擊社團被抽出的6人中有5人是男生的概率； (2)設拳擊社團有X名女生被抽出，求X的概率分布． 解：(1)由于按分層抽樣的方法從三個社團成員中抽取18人，拳擊社被抽出了6人， 所以＝， 所以m＝2. 設A為“拳擊社團被抽出的6人中有5人是男生”， 則P(A)＝＝. (2)由題意可知：X＝0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， X的概率分布為 X 0 1 2 P

3、 3.(2019·南通三校聯(lián)考)在一個盒子中有大小一樣的7個球，球上分別標有數(shù)字1，1，2，2，2，3，3.現(xiàn)從盒子中同時摸出3個球，設隨機變量X為摸出的3個球上的數(shù)字和． (1)求P(X≥7)； (2)求X的概率分布，并求其數(shù)學期望E(X)． 解：(1)由題知P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝. 所以P(X≥7)＝. (2)由題知P(X＝6)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以隨機變量X的概率分布為 X 4 5 6 7 8 P 所以E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6. 4．(2019·揚州期中)3個女生，4個男

4、生排成一排，記X表示相鄰女生的個數(shù)，求隨機變量X的概率分布及數(shù)學期望． 解：X的可能取值有0，2，3， P(X＝0)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝，所以隨機變量X的概率分布為 X 0 2 3 P E(X)＝0×＋2×＋3×＝. 5．設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的概率分布，并求其數(shù)學期望E(ξ)． 解：(1)若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有8

5、C對相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝. (2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對． 故P(ξ＝)＝＝， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝. 所以隨機變量ξ的概率分布是 ξ 0 1 P 因此E(ξ)＝1×＋×＝. 6．(2019·連云港模擬)某人向一目標射擊4次，每次擊中目標的概率為.該目標分為3個不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1∶3∶6，擊中目標時，擊中任何一部分的概率與其面積成正比． (1)設X表示目標被擊中的次數(shù)，求X的概率分布； (2)若目標被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被

6、擊中2次”，求P(A)． 解：(1)依題意知X～B， P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝C＝， P(X＝3)＝C＝， P(X＝4)＝C＝. 所以X的概率分布為 X 0 1 2 3 4 P (2)設Ai表示事件“第一次擊中目標時，擊中第i部分”，i＝1，2. Bi表示事件“第二次擊中目標時，擊中第i部分”，i＝1，2. 依題意知P(A1)＝P(B1)＝0.1， P(A2)＝P(B2)＝0.3， A＝A11∪1B1∪A1B1∪A2B2， 所求的概率為 P(A)＝P(A11)＋P(1B1)＋P(A1B1)＋P(A2

7、B2)＝P(A1)P(1)＋P(1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)·P(B2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28. 7．(2019·徐州、淮安、宿遷、連云港四市模擬)某校開設8門校本課程，其中4門課程為人文科學，4門為自然科學，學校要求學生在高中三年內從中選修3門課程，假設學生選修每門課程的機會均等． (1)求某同學至少選修1門自然科學課程的概率； (2)已知某同學所選修的3門課程中有1門人文科學，2門自然科學，若該同學通過人文科學課程的概率都是，自然科學課程的概率都是，且各門課程通過與否相互獨立．用ξ表示該同學所選的3門課程通過的門

8、數(shù)，求隨機變量ξ的概率分布和數(shù)學期望． 解：(1) 記“某同學至少選修1門自然科學課程”為事件A， 則P(A)＝1－＝1－＝， 所以該同學至少選修1門自然科學課程的概率為. (2)隨機變量ξ的所有可能取值有0，1，2，3. 因為P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝1)＝×＋×C××＝， P(ξ＝2)＝×C××＋×＝， P(ξ＝3)＝×＝， 所以ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.3. 8．根據(jù)以往的經驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表： 降水量X X＜300 300≤X

9、＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求： (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差； (2)在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率． 解：(1)由已知條件和概率的加法公式有： P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝

10、1－0.9＝0.1. 所以Y的概率分布為 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； V(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. (2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝

11、＝＝. 故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 1．某高中共派出足球、排球、籃球三個球隊參加市學校運動會，他們獲得冠軍的概率分別為，，. (1)求該高中獲得冠軍個數(shù)X的概率分布； (2)若球隊獲得冠軍，則給其所在學校加5分，否則加2分，求該高中得分Y的概率分布． 解：(1)由題意知X的可能取值為0，1，2，3， 則P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以X的概率分布為 X 0 1 2 3 P (2)因為得分Y＝5X＋2(3－X)

12、＝6＋3X， 因為X的可能取值為0，1，2，3. 所以Y的可能取值為6，9，12，15則 P(Y＝6)＝P(X＝0)＝，P(Y＝9)＝P(X＝1)＝， P(Y＝12)＝P(X＝2)＝，P(Y＝15)＝P(X＝3)＝. 所以Y的概率分布為 Y 6 9 12 15 P 2.(2019·南京六校聯(lián)考)袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為. 現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子．甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止. 每枚棋子在每一次被摸出的機會都是等可能的．用X表示取棋子終止時所需的取棋子的次數(shù)．

13、 (1)求隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望E(X)； (2)求甲取到白棋子的概率. 解：設袋中白棋子共有x個，x∈N*，則依題意知：＝，所以＝， 即x2－x－6＝0，解之得x＝3(x＝－2舍去)． (1)袋中的7枚棋子3白4黑，隨機變量X的所有可能取值是1，2，3，4，5. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 隨機變量X的概率分布為 X 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2. (2)記事件A＝“甲取到白棋子”，則事件A包括以下三個互斥事件

14、： A1＝“甲第1次取棋子時取出白棋子”； A2＝“甲第2次取棋子時取出白棋子”； A3＝“甲第3次取棋子時取出白棋子”． 依題意知：P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， P(A3)＝＝， 所以，甲取到白棋子的概率為 P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 3．某市醫(yī)療保險實行定點醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理”的原則，規(guī)定參加保險人員可自主選擇四家醫(yī)療保險定點醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為就診的醫(yī)療機構．若甲、乙、丙、丁4名參加保險人員所在地區(qū)附近有A、B、C三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的選擇是等可能的、相互獨立的． (1)求甲、乙兩人都選擇A社區(qū)

15、醫(yī)院的概率； (2)求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率； (3)設在4名參加保險人員中選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布． 解：(1)設“甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院”為事件M，那么P(M)＝×＝， 所以甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率為. (2)設“甲、乙兩人選擇同一家社區(qū)醫(yī)院”為事件N，那么P(N)＝C××＝，所以甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率為P()＝1－P(N)＝. (3)依題意ξ～B， 所以P(ξ＝k)＝C××＝C×(k＝0，1，2，3，4)，故ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 4 P 4.某射手每次射擊擊中目標的

16、概率是，且各次射擊的結果互不影響． (1)假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率； (2)假設這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標的概率； (3)假設這名射手射擊3次，每次射擊擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記ξ為射手射擊3次后的總的分數(shù)，求ξ的概率分布． 解：(1)設X為射手在5次射擊中擊中目標的次數(shù)， 則X～B.在5次射擊中，恰有2次擊中目標的概率P(X＝2)＝C××＝. (2)設“第i次射擊擊中目標”為事件Ai(i＝1，2，3，4，5)；“射手在5次射擊

17、中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A， 則P(A)＝P(A1A2A3)＋P(A2A3A4)＋P(A3A4 A5)＝×＋××＋×＝. (3)由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，6， P(ξ＝0)＝P( )＝＝， P(ξ＝1)＝P(A1 )＋P(A2)＋P( A3) ＝×＋××＋×＝. P(ξ＝2)＝P(A1A3)＝××＝， P(ξ＝3)＝P(A1A2)＋P(A2A3) ＝×＋×＝， P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝＝， 所以ξ的概率分布是 ξ 0 1 2 3 6 P 5.(2019·江蘇省重點中學領航高考沖

18、刺卷(九))某商場舉行抽獎促銷活動，在該商場消費的顧客按如下規(guī)則參加抽獎活動： 當日消費 金額X(元) [500，1 000) [1 000，1 500) [1 500，＋∞) 抽獎次數(shù) 1 2 4 已知抽獎箱中有9個大小和形狀完全相同的小球，其中4個紅球、3個白球、2個黑球(每次只能抽取1個，且每位顧客抽取時不放回，抽取完畢后統(tǒng)一放回)．若抽得紅球，獲獎金10元；若抽得白球，獲獎金20元；若抽得黑球，獲獎金40元． (1)若某顧客在該商場當日的消費金額為2 000元，求該顧客獲得獎金70元的概率； (2)若某顧客在該商場當日的消費金額為1 200元，獲得獎金ξ元，

19、求ξ的概率分布和數(shù)學期望． 解：(1)因為X＝2 000，所以該顧客有4次抽獎機會， 獲得獎金70元有兩種情況：抽得3個紅球，1個黑球；抽得1個紅球，3個白球． 所以該顧客獲得獎金70元的概率P＝＝. (2)因為X＝1 200，所以該顧客有2次抽獎機會， 所以ξ的取值可能為20，30，40，50，60，80， P(ξ＝20)＝＝，P(ξ＝30)＝＝，P(ξ＝40)＝＝，P(ξ＝50)＝＝，P(ξ＝60)＝＝， P(ξ＝80)＝＝， 所以ξ的概率分布為 ξ 20 30 40 50 60 80 P 所以E(ξ)＝20×＋30×＋40×＋

20、50×＋60×＋80×＝40. 6．(1)山水城市鎮(zhèn)江有“三山”——金山、焦山、北固山．一位游客游覽這三個景點的概率都是0.5，且該游客是否游覽這三個景點相互獨立，用ξ表示這位游客游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)差的絕對值，求ξ的概率分布和數(shù)學期望； (2)某城市有n(n為奇數(shù)，n≥3)個景點，一位游客游覽每個景點的概率都是0.5，且該游客是否游覽這n個景點相互獨立，用ξ表示這位游客游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)差的絕對值，求ξ的數(shù)學期望． 解：(1)游客游覽景點個數(shù)為0，1，2，3，ξ可能取值為：1，3. P(ξ＝1)＝C＋C ＝2C＝； P(ξ＝3)＝C＋C＝2C＝. ξ的概率

21、分布為 ξ 1 3 P 所以E(ξ)＝1×＋3×＝. (2)當n＝2k＋1，k∈N*時，游客游覽景點個數(shù)可能為：0，1，2，…，2k＋1. ξ可能取值為：1，3，5，…，2k＋1. P(ξ＝1)＝C×＋C×＝2×C， P(ξ＝3)＝C×＋C·×＝2×C， P(ξ＝2k＋1)＝C×＋C·×＝2×C， 所以E(ξ)＝(2k＋1－0)×2×C＋[(2k＋1－1)－1]×2×C＋[(2k＋1－2)－2]×2×C＋…＋[(2k＋1－k)－k]×2×C＝2×{[(2k＋1)C＋2kC＋(2k－1)·C＋…＋(2k＋1－k)C]－[0×C＋1×C＋2×C＋…＋kC]} ＝2×{[(2k＋1)×C＋2k×C＋(2k－1)×C＋…＋(k＋1)×C]－[0×C＋1×C＋…＋kC]} 又iC＝nC(i＝1，2，3，…n)， 所以E(ξ)＝2×{(2k＋1)×[C＋C＋…＋C]－(2k＋1)×[C＋C＋…＋C]} ＝2××(2k＋1)×[(C＋C＋…＋C)－(C＋C＋…＋C)] ＝2××(2k＋1)×C＝Cn－1. 故ξ的數(shù)學期望E(ξ)為Cn－1.