2018學(xué)年一年級數(shù)學(xué)下冊 應(yīng)用題精講 新人教版

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1、應(yīng)用題精講 應(yīng)用題類型： 1、歸一問題 2、歸總問題 3、和差問題 4、和倍問題 5、差倍問題 6、倍比問題 7、相遇問題 8、追及問題 9、植樹問題 10、年齡問題 11、行船問題 12、列車問題 13、時鐘問題 14、盈虧問題 15、工程問題 16、正反比例問題 17、按比例分配 18、百分?jǐn)?shù)問題 19、“牛吃草”問題 20、雞兔同籠問題 21、方陣問題 22、商品利潤問題 23、存款利率問題 24、溶液濃度問題 25、構(gòu)圖布數(shù)問題 26、幻方問題 27、抽屜原則問題 28、公約公倍問題 29、最值問題 30、列方程問題 1

2、歸一問題 【含義】 在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。 【數(shù)量關(guān)系】 總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量 1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量 另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù) 【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。 例1 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.6÷5＝0.12（元） （2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元） 列成綜合算式 0.6÷5×16＝0.12

3、×16＝1.92（元） 答：需要1.92元。 例2 3臺拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機(jī)6 天耕地多少公頃？ 解（1）1臺拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？ 90÷3÷3＝10（公頃） （2）5臺拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？ 10×5×6＝300（公頃） 列成綜合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃） 答：5臺拖拉機(jī)6 天耕地300公頃。 例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？ 解 （1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 100÷5÷4＝5（噸） （2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 5×7＝

4、35（噸） （3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？ 105÷35＝3（次） 列成綜合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次） 答：需要運3次。 2 歸總問題 【含義】 解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。 【數(shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量×份數(shù)＝總量 總量÷1份數(shù)量＝份數(shù) 總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量 【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。 例1 服裝廠原

5、來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ 解 （1）這批布總共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米） （2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套） 列成綜合算式 3.2×791÷2.8＝904（套） 答：現(xiàn)在可以做904套。 例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？ 解 （1）《紅巖》這本書總共多少頁？ 24×12＝288（頁） （2）小明幾天可以讀完《紅巖》？ 288÷36＝8（天） 列成綜合算式 24×12÷36

6、＝8（天） 答：小明8天可以讀完《紅巖》。 例3 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？ 解 （1）這批蔬菜共有多少千克？ 50×30＝1500（千克） （2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天） 列成綜合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天） 答：這批蔬菜可以吃25天。 3 和差問題 【含義】 已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。 【數(shù)量關(guān)系】 大數(shù)＝（和＋差）÷ 2

7、 小數(shù)＝（和－差）÷ 2 【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。 例1 甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解 甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人） 乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人） 答：甲班有52人，乙班有46人。 例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。 解 長＝（18＋2）÷2＝10（厘米） 寬＝（18－2）÷2＝8（厘米） 長方形的面積 ＝10×8＝80（平方厘米） 答：長方形的面積為80平方厘米。 例3 有甲乙丙

8、三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知 甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克） 丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克） 乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克） 答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。 例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解 “從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明

9、甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此 甲車筐數(shù)＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐） 乙車筐數(shù)＝97－64＝33（筐） 答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。 4 和倍問題 【含義】 已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。 【數(shù)量關(guān)系】 總和 ÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù) 總和 － 較小的數(shù) ＝ 較大的數(shù) 較小的數(shù) ×幾倍 ＝ 較大的數(shù) 【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

10、 例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？ 解 （1）杏樹有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵） （2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。 例2 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？ 解 （1）西庫存糧數(shù)＝480÷（1.4＋1）＝200（噸） （2）東庫存糧數(shù)＝480－200＝280（噸） 答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。 例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛

11、數(shù)是甲站的2倍？ 解 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52＋32）就相當(dāng)于（2＋1）倍， 那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為 （52＋32）÷（2＋1）＝28（輛） 所求天數(shù)為 （52－28）÷（28－24）＝6（天） 答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。 例4 甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？ 解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。 因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲

12、數(shù)的2倍； 又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍； 這時（170＋4－6）就相當(dāng)于（1＋2＋3）倍。那么， 甲數(shù)＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28 乙數(shù)＝28×2－4＝52 丙數(shù)＝28×3＋6＝90 答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。 5 差倍問題 【含義】 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。 【數(shù)量關(guān)系】 兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù) 較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù) 【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 例

13、1 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？ 解 （1）杏樹有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵） （2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。 例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？ 解 （1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲） （2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲） 答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。 例3 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬

14、元？ 解 如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（2－1）倍，因此 上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元） 本月盈利＝18＋30＝48（萬元） 答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。 例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？ 解 由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相當(dāng)于（3－1）倍，因此 剩下的小麥數(shù)量＝（138－94）÷（3－1）＝22（

15、噸） 運出的小麥數(shù)量＝94－22＝72（噸） 運糧的天數(shù)＝72÷9＝8（天） 答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。 6 倍比問題 【含義】 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。 【數(shù)量關(guān)系】 總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù) 另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量 【解題思路和方法】 先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。 例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100＝37（倍）

16、 （2）可以榨油多少千克？ 40×37＝1480（千克） 列成綜合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克） 答：可以榨油1480千克。 例2 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？ 解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍） （2）共植樹多少棵？ 400×160＝64000（棵） 列成綜合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵） 答：全縣48000名師生共植樹64000棵。 例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全

17、鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？ 解 （1）800畝是4畝的幾倍？ 800÷4＝200（倍） （2）800畝收入多少元？ 11111×200＝2222200（元） （3）16000畝是800畝的幾倍？ 16000÷800＝20（倍） （4）16000畝收入多少元？ 2222200×20＝44444000（元） 答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。 7 相遇問題 【含義】 兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。 【數(shù)量關(guān)系】 相遇時間＝總路

18、程÷（甲速＋乙速） 總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間 【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。 例1 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？ 解 392÷（28＋21）＝8（小時） 答：經(jīng)過8小時兩船相遇。 例2 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？ 解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。 因此總路程為400×2

19、相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒） 答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。 例3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。 解 “兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此， 相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時） 兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米） 答：兩地距離是84千米。 8 追及問題 【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不

20、是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。 【數(shù)量關(guān)系】 追及時間＝追及路程÷（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及時間 【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解 （1）劣馬先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米） （2）好馬幾天追上劣馬？ 900÷（120－75）＝20（天） 列成綜

21、合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天） 答：好馬20天能追上劣馬。 例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是 （500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米） 答：小亮的速度是每秒3米。

22、 例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？ 解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－16）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知 追及時間＝［10×（22－16）＋60］÷（30－10）＝120÷20＝6（小時） 答：解放軍在6小時后可以追上敵人。 例4 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站

23、中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。 解 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間， 這個時間為 16×2÷（48－40）＝4（小時） 所以兩站間的距離為 （48＋40）×4＝352（千米） 列成綜合算式 （48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米） 答：甲乙兩站的距離是352千米。 例5 兄妹二人同時由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？ 解 要求距離，速

24、度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90－60）米， 那么，二人從家出走到相遇所用時間為 180×2÷（90－60）＝12（分鐘） 家離學(xué)校的距離為 90×12－180＝900（米） 答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。 例6 孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。 解 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分

25、鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（10－5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分鐘。 所以 步行1千米所用時間為 1÷［9－（10－5）］＝0.25（小時）＝15（分鐘） 跑步1千米所用時間為 15－［9－（10－5）］＝11（分鐘） 跑步速度為每小時 1÷11／60＝5.5（千米） 答：孫亮跑步速度為每小時 5.5千米。 9 植樹問題 【含義】 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。

26、 【數(shù)量關(guān)系】 線形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距＋1 環(huán)形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距 方形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距－4 三角形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距－3 面積植樹 棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距） 【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 例1 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵） 答：一共要栽69棵垂柳。 例2 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？

27、解 400÷4＝100（棵） 答：一共能栽100棵白楊樹。 例3 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？ 解 220×4÷8－4＝110－4＝106（個） 答：一共可以安裝106個照明燈。 例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？ 解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊） 答：至少需要400塊地板磚。 例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解 （1）

28、橋的一邊有多少個電桿？ 500÷50＋1＝11（個） （2）橋的兩邊有多少個電桿？ 11×2＝22（個） （3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞） 答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。 10 年齡問題 【含義】 這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。 【數(shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。 【解題思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

29、兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù) 例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解 35÷5＝7（倍） （35+1）÷（5+1）＝6（倍） 答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍， 明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。 例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 解 （1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37－7＝30（歲） （2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年） 列成綜合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年） 答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。 例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是

30、兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？ 解 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（3×2）歲， 今年二人的年齡和為 49＋3×2＝55（歲） 把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（4＋1）倍，因此，今年兒子年齡為 55÷（4＋1）＝11（歲） 今年父親年齡為 11×4＝44（歲） 答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。 例4 甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”。乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？（可用方程解） 解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析： ? 過去某一年 今 年

31、 將來某一年 甲 □歲 △歲 61歲 乙 4歲 □歲 △歲 表中兩個“□”表示同一個數(shù)，兩個“△”表示同一個數(shù)。 因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個年齡差， 因此二人年齡差為 （61－4）÷3＝19（歲） 甲今年的歲數(shù)為 △＝61－19＝42（歲） 乙今年的歲數(shù)為 □＝42－19＝23（歲） 答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。 11 行船問題 【含義】 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水

32、速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。 【數(shù)量關(guān)系】 （順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝船速 （順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝水速 順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟? 【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例1 一只船順?biāo)?20千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？ 解 由條件知，順?biāo)伲酱伲伲?20÷8，而水速為每小時15千米， 所以，船速

33、為每小時 320÷8－15＝25（千米） 船的逆水速為 25－15＝10（千米） 船逆水行這段路程的時間為 320÷10＝32（小時） 答：這只船逆水行這段路程需用32小時。 例2 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？ 解由題意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36 甲船速－水速＝360÷18＝20 可見 （36－20）相當(dāng)于水速的2倍， 所以， 水速為每小時 （36－20）÷2＝8（千米） 又因為， 乙船速－水速＝360÷15， 所以， 乙船速為 360÷15＋8＝32（千米）

34、 乙船順?biāo)贋?32＋8＝40（千米） 所以， 乙船順?biāo)叫?60千米需要 360÷40＝9（小時） 答：乙船返回原地需要9小時。 例3 一架飛機(jī)飛行在兩個城市之間，飛機(jī)的速度是每小時576千米，風(fēng)速為每小時24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時？ 解 這道題可以按照流水問題來解答。 （1）兩城相距多少千米？ （576－24）×3＝1656（千米） （2）順風(fēng)飛回需要多少小時？ 1656÷（576＋24）＝2.76（小時） 列成綜合算式 ［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小時） 答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要

35、2.76小時。 12 列車問題 【含義】 這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。 【數(shù)量關(guān)系】 火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速 火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速） 火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速） 【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？ 解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。

36、 （1）火車3分鐘行多少米？ 900×3＝2700（米） （2）這列火車長多少米？ 2700－2400＝300（米） 列成綜合算式 900×3－2400＝300（米） 答：這列火車長300米。 例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？ 解 火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為 8×125－200＝800（米） 答：大橋的長度是800米。 例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從

37、追上到追過慢車需要多長時間？ 解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為 （225＋140）÷（22－17）＝73（秒） 答：需要73秒。 例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？ 解 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。 150÷（22＋3）＝6（秒） 答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。 例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車

38、的車速和車身長度各是多少？ 解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋冢?8－58）秒的時間內(nèi)行駛了（2000－1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒 （2000－1250）÷（88－58）＝25（米） 進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（25×58）米， 因此，車長為 25×58－1250＝200（米） 答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。 13 時鐘問題 【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。 【數(shù)量關(guān)系】 分針的速度是時針的12倍，

39、 二者的速度差為11/12。 通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。 【解題思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。 例1 從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？ 解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以 分針追上時針的時間為 20÷（1－1/12）≈ 22（分） 答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。 例2 四點和五點之間，

40、時針和分針在什么時候成直角？ 解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 （5×4－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。 （5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分） （5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分） 答：4點06分及4點38分時兩針成直角。 例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？ 解

41、 六點整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。 （5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分） 答：6點33分的時候分針與時針重合。 14 盈虧問題 【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。 【數(shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差 【解題思路和方

42、法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？ 解 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系： （1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人） （2）有多少個蘋果？ 3×12＋11＝47（個） 答：有小朋友12人，有47個蘋果。 例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？ 解 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配

43、差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知 原定完成任務(wù)的天數(shù)為 （260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天） 這條路全長為 300×（22＋4）＝7800（米） 答：這條路全長7800米。 例3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？ 解 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有 （1）有多少車？ （30－0）÷（45－40）＝6（輛） （2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人） 答：有6 輛車，有270人。 15 工程問題 【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這

44、類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。 【數(shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。 工作量＝工作效率×工作時間 工作時間＝工作量÷工作效率 工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率） 【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。 例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩

45、隊合作，需要幾天完成？ 解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。 由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天） 答：兩隊合做需要6天完成。 例2 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？ 解 設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1

46、/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以 （1）每小時甲比乙多做多少零件？ 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個） （2）這批零件共有多少個？ 7÷（1/6－1/8）＝168（個） 答：這批零件共有168個。 解二 上面這道題還可以用另一種方法計算： 兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7 所以，這批零件共有 24÷1/7＝168（個） 例3 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做1

47、0小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？ 解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是 60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做還需要 （60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時） 答：還需要5小時才能完成。 也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15） 例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部

48、裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個進(jìn)水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進(jìn)水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進(jìn)水管？ 解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。 要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。 我們設(shè)每個同樣的進(jìn)水管每小時注水量為1，則4個進(jìn)水管5小時注水量為（1×4×5），2個進(jìn)水管15小時注水量為（1

49、×2×15），從而可知 每小時的排水量為 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1 即一個排水管與每個進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知 一池水的總工作量為 1×4×5－1×5＝15 又因為在2小時內(nèi)，每個進(jìn)水管的注水量為 1×2， 所以，2小時內(nèi)注滿一池水 至少需要多少個進(jìn)水管？ （15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（個） 答：至少需要9個進(jìn)水管。 16 正反比例問題 【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正

50、比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。 【數(shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。 【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。 正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。 例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再

51、修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？ 解 由條件知，公路總長不變。 原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份， 從而知公路總長為 300÷（4－3）×12＝3600（米） 答： 這條公路總長3600米。 例2 張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？ 解 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系 設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28∶4＝91∶X 28X＝91×4 X＝91×4÷28

52、X＝13 答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。 例3 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？ 解 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系 設(shè)X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 36X＝24×15 X＝10 答：10天就可以看完。 例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。 A 25 20 36 B 16 解 由面積÷寬＝長可知，當(dāng)長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也

53、相等。因此， A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16 解這兩個比例，得 A＝45 B＝20 所以，大矩形面積為 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162 答：大矩形的面積是162. 17 按比例分配問題 【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。 【數(shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數(shù)＝比的前后項之和 【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分

54、之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。 例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？ 解 總份數(shù)為 47＋48＋45＝140 一班植樹 560×47/140＝188（棵） 二班植樹 560×48/140＝192（棵） 三班植樹 560×45/140＝180（棵） 答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。 例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶

55、4∶5。三條邊的長各是多少厘米？ 解 3＋4＋5＝12 60×3/12＝15（厘米） 60×4/12＝20（厘米） 60×5/12＝25（厘米） 答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。 例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。 解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝17 17×9/17＝9 17×6/17＝6

56、17×2/17＝2 答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。 例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？ 人 數(shù) 80人 一共多少人？ 對應(yīng)的份數(shù) 12－8 8＋12＋21 解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人） 答：三個車間一共820人。 18 百分?jǐn)?shù)問題 【含義】 百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的

57、分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號“%”。 在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。 【數(shù)量關(guān)系】 掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù) 【解題思路和方法】 一般有三種基本類型： （1） 求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾； （2） 已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少； （3） 已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。 例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？ 解 （1）

58、用去的占 720÷（720＋6480）＝10% （2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。 例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？ 解 本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量 所以 （525－420）÷525＝0.2＝20% 或者 1－420÷525＝0.2＝20% 答：男職工人數(shù)比女職工少20%。 例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？ 解 本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此 （525－420）÷42

59、0＝0.25＝25% 或者 525÷420－1＝0.25＝25% 答：女職工人數(shù)比男職工多25%。 例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？ 解 （1）男職工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4% （2）女職工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6% 答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。 例5 百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見的百分率有： 增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100% 合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100% 出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×1

60、00% 出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100% 缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100% 發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100% 成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100% 出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100% 出油率＝油的重量÷油料重量×100% 廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100% 命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100% 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100% 及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100% 19 “牛吃草”問題 【含義】 “牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。 【數(shù)量關(guān)系】 草總量＝原有

61、草量＋草每天生長量×天數(shù) 【解題思路和方法】 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。 例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？ 解 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答： （1）求草每天的生長量 因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以 1×10×20＝原有草量＋2

62、0天內(nèi)生長量 同理 1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長量 由此可知 （20－10）天內(nèi)草的生長量為 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量 原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5 天內(nèi)草總量 5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝100＋5×5＝125 （4）求多少頭牛5 天吃完草 因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。 因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭） 答：需要5頭牛5天可以把草吃完。 例2 一只船有一個漏洞，水以均

63、勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？ 解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時間。設(shè)每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算： （1）求每小時進(jìn)水量 因為，3小時內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進(jìn)水量 10小時內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進(jìn)水量 所以，（10－3）小時內(nèi)的進(jìn)水量為 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小時的進(jìn)水量為 14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12

64、×3－3小時進(jìn)水量＝36－2×3＝30 （3）求17人幾小時淘完 17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進(jìn)水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30÷（17－2）＝2（小時） 答：17人2小時可以淘完水。 20 雞兔同籠問題 【含義】 這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。 【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題： 假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2） 假設(shè)全都是兔，則

65、有 雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2） 第二雞兔同籠問題： 假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2） 假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2） 【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。 例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？ 解 假設(shè)35只全為兔，則 雞數(shù)＝（4×35－94）÷（

66、4－2）＝23（只） 兔數(shù)＝35－23＝12（只） 也可以先假設(shè)35只全為雞，則 兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 雞數(shù)＝35－12＝23（只） 答：有雞23只，有兔12只。 例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？ 解 此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題?！懊慨€菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應(yīng)，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有 白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝） 答：白菜地有10畝。 例3 李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？ 解 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有 作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本） 日記本數(shù)＝45－15＝30（本） 答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。