點集拓?fù)鋵W(xué) 主講人吳洪博PPT課件

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1、第一章 集合論初步 v1.2 關(guān)系,等價關(guān)系v1.1 集 合v1.3 映 射v1.4 集族及其運算 v1.5 可數(shù)集，不可數(shù)集v1.6 基 數(shù)第1頁/共99頁1.1 集 合 重點:熟悉有關(guān)集合的等式和性質(zhì) 難點:有關(guān)集合的有限笛卡爾積的等式和性質(zhì)第2頁/共99頁 集合一詞，我們在高中階段已經(jīng)接觸過，在那里，集合是指具有某種屬性的對象的全體.在這里，我們?nèi)圆捎脤系倪@種直觀的描述性定義，以后我們還將經(jīng)常遇到像這樣直觀的描述性定義或一些直觀的結(jié)論.雖然這樣做邏輯性差一些，不及公理集合論的嚴(yán)密性，但這樣做卻是我們易于理解和接受的，不致使讀者陷入邏輯困惑之中，從而盡快地進(jìn)入拓樸學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)程序.第3

2、頁/共99頁BA 定義1.1.1 對于兩個集合A,B,如果A的每個元素都是集合B的元素,我們稱A包含于B,或B包含A,或A是B的子集,記作 .BA ByBA 如果 ，而且存在使得 ，稱A是B的真子集，記作 .BA 如果AB ，同時記作A=B.，稱集合A與集合B相等，第4頁/共99頁不含任何元素的集合稱為空集，用符號 表示.規(guī)定空集是任意集合的子集.含有有限個元素的集合叫做有限集，不是有限集的集合叫做無限集.第5頁/共99頁BA定義定義1.1.2 給定集合A,B,由A與B的全部元素構(gòu)成的集合叫做A與B的并集,記作 .,|BxAxxBA或用描述法表示是: .BA定義定義1.1.3 給定集合A,B,

3、由A和B的公共元素構(gòu)成的集合叫做A與B的交集,記作 .xB用描述法表示就是:,|AxxBA 而且 .第6頁/共99頁BA定義定義1.1.4 給定集合A,B，把由屬于A而不屬于B的元素構(gòu)成的集合叫做A與B的差集,記作 .,|BxAxxBA用描述法表示是 .而此時可稱B為全集，全集在一個問題中是事先指定的或者是不言自明的.AABBA 如果 , 稱 為A在B中的補集，記作 .第7頁/共99頁對于集合之間的運算，有時用圖象表示更直觀一些.在下面的圖中，我們用兩個圓分別表示集合A,B，而用陰影部分表示兩個集合運算的結(jié)果.圖1.1.1第8頁/共99頁)()()()(ABBABABBABA觀察圖我們不難得出

4、下面的等式:BA這樣做的好處在于將并集 轉(zhuǎn)化成互不相交的集合并集.該集合等式也可以用定義證明.第9頁/共99頁集合中的運算律 設(shè)X是全集，A，B，C是X的子集，則以下運算律成立：(1)交換律 ABBAABBA,(2)結(jié)合律 )()(),()(CBACBACBACBA(3)零元,單位元 AXAAA,(4)吸收律 ABAAABAA)(,)(第10頁/共99頁),()()(CABACBA)()()(CABACBA(5)分配律 (6)冪等律 AAAAAA,(7)對合律 AA (8)對偶律 BABABABA)(,)(9)互補律 AAXAA,第11頁/共99頁以上運算定律由定義或作圖不難驗證,我們僅以對偶

5、律的驗證為例,其余讀者自己完成.圖1.1.2第12頁/共99頁.BABA)(AB)(BA圖(a)中陰影部分表示 ,圖(b)中右斜線表示，左斜線表示 . 由圖1.1.2可得： .,| ),(YyXxyxYX( , )x yYX,YyXx,YX 定義定義1.1.5 對給定的非空集合 我們把由二元有序?qū)?(其中 ) 構(gòu)成的集合叫做X與Y的笛卡 用描述法表示是:爾積，記作 第13頁/共99頁XX 2X其中x是第一個坐標(biāo),y是第二個坐標(biāo),X稱為第一個坐標(biāo)集,Y稱為第二個坐標(biāo)集.特別地，記 為 稱為X的二重笛卡爾積.( , ),( ,)x yx yR對于有序?qū)暗芽柗e，讀者并不陌生，我們學(xué)過的笛卡爾直角

6、坐標(biāo)系中的點就是有序數(shù)對 ,因而整個直角坐標(biāo)系平面就是集合R的二重笛卡爾積R 2 (R表示實數(shù)集合).第14頁/共99頁雖然對于任意給定集合,它們的元素不必有序,但我們可以把集合的元素串在一起,這樣就可用線段或直線表示集合.進(jìn)而將集合的笛卡爾積就可用“平面圖形”直觀的表現(xiàn)出來.)()()()(DCBDBACADCBA)()(DCBDBADBCA YDCXBA,例例1.1.1 設(shè) 由下面的圖1.1.3很容易得第15頁/共99頁（A-B）（C-D）圖該集合等式也可用定義證明,其過程讀者自己做為練習(xí)完成.第16頁/共99頁習(xí)題 1.1 1. 試判斷下列關(guān)系式的正確與錯誤 ;AA ;AA ; ; ;

7、(); 的元素. nAAA,212n121AAAAnnAAA212. 設(shè)都是集合，其中,證明：如果, 則 12 ,nXx xxn3. 設(shè)，即X有 個互不相同的元素，X的冪集P (X)有多少個互不相同4. 設(shè),dcbaX ， 用列舉法給出P (X).BAAAB BBAAB 5. 設(shè)A，B是集合，證明 的充要條件是 ,， 的充要條件是.且 第17頁/共99頁BA AABB)(6. 設(shè)A，B都是集合,證明:若，則.；,ACBABA)()(BAABBABA7. 設(shè)某一個全集已經(jīng)給定，證明 XBABA,BA AB 若，并且 ，則 )()()(21212211BBAABABA8. 設(shè)A，B，C，D是全集X

8、的子集,試判斷下列命題的正確性.若正確，給出證明，若不正確，給出反例.BBAA)(BAABA)()()()(CABACBA)()()(CABACBA ()(),()()ABABA ABAB DB DCBA 若， 則DCBA,AC BD 若 ，則)()()()(DBCADCBA)()()()(DBCADCBADBCADCBA)()( 第18頁/共99頁，AxxE( |9. 設(shè)A，B，C表示集合，試用A，B，C及集合運算符號表示下面集合.AxxD|)(CxBx或而且)CxBx或而且，AxxF|)(CxBx而且， 第19頁/共99頁1.2 關(guān)系,等價關(guān)系 重點：熟悉關(guān)系像，逆關(guān)系，復(fù)合關(guān)系和 等價關(guān)

9、系的性質(zhì) 難點：對命題演算知識的欠缺將影響性質(zhì) 證明的嚴(yán)謹(jǐn)性第20頁/共99頁YX YXR定義定義1.2.1 設(shè)X,Y是兩個集合,如果,即R是X的一個子集,則稱R是從X到Y(jié)的與Y的笛卡爾積 一個關(guān)系. YXR定義定義 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,即Ryx),(.(1)如果,則稱x與y是R相關(guān)的,并且記作xRy;XA ,則稱Y的子集(2)如果 ( )|R AyBAxxRy存在使得A的象集,或者稱為集合A的R象,R(X)稱為關(guān)系R的值域; 為集合A相對于關(guān)系R而言的象集,或者簡單地稱為集合第21頁/共99頁YB (3)如果,則稱X的子集:1( )|RBxXBy存在使得xRy為集合B相對于R)

10、(1YR稱為關(guān)系R的定義域.的原象集,或者簡單地稱為集合B的原象,或者稱為集合B的R原象,YX 關(guān)系，一個是自身，一個是進(jìn)行簡單地考查. 關(guān)系是一個外延十分廣泛的概念.讀者很快便會看到在數(shù)學(xué)學(xué)科中學(xué)過的映射，等價,運算，序等概念都是關(guān) 系的特例，這里有兩個特別簡單的從集合X到集合Y的，請讀者自己對它第22頁/共99頁1( , )|,Ry xYXxRy xX yYYXRXY 定義定義1.2.3 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,即,這時笛卡爾積的子集: 是從集合Y到集合X的一個關(guān)系，我們稱它為關(guān)系R的 逆，因此 當(dāng)且僅當(dāng) .1yR xxRy 顯然，若YB ，集合B相對于關(guān)系R-1的象集就是集合B

11、相對于關(guān)系R的原象集.特別地關(guān)系R-1的值域就是關(guān)關(guān)系R的定義域.第23頁/共99頁集合,.RXYSYZ 定義定義1.2.4 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,S是從集合Y到集合Z的一個關(guān)系,即| ),(zxYy,xRy ySz存在使得ZX 是笛卡爾積. RzxS Yy,.xRy ySz當(dāng)且僅當(dāng)存在使得因此 RS 1()( ).R XSZ 顯然，當(dāng)且僅當(dāng).S R系R與關(guān)系S的復(fù)合,記作X的一個子集,即從到 的一個關(guān)系,Z稱此關(guān)系為關(guān)第24頁/共99頁定理1.2.1 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,S是從集合Y到集合Z的一個關(guān)系,T是從集合Z到集合U的 一個關(guān)系,則(1)RR11)( (2)1

12、11)(SRRS(3)RSTRST)()( 第25頁/共99頁 證明：(1)11)(),( RyxyRx11)(當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng)xyR1xRy( , ).x yR11().RR,而這當(dāng)且僅當(dāng),這又當(dāng)且僅當(dāng)于是我們證明了. (2)和(3)的證明類似于(1)，可根據(jù)定義直接驗證,請讀者 自己完成.第26頁/共99頁定理1.2.2 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,S是從A和B,我們有:集合Y到集合Z的一個關(guān)系,則對于X中的任意兩個子集 (1)()()(BRARBAR (2)()( )( )R ABR AR B (3) ()( )( ( )SR AS R A(4) ( )( )()R AR BR

13、AB第27頁/共99頁， ， ，AxxRyBxxRy僅當(dāng)存在或存在，,當(dāng)且僅當(dāng) . , ，)(BARy證明(1)BAx當(dāng)且僅當(dāng)存在使得xRyAxBxxRy當(dāng)且僅當(dāng)存在或存在使得當(dāng)且 )()(BRARy. )(ARy)(BRy或，當(dāng)且僅當(dāng)于是 我們證明了)()()(BRARBAR .)(BARyBAxxRy(2) 設(shè)，則存在使得即存在 AxBx.xRy，使得 因此( )( ).yR AR B第28頁/共99頁)(ARSzAx,xS RzAx(3)由于當(dāng)且僅當(dāng)存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在使得 YyySzxRy,)(ARyySA(存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在使得. )，)()(BRARy)(),(BRyARy(4)

14、設(shè),即. AxxRy因此存在，使得. BxxRy)(BRy此時假設(shè)，由于，因此， )(BRy這與 ,Bx矛盾，因此因此存在 xRyBAx,)(BARy，因此， ( )( )().R AR BR AB第29頁/共99頁| ),(Xxxx)(X定義定義1.2.5 設(shè)X是一個集合,從集合X到集合X的一個稱為恒同關(guān)系，或恒同、對角線.記作或.關(guān)系簡稱為集合X中的一個關(guān)系.集合X中的關(guān)系:(),XRxXxRx定義定義 設(shè)R是集合X中的一個關(guān)系,如果即對于任意,有,則稱關(guān)系R為自反的; 如果 1RRXyx,xRy.yRx,即對于任何,如果,則 則稱關(guān)系R為對稱的; 1RR如果,即對于任何第30頁/共99頁

15、,x yX xRyyRx和不能同時成立,則稱 關(guān)系R為非對稱的;RRRXzyx,如果,即對于任何,如果 ,xRy yRz ，則xRz ，則稱關(guān)系R是傳遞的.定義1.2.7 設(shè)R是集合X中的一個等價關(guān)系.集合X中的兩個元素x,y,如果滿足條 件:xRy,則稱x與y是R等價的, 或簡稱等價的;對于每一個 Xx,集合X中的子集|xRyXy稱為x的R等價類或等價類,記Rxx作或,并且任何一個 RxyRx都稱為R等價類的一個代表元素; 第31頁/共99頁,XxRxxRx(1)如果則 , 因而.RRyx.|XxxR由等價類組成的集合 稱為集合X相對于RX.等價關(guān)系R而言的商集,記作 .定理1.2.3 設(shè)R

16、是非空集合X中的一個等價關(guān)系,則:,RyxRRyx(2)對于任意或者，或者,XxxRx,RxxRx證明：設(shè)由于R是自反的，所以，因此因而.第32頁/共99頁有Xyx,RRyx(2)對于任意,如果,設(shè)RRyxz,如圖1.2.1,因此必 ,zRx zRy,又由于RxRz,又由于R是傳遞的,所以xRy .是對稱的,所以第33頁/共99頁tRx,Rxt 對于任何一個 有xRy ，由上述 以及R的傳RRyx . RyRyt ，由 定義即得 .因此證明了zRy遞性可得RRxyRRyx 同理可證 .因此 .例例1.2.1 給出平面上的一個關(guān)系 |),(),(2211yxyx,2222221122xyxyRR

17、),(),(2211yxyx的意義是指 和 到原點 的距離相等,容易驗證11( ,)x y22(,)xy(0,0)是平面 上的一個等價關(guān)系. 相對于等價關(guān)系2R2R而言的商集 2R為222( , )|,0 x yxyrrR r， 第34頁/共99頁即商集是由單點集(0,0)和以原點為中心的所有圓周組成的集合.習(xí) 題 1.2 ,cbaX ,gfedY ),(),(),(fbeadaR ,caA ,gedB 1. 設(shè) ， , ，. 試求RBRAR),(),(1的值域，R的定義域.2. 設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,證明下列條件等價:,()A BP X)()()(BARBRAR(1) 對于任意

18、，第35頁/共99頁yx Xyx,( )( )RxRy (2) 對于任意 ，.)(00AAC限制定義為 ，證明:一個等價關(guān)系的限制仍是等價關(guān)系.XA 00A3. 設(shè)C是X上的一個關(guān)系， ，關(guān)系C在上的4. 設(shè)R是集合X中的一個對稱的，傳遞的關(guān)系.證明R是一個等價關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)R的定義域為X.21RR 1221RRRR5. 設(shè)R1，R2是集合X中的兩個等價關(guān)系，證明仍是集合X中的一個等價關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng).6. 實數(shù)集合R中的一個關(guān)系定義為：第36頁/共99頁2( , )|.Rx yRxyZRR 證明關(guān)系R是實數(shù)集合R上的一個等價關(guān)系，并且 ，即給出實數(shù)集R關(guān)于關(guān)系R的商集.給出第37頁/共99頁1.3

19、 映 射重點：熟悉由映射所誘導(dǎo)的逆關(guān)系得所有性質(zhì)難點：對映射的逆關(guān)系性質(zhì)的理解第38頁/共99頁定義定義1.3.1 設(shè)f是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,即YyYXf,xX ,如果對每一個使得果 f 滿足：Yy,Xx,)(1XYf(1) 即對 存在.使得xfy；那么稱關(guān)系f是從集合X到集合Y的一個映射.Yyy21,Xx(2)設(shè),如果對于有xfy1和xfy2,則y1=y2.fyx),( , 則稱關(guān)系 f 是從集合X到集合Y的一映,fXY:.fXY射,并且記作換言之，設(shè) 如第39頁/共99頁fYXf:定義定義1.3.2 設(shè)X和Y是兩個集合, ,即使得xfy的,Xx是從集合X到集合Y的映射,對每個Yy唯

20、一元素 稱為x的象或值,記作f(x)，即y=f(x);Yy（值得注意的是 可以沒有原象,也可以有不止一)(1yf個原象 不必是單元素集,)(1yf 有時也記作)(1yf .x是y的一個原像.XxYy對于 ,如果存在使得xfy(即y是x的象),則稱第40頁/共99頁YXf:由于映射是滿足一定條件的關(guān)系，因此如果11),(),(fBfAfYBXA,即f是從集合X到集合Y的映射， ，則都是有意義的.xfy| )(AxxfAxYyAf)(1) |存在 ,使得并稱f(A)為A在映射f下的象.)(1Bf 并稱 為B在映射f下的原象.)(|BxfXx|)(1xfyByXxBf使得存在 (2)(4)f(X)叫

21、映射f的值域.(3) (Y)=X,即映射f的定義域是X.1f第41頁/共99頁 (6) f -1作為Y到X的關(guān)系有定義,但一般說來f -1不是一個從Y到X的映射.,則關(guān)系f和g的ZYg:(5)如果Z是一個集合并且fg 復(fù)合 作為從X到Z的關(guān)系有定義.)()(xfgxfgfg 定理定理1.3.1 設(shè)X、Y、Z都是集合，如果f是從集合X 到集合Y的映射，g 是從集合Y 到集合 Z 的映射，則f和g關(guān)系的復(fù)合 是從集合X到集合Z的映射，并且對Xx于任何 ，有 第42頁/共99頁fg 證明：第一步驗證復(fù)合關(guān)系是映射.再結(jié)合定理1.2.2(3)得)()()(111ZgfZfgYZgXYf)(,)(11Y

22、Xf:ZYg:(1)由于 ， ,因此根據(jù)定理1.2.1得.)()(1111ZgfZgfXYfZgfZfg)()()()(1111因此，.21,fzxgfzxgZzz21,Xx(2)對 ,設(shè) 使得 21zz 2211,gzygzy, ,2222111gzygyxgzyxfyYyy21,因此，存在 ,使得ZYg:21yy ,1xfy2xfyYXf:由 和 得 由 和 21yy 以及 得fg 因此， 是從X到Z的映射. 第43頁/共99頁YXf: .如果YBA,YX定理定理1.3.2 設(shè) 和 是兩個集合, ，則)()()(111BfAfBAf(2)()()(111BfAfBAf(3)1fYXf:簡單

23、地說，設(shè)，則 保持交，并，差運算.)(1Bf)()(11AfBAf(1) 第二步證明)()(xfgxfg,這由定理1.2.2 (3)直接可證.第44頁/共99頁)()()(111BfAfBAff1f證明：(1)由于是關(guān)系 的逆關(guān)系,因此由定理 1.2.2 直接可得(2)由于1f 是關(guān)系,由定理1.2.2 可得)()()(111BfAfBAf,因此)()()(111BAfBfAf,這就證明了)(1BAfx因此,)(BAxf,因此Bxf)(得,由Axf)()(1Afx)()(11BfAfx)()()(111BfAfBAf;又設(shè)得,由)(1Bfx第45頁/共99頁)()()(111BfAfBAfBA

24、xf)()(1BAfx(3)由于 ,當(dāng)且僅當(dāng) ,當(dāng)且僅當(dāng))(),(11BfxAfx)(,)(BxfAxf ,當(dāng)且僅當(dāng))()(11BfAfx當(dāng)且僅當(dāng) ,因此YXf:需要說明兩點：設(shè) ，則 f 是保并運算.(見定理1.2.2),但f不必是保交或保差運算; 其逆關(guān)系R-1是保并運算(見定理1.2.2),但R -1不必是保差或保交運算.其中原因留給讀者自己思考.,YXR對于一般關(guān)系第46頁/共99頁YXf: 定義定義1.3.3 設(shè)X和Y是兩個集合,. 如果f(X)=Y，)(xfy XxYy即對任意 , 存在 使得 (也就是xfy), 則稱f是一個滿射,或者稱f為從X到Y(jié)上的映射;如果對于 X中任意互異

25、的兩點x1,x2一定有)()(21xfxf(換言之,)()(21xfxf如果 ,一定有x1=x2). 則稱f是一個單射;如果f即是一個單射又是一個滿射,則稱f是一個一一映射.0y的映射.)(0yXf并且當(dāng) 時，稱f是一個取常值如果f(X)是一個單元素集，則稱f是一個常值映射 第47頁/共99頁根據(jù)下面的定理一一映射又稱為可逆映射.YXiffiff11,),并且也是一一映射,此外還有XYf:1如果f是個一一映射，則其逆關(guān)系f-1便是從Y到X的映射(因此可以寫作 YXf:定理1.3.3 設(shè)X和Y是兩個集合,又設(shè).XYf:1 的映射，即證明了Y到X 1f是從由定義1.3.1知21xx 是單射，因此有

26、f ,由于yxfxf)()(21 則有x1fy，x2fy，因此2111,xyfxyf 使得Xxx21,YyYXfXf)()()(11YXf)(f1f證明: 是一個映射.由于 是滿射，因而由定理1.2.1得 ,又設(shè)存在第48頁/共99頁Xiff1)(11xffx)(11xffxXxXiff1XYf)(1,因此由定義1.3.1有1f 是滿射.由于f是映射Yyy21,1f1f因此 是滿射.是單射.若存在使得xfyxfy1211,xyfyf)()(2111即,因此由逆21yy f21,xfyxfy關(guān)系定義 ,由于是映射，因此有.對于任意,設(shè)，由定理1.2.2有1xx f)()(1xfxf因此有由于是單

27、射,因此有xxff)(1Xx因此對于任意有,這就證明了第49頁/共99頁Yiff1)(11yffyYyYiff1 ,對于, 令 ,由定理1.2.2得1f)()(111yfyf)(11yffy .因此 ,由于已證 是單映射yyffYy)(,11yy 因此有 ,亦對任意 ,因此 是滿射;如果fZYg:YXf:ZYX和,定理定理1.3.4 設(shè) 都是集合,ZXfg:ZXfg:gf如果 和 都是滿射,則和g都是單射,則 也是單射.因此如果f和gZXfg:都是一一映射，則 也是一一映射.證明：結(jié)合定理和單射、滿射定義容易證明, 本定理,略.第50頁/共99頁| )(,(Aaaga|)(,(Xxxfxfg

28、YAg:YXf:XA 定義定義1.3.4 設(shè)X和Y是兩個集合, .映射 和 如果滿足條件 ,即:XAAiX:|XXiX:Afg|)()(agafAa即對于有 ,則稱映射g是映射f的限制,或稱f是g的擴張,記作 .特別地,恒同映射 在子集A上的限制 稱為內(nèi)射. 從關(guān)系出發(fā)定義映射的本意使得我們在本書的理論體系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定義對象.但是，如果每次定義一個映射都要將映射寫成它的定義域與值域的笛卡爾積的一個子集，畢竟是件不太方便的事，因此在定義映射時仍采用我們習(xí)慣的方法：對定義域中的每一個元素指定值域中的唯一一個元素作為它的象.第51頁/共99頁iixxpXXxxx)(,),(

29、212121XX 21,XX定義定義1.3.5 設(shè) 兩個給定集合，從笛卡爾積iiXXXp21:iX到它的第i個坐標(biāo)集的投射(或稱第i個投射) 定義為對于每一個),(21xx21XX iXXX)(21| ),(21iixxxp 事實上，第i個投射pi關(guān)系定義便是容易驗證pi是一個滿映射.,xX定義1.3.6 設(shè)是集合X中的一個等價關(guān)系.從集合X到它的商集 的自然投射定義為對于每一個 這個自然投射用關(guān)系定義便是：X( ) .p xx| ) ,(XXXxxxp第52頁/共99頁習(xí) 題 1.3 )()(|),(21221xfxfXxxR2XR YXf: 1. 設(shè) 是一個滿射,關(guān)系 定義為： RXXF:

30、 證明 R是X上的一個等價關(guān)系. 證明存在滿射RX (其中 是X關(guān)于R的商集).)(,XCBAPBA),(BA其中 是 的簡寫. )()()(:XXXPPP2. 設(shè)X是一個給定集合，)()(ABBABA定義為稱其為 A與B的對稱差.證明集合的對稱差滿足交換群公理,即設(shè) 則ABBA (1) AA(2) )( AA(3) 存在集合-A，使得CBACBA)()(4) 第53頁/共99頁YXf:YX,4.設(shè) 是兩個集合，,證明下列條件等價: f是單射.)(,1AffAXA 對于任意 ).)()()(,AfXfAXfXA 對于任意YXf:3. 設(shè)X和Y是兩個集合, ,證明 )(,1AffAXA 對于任意

31、 ,而且如果f 是一個單射,)(1AffA則BBff)(1,而且如果f是一個滿射,則BBff)(1YB 對于任意 , )()()(,BfAfBAfXBA 對于任意第54頁/共99頁),()(, 2yaykaYyYXYka:, 2 定義映射 ,使得對任意 有ipip 在什么情況下 是滿射？在什么情況下 是單射？)(1iiapiiXa 設(shè) ，寫 出集合 ),()(, 1bxxKbXxYXXkb:, 1YbXa,YX,6. 設(shè) 是兩個集合，,定義映射,使得對任意 有YXkpb:, 11XYkpa:, 21YaXbiRpikp, 22, 11,YaYkbXXkab)(,)(, 2, 1 (2)bk,

32、1ak,2證明：(1) 和 都是單射; (3) (4) 為取常值a的映射,為取常值b的映射.2 , 1iiiXXXp21:2X1X5. 設(shè) 和 是兩個集合, 是第i 個投射 其中第55頁/共99頁 構(gòu)造一個函數(shù)f使它有右逆，但沒有左逆. 使得XYh:YXf:YX,7. 設(shè) 是兩個集合，.若存在YigfXYg:Xifh，則稱h為f 的左逆，若存在 ,使得，則稱g是f是右逆. 證明:如果f有左逆，則f是單射，如果f是右逆，則f是滿射.1fhg 能否構(gòu)造一個函數(shù) f 使其有兩個左逆. 若函數(shù)f 即有左逆元h，又有右逆元g，則是f一一映射，且第56頁/共99頁1.4 集族及其運算重點:集族的交與并的理

33、解難點：集族交與并的理解第57頁/共99頁第58頁/共99頁第59頁/共99頁第60頁/共99頁第61頁/共99頁第62頁/共99頁第63頁/共99頁第64頁/共99頁第65頁/共99頁1.5 可數(shù)集，不可數(shù)集 重點:可數(shù)集合的定義和性質(zhì) 難點：不可數(shù)集合的存在性第66頁/共99頁對于有限集，我們今后使用下面的定義.定義 設(shè)X是一個集合,如果X是空集或者存在正整數(shù)使得集合X和集合1,2,n之間有一個一一映射,則稱集合X是一個有限集. 定義 不是有限集的集合稱為無限集;如果存在一個從集合X到正整數(shù)集Z+的雙射,則稱集合X是一個可數(shù)無限集,不是可數(shù)無限集的無限集合稱為不可數(shù)集.有限集和可數(shù)無限集統(tǒng)

34、稱為可數(shù)集.第67頁/共99頁定理 如果C C是Z+Z+的一個無限子集, ,那么C C是可數(shù)無限集. . 第68頁/共99頁第69頁/共99頁第70頁/共99頁第71頁/共99頁第72頁/共99頁第73頁/共99頁第74頁/共99頁第75頁/共99頁第76頁/共99頁第77頁/共99頁第78頁/共99頁第79頁/共99頁第80頁/共99頁習(xí) 題 1.5 第81頁/共99頁第82頁/共99頁第83頁/共99頁 1.6 基 數(shù)第84頁/共99頁圖1.6.1第85頁/共99頁第86頁/共99頁圖1.6.2)(1)(1XXhTkZk現(xiàn)在設(shè) 顯然 21XT 并設(shè) 11)(TXXT第87頁/共99頁第88頁/共99頁第89頁/共99頁 第90頁/共99頁閱讀材料（二）序關(guān)系第91頁/共99頁第92頁/共99頁第93頁/共99頁第94頁/共99頁第95頁/共99頁y第96頁/共99頁習(xí)題第97頁/共99頁第98頁/共99頁感謝您的觀看。第99頁/共99頁