鮑溝中學(xué)屆九級上《特殊四邊形》期中復(fù)習(xí)試卷含解析

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1、2016-2017學(xué)年山東省棗莊市滕州市鮑溝中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷（特殊四邊形） 　 一、選擇題（共15小題，每小題3分，滿分45分） 1．如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點(diǎn)B、D恰好都將在點(diǎn)G處，已知BE=1，則EF的長為（　?。? A． B． C． D．3 2．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長是（　?。? A．2.5 B． C． D．2 3．如圖，正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)P是線段CD邊上的動點(diǎn)（與點(diǎn)C，D不重合），∠PBQ=

2、45°，過點(diǎn)A作AE∥BP，交BQ于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．BP?BE=2 B．BP?BE=4 C． = D． = 4．下列命題是假命題的是（　　） A．四個角相等的四邊形是矩形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形 C．對角線垂直的四邊形是菱形 D．對角線垂直的平行四邊形是菱形 5．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1、S2，則S1+S2的值為（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 6．四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（　?。? A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D

3、．AD=BC 7．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點(diǎn)B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1、S2的大小關(guān)系是（　?。? A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S2 8．菱形ABCD的一條對角線長為6，邊AB的長為方程y2﹣7y+10=0的一個根，則菱形ABCD的周長為（　?。? A．8 B．20 C．8或20 D．10 9．如圖：在四邊形ABCD中，E是AB上的一點(diǎn)，△ADE和△BCE都是等邊三角形，點(diǎn)P、Q、M、N分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形MNPQ是（　?。? A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正

4、方形 10．菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（　?。? A．內(nèi)角和等于360° B．對角相等 C．對邊平行且相等 D．對角線互相垂直 11．如圖，矩形ABCD的面積為1cm2，對角線交于點(diǎn)O；以AB、AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B，對角線交于點(diǎn)O1；以AB、AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B…；依此類推，則平行四邊形AO2014C2015B的面積為（　　） A． B． C． D． 12．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC與BD相交于O，E為DC的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OF⊥OE交BC于F．記d=，則關(guān)于d的正確的結(jié)論是（　?。? A．d=5 B．d＜5 C．d≤5

5、D．d≥5 13．如圖，小賢為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，B與D兩點(diǎn)之間用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下列判斷錯誤的是（　?。? A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅? B．BD的長度增大 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變 14．在菱形ABCD中，如果∠B=110°，那么∠D的度數(shù)是（　?。? A．35° B．70° C．110° D．130° 15．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，M為BC中點(diǎn)，連接AM，過D作DE⊥AM于E，則DE的長度為（　?。? A．2 B．

6、C． D． 　 二、解答題（共4小題，滿分0分） 16．某新建火車站站前廣場需要綠化的面積為46000米2，施工隊(duì)在綠化了22000米2后，將每天的工作量增加為原來的1.5倍，結(jié)果提前4天完成了該項(xiàng)綠化工程． （1）該項(xiàng)綠化工程原計(jì)劃每天完成多少米2？ （2）該項(xiàng)綠化工程中有一塊長為20米，寬為8米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），問人行通道的寬度是多少米？ 17．把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H（如圖）．試問線段HG與線段HB相等嗎？請

7、先觀察猜想，然后再證明你的猜想． 18．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G． （1）求證：AE⊥BF； （2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP到BA的延長線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值； （3）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積． 19．在?ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F 在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF． （1）求證：四邊形BFDE是矩形； （2）若CF=3，BF

8、=4，DF=5，求證：AF平分∠DAB． 　 三、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 20．將一張長方形紙條ABCD沿EF折疊后，ED與BF交于G點(diǎn)，若∠EFG=54°，則∠BGE的度數(shù)為　　． 21．如圖，在△ABC中，AC=BC=，∠ACB=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動點(diǎn)，則EC+ED的最小值是　?。? 22．如圖，直線l是矩形ABCD的一條對稱軸，點(diǎn)P是直線l上一點(diǎn)，且使得△PAB和△PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有　　個． 23．如圖，如果邊長為1的等邊△PQR沿著邊長為1的正方形ABCD的外部的邊如圖位置開始順時(shí)針連續(xù)滾動，當(dāng)

9、它滾動121次時(shí)，點(diǎn)P所經(jīng)過的路程是　?。? 24．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別是6，2，如果用一個2倍放大鏡看菱形ABCD，則∠BAD=　　°，菱形ABCD的周長=　　，面積=　?。? 25．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E．若∠CBF=20°，則∠AED等于　　度． 　 2016-2017學(xué)年山東省棗莊市滕州市鮑溝中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷（特殊四邊形） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共15小題，每小題3分，滿分45分） 1．如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分

10、別和AE、AF折疊，點(diǎn)B、D恰好都將在點(diǎn)G處，已知BE=1，則EF的長為（　　） A． B． C． D．3 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【分析】由正方形紙片ABCD的邊長為3，可得∠C=90°，BC=CD=3，由根據(jù)折疊的性質(zhì)得：EG=BE=1，GF=DF，然后設(shè)DF=x，在Rt△EFC中，由勾股定理EF2=EC2+FC2，即可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：∵正方形紙片ABCD的邊長為3， ∴∠C=90°，BC=CD=3， 根據(jù)折疊的性質(zhì)得：EG=BE=1，GF=DF， 設(shè)DF=x， 則EF=EG+GF=1+x，F(xiàn)C=DC﹣DF=3﹣x，EC=BC﹣BE=3

11、﹣1=2， 在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2， 即（x+1）2=22+（3﹣x）2， 解得：x=， ∴DF=，EF=1+=． 故選B． 　 2．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長是（　　） A．2.5 B． C． D．2 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可． 【解答】解：如圖，連接A

12、C、CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3， ∴AC=，CF=3， ∠ACD=∠GCF=45°， ∴∠ACF=90°， 由勾股定理得，AF===2， ∵H是AF的中點(diǎn)， ∴CH=AF=×2=． 故選：B． 　 3．如圖，正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)P是線段CD邊上的動點(diǎn)（與點(diǎn)C，D不重合），∠PBQ=45°，過點(diǎn)A作AE∥BP，交BQ于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．BP?BE=2 B．BP?BE=4 C． = D． = 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】連接AP，作EM⊥PB于M，根據(jù)S△PBE=S△ABP=S正方形ABCD=2即可

13、解決問題． 【解答】解：如圖，連接AP，作EM⊥PB于M． ∵AE∥PB， ∴S△PBE=S△ABP=S正方形ABCD=2， ∴?PB?EM=2， ∵∠EBM=45°，∠EMB=90°， ∴EM=BE， ∴?PB?BE=2， ∴PB?BE=4． 故選B． 　 4．下列命題是假命題的是（　?。? A．四個角相等的四邊形是矩形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形 C．對角線垂直的四邊形是菱形 D．對角線垂直的平行四邊形是菱形 【考點(diǎn)】命題與定理． 【分析】根據(jù)矩形的判定對A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對C、D進(jìn)行判斷． 【解答】解：A、四個角相等的四邊形是矩

14、形，為真命題，故A選項(xiàng)不符合題意； B、對角線相等的平行四邊形是矩形，為真命題，故B選項(xiàng)不符合題意； C、對角線垂直的平行四邊形是菱形，為假命題，故C選項(xiàng)符合題意； D、對角線垂直的平行四邊形是菱形，為真命題，故D選項(xiàng)不符合題意． 故選：C． 　 5．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1、S2，則S1+S2的值為（　?。? A．16 B．17 C．18 D．19 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】由圖可得，S2的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答． 【解答】

15、解：如圖， 設(shè)正方形S1的邊長為x， ∵△ABC和△CDE都為等腰直角三角形， ∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°， ∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD， ∴AC=BC=2CD， 又∵AD=AC+CD=6， ∴CD==2， ∴EC2=22+22，即EC=2； ∴S1的面積為EC2=2×2=8； ∵∠MAO=∠MOA=45°， ∴AM=MO， ∵M(jìn)O=MN， ∴AM=MN， ∴M為AN的中點(diǎn)， ∴S2的邊長為3， ∴S2的面積為3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故選B． 　 6．四邊形A

16、BCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（　?。? A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AD=BC 【考點(diǎn)】矩形的判定． 【分析】四邊形ABCD的對角線互相平分，則說明四邊形是平行四邊形，由矩形的判定定理知，只需添加條件是對角線相等． 【解答】解：可添加AC=BD， ∵四邊形ABCD的對角線互相平分， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵AC=BD，根據(jù)矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形， ∴四邊形ABCD是矩形． 故選：B． 　 7．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點(diǎn)B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是

17、S1、S2的大小關(guān)系是（　　） A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S2 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】由于矩形ABCD的面積等于2個△ABC的面積，而△ABC的面積又等于矩形AEFC的一半，所以可得兩個矩形的面積關(guān)系． 【解答】解：矩形ABCD的面積S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2， 故選B． 　 8．菱形ABCD的一條對角線長為6，邊AB的長為方程y2﹣7y+10=0的一個根，則菱形ABCD的周長為（　?。? A．8 B．20 C．8或20 D．10 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】邊AB

18、的長是方程y2﹣7y+10=0的一個根，解方程求得x的值，根據(jù)菱形ABCD的一條對角線長為6，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得出菱形的邊長，即可求得菱形ABCD的周長． 【解答】解：∵解方程y2﹣7y+10=0得：y=2或5 ∵對角線長為6，2+2＜6，不能構(gòu)成三角形； ∴菱形的邊長為5． ∴菱形ABCD的周長為4×5=20． 故選B． 　 9．如圖：在四邊形ABCD中，E是AB上的一點(diǎn)，△ADE和△BCE都是等邊三角形，點(diǎn)P、Q、M、N分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形MNPQ是（　　） A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【考點(diǎn)】菱形的判定；等邊三角形的性

19、質(zhì)；三角形中位線定理． 【分析】連接四邊形ADCB的對角線，通過全等三角形來證得AC=BD，從而根據(jù)三角形中位線定理證得四邊形NPQM的四邊相等，可得出四邊形MNPQ是菱形． 【解答】解：連接BD、AC； ∵△ADE、△ECB是等邊三角形， ∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°； ∴∠AEC=∠DEB=120°； ∴△AEC≌△DEB（SAS）； ∴AC=BD； ∵M(jìn)、N是CD、AD的中點(diǎn)， ∴MN是△ACD的中位線，即MN=AC； 同理可證得：NP=DB，QP=AC，MQ=BD； ∴MN=NP=PQ=MQ， ∴四邊形NPQM是菱形； 故選C．

20、　 10．菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（　?。? A．內(nèi)角和等于360° B．對角相等 C．對邊平行且相等 D．對角線互相垂直 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案． 【解答】解；∵菱形與矩形都是平行四邊形，A，B，C是平行四邊形的性質(zhì)， ∴二者都具有，故此三個選項(xiàng)都不正確， 由于菱形的對角線互相垂直且平分每一組對角，而矩形的對角線則相等， 故選：D． 　 11．如圖，矩形ABCD的面積為1cm2，對角線交于點(diǎn)O；以AB、AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B，對角線交于點(diǎn)O1；以AB、AO1為鄰邊作平行四邊形A

21、O1C2B…；依此類推，則平行四邊形AO2014C2015B的面積為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分可得下一個圖形的面積是上一個圖形的面積的，然后求解即可． 【解答】解：∵O1為矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)， ∴平行四邊形AOC1B底邊AB上的高等于BC的， ∴平行四邊形AOC1B的面積=×1=， ∵平行四邊形AO1C2B的對角線交于點(diǎn)O2， ∴平行四邊形AOC2B的邊AB上的高等于平行四邊形AOC1B底邊AB上的高的， ∴平行四邊形ABC3O2的面積=××1=， …，

22、 依此類推，平行四邊形ABC2014O2015的面積=cm2． 故選：C． 　 12．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC與BD相交于O，E為DC的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OF⊥OE交BC于F．記d=，則關(guān)于d的正確的結(jié)論是（　　） A．d=5 B．d＜5 C．d≤5 D．d≥5 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【分析】延長EO交AB于G，根據(jù)ASA可證△DOE≌△BOG，可得BG=DE，則d=，即為FG的長；過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI，設(shè)BG=x，用x表示出BF，再根據(jù)函數(shù)的最值即可求解． 【解答】解：延長EO交

23、AB于G，連結(jié)GF． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴OB=OD，AB∥CD， ∴∠OBG=∠OED， 在△DOE與△BOG中， ， ∴△DOE≌△BOG（ASA）， ∴BG=DE， ∴d==FG； 過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI， 設(shè)BG=x，則HG=3﹣x， 則IF：HG=4：3， IF=4﹣x， BF=4+4﹣x=8﹣x， d==， ∵0≤x≤3， ∴當(dāng)x=3時(shí)，d最小為5，即d≥5． 故選：D． 　 13．如圖，小賢為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，B與D兩點(diǎn)之間用一根橡皮筋拉直固定

24、，然后向右扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下列判斷錯誤的是（　?。? A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅? B．BD的長度增大 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，B與D兩點(diǎn)之間用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動框架，由平行四邊形的判定定理知四邊形變成平行四邊形，由于四邊形的每條邊的長度沒變，所以周長沒變；拉成平行四邊形后，高變小了，但底邊沒變，所以面積變小了，BD的長度增加了． 【解答】解：∵矩形框架ABCD，B與D兩點(diǎn)之間用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動框

25、架， ∴AD=BC，AB=DC， ∴四邊形變成平行四邊形， 故A正確； BD的長度增加， 故B正確； ∵拉成平行四邊形后，高變小了，但底邊沒變， ∴面積變小了，故C錯誤； ∵四邊形的每條邊的長度沒變， ∴周長沒變， 故D正確， 故選C． 　 14．在菱形ABCD中，如果∠B=110°，那么∠D的度數(shù)是（　?。? A．35° B．70° C．110° D．130° 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形的對角相等即可求解． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠D=∠B， ∵∠B=110°， ∴∠D=110°． 故選C． 　 15．如圖，在矩形

26、ABCD中，AB=2，BC=3，M為BC中點(diǎn)，連接AM，過D作DE⊥AM于E，則DE的長度為（　?。? A．2 B． C． D． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)，求得AD∥BC，即可得到∠DAE=∠AMB，又由∠DEA=∠B，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，可得△DAE∽△AMB，由△ABM∽△ADE可以得到，根據(jù)勾股定理可以求得AD的長，繼而得到答案． 【解答】解：在矩形ABCD中， ∵M(jìn)是邊BC的中點(diǎn)，BC=3，AB=2， ∴AM===， ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AMB， ∵∠DEA=∠B=90°， ∴△DAE∽△AMB

27、， ∴， 即， ∴DE=． 故選：B． 　 二、解答題（共4小題，滿分0分） 16．某新建火車站站前廣場需要綠化的面積為46000米2，施工隊(duì)在綠化了22000米2后，將每天的工作量增加為原來的1.5倍，結(jié)果提前4天完成了該項(xiàng)綠化工程． （1）該項(xiàng)綠化工程原計(jì)劃每天完成多少米2？ （2）該項(xiàng)綠化工程中有一塊長為20米，寬為8米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），問人行通道的寬度是多少米？ 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用． 【分析】（1）利用原工作時(shí)間﹣現(xiàn)工作時(shí)間=4這

28、一等量關(guān)系列出分式方程求解即可； （2）根據(jù)矩形的面積和為56平方米列出一元二次方程求解即可． 【解答】解：（1）設(shè)該項(xiàng)綠化工程原計(jì)劃每天完成x米2， 根據(jù)題意得：﹣=4 解得：x=2000， 經(jīng)檢驗(yàn)，x=2000是原方程的解， 答：該綠化項(xiàng)目原計(jì)劃每天完成2000平方米； （2）設(shè)人行道的寬度為a米，根據(jù)題意得， （20﹣3a）（8﹣2a）=56 解得：a=2或a=（不合題意，舍去）． 答：人行道的寬為2米． 　 17．把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H（如圖）．試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明

29、你的猜想． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】要證明HG與HB是否相等，可以把線段放在兩個三角形中證明這兩個三角形全等，或放在一個三角形中證明這個三角形是等腰三角形，而圖中沒有這樣的三角形，因此需要作輔助線，構(gòu)造三角形． 【解答】證明：HG=HB， 證法1：連接AH， ∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形， ∴∠B=∠G=90°， 由題意知AG=AB，又AH=AH， ∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）， ∴HG=HB． 證法2：連接GB， ∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形， ∴∠ABC=∠AGF=90°， 由題意知AB=AG， ∴

30、∠AGB=∠ABG， ∴∠HGB=∠HBG， ∴HG=HB． 　 18．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G． （1）求證：AE⊥BF； （2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP到BA的延長線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值； （3）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（1）運(yùn)用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°求證； （2

31、）△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QB求解； （3）先求出正方形的邊長，再根據(jù)面積比等于相似邊長比的平方，求得S△AGN=， 再利用S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN求解． 【解答】（1）證明：如圖1， ∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)， ∴CF=BE， 在Rt△ABE和Rt△BCF中， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∠BAE=∠CBF， 又∵∠BAE+∠BEA=90°， ∴∠CBF+∠BEA=90°， ∴∠BGE=90°， ∴AE⊥BF． （2）解：如圖2，根據(jù)題意得， FP=FC，∠

32、PFB=∠BFC，∠FPB=90° ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF， ∴∠ABF=∠PFB， ∴QF=QB， 令PF=k（k＞0），則PB=2k 在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x， ∴x2=（x﹣k）2+4k2， ∴x=， ∴sin∠BQP===． （3）解：∵正方形ABCD的面積為4， ∴邊長為2， ∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF， ∴AN=AB=2， ∵∠AHM=90°， ∴GN∥HM， ∴=， ∴=， ∴S△AGN=， ∴S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣=， ∴四邊形GHMN的面積是． 　 19．在?ABCD中，過點(diǎn)D作D

33、E⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F 在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF． （1）求證：四邊形BFDE是矩形； （2）若CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分∠DAB． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理；矩形的判定． 【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，可得答案； （2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠DFA=∠FAB，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得∠DAF=∠DFA，根據(jù)角平分線的判定，可得答案． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD． ∵BE

34、∥DF，BE=DF， ∴四邊形BFDE是平行四邊形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四邊形BFDE是矩形； （2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 　 三、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 20．將一張長方形紙條ABCD沿EF折疊后，ED與BF交于G點(diǎn)，若∠EFG=54°，則∠BGE的度數(shù)為　108°　． 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．

35、 【分析】利用翻折的性質(zhì)，得∠DEF=∠GEF；然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，求得∠BGE=∠DEG，∠DEF=∠EFG；最后由等量代換求得∠BGE的度數(shù)． 【解答】解：根據(jù)翻折的性質(zhì)，得 ∠DEF=∠GEF； ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFG（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）； ∠BGE=∠DEG（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）； ∵∠EFG=54°， ∴∠BGE=2∠EFG=108°． 故答案為：108°． 　 21．如圖，在△ABC中，AC=BC=，∠ACB=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動點(diǎn)，則EC+ED的最小值是　?。? 【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題． 【

36、分析】首先確定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算． 【解答】解：過點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′=OC，連接DC′，交AB于E，連接C′B， 此時(shí)DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小． 連接BC′，由對稱性可知∠C′BE=∠CBE=45°， ∴∠CBC′=90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°， ∴BC=BC′=， ∵D是BC邊的中點(diǎn)， ∴BD=， 根據(jù)勾股定理可得：DC′===， 故EC+ED的最小值是． 故答案為：． 　 22．如圖，直線l是矩形ABCD的一條對稱軸，點(diǎn)P是直線l上一點(diǎn)，且使得△

37、PAB和△PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有　5　個． 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì)． 【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個符合條件的點(diǎn)：一是作AB或DC的垂直平分線交l于P；二是在長方形內(nèi)部 在l上作點(diǎn)P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作點(diǎn)P，使PC=DC，AB=PB；三是如圖，在長方形外l上作點(diǎn)P，使AB=BP，DC=PC，同理，在長方形外l上作點(diǎn)P，使AP=AB，PD=DC． 【解答】解：如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P， 如圖，在l上作點(diǎn)P，使PA=AB，PD=DC， 同理，在l上作點(diǎn)P，使PC=DC，AB=PB， 如圖，

38、在長方形外l上作點(diǎn)P，使AB=AP，DC=PD， 同理，在長方形外l上作點(diǎn)P，使AP=AB，PD=DC， 故答案為5． 　 23．如圖，如果邊長為1的等邊△PQR沿著邊長為1的正方形ABCD的外部的邊如圖位置開始順時(shí)針連續(xù)滾動，當(dāng)它滾動121次時(shí)，點(diǎn)P所經(jīng)過的路程是　　． 【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】如圖，等邊△PQR沿著邊長為1的正方形ABCD的外部的邊如圖位置開始順時(shí)針連續(xù)滾動第1次，點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以R為圓心、圓心角為210°、PR為半徑的??；第2次滾動，點(diǎn)P沒有移動；第3次滾動，點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以R為圓心、圓心角為210°、PR為半徑的??；第4次滾動，

39、點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以R為圓心、圓心角為210°、PR為半徑的?。坏?次滾動，點(diǎn)P沒有移動，…4次滾動為一周期． 【解答】解：如圖，點(diǎn)P的運(yùn)動路程為是以R為圓心、圓心角為210°、PR為半徑的弧長，每4次為一周期，則 其運(yùn)動路程為：3××=． 故答案是：． 　 24．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別是6，2，如果用一個2倍放大鏡看菱形ABCD，則∠BAD=　60　°，菱形ABCD的周長=　16　，面積=　24?。? 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【分析】由菱形的對角線互相垂直平分得出菱形的邊長，那么根據(jù)AB=AD=BD=2，得出△ABD是等邊三角形，所以∠BAD=60°，再

40、求出周長=4AB=8，面積=AC×BD=×6×2=6．由于用一個2倍放大鏡看菱形ABCD，得到放大后的菱形與原來的菱形相似，相似比為2：1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AO=AC=3，BO=BD=，且AO⊥BO， ∴AB===2， ∴AB=AD=BD=2， ∴△ABD是等邊三角形， ∴∠BAD=60°， ∴周長=4AB=8，面積=AC×BD=×6×2=6． 如果用一個2倍放大鏡看菱形ABCD，則放大后的菱形與原來的菱形相似，相似比為2：1， 所以∠BAD=60°，菱形ABCD的周長=2×8=16，面積=4×6=24． 故答案為60

41、，16，24． 　 25．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E．若∠CBF=20°，則∠AED等于　65　度． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS證明△ABE與△ADE全等，再利用三角形的內(nèi)角和解答即可． 【解答】解：∵正方形ABCD， ∴AB=AD，∠BAE=∠DAE， 在△ABE與△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE， ∵∠CBF=20°， ∴∠ABE=70°， ∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°， 故答案為：65 　 2016年11月19日