數理統(tǒng)計部分 方差分析與協(xié)方差分析 回歸方程 非參數統(tǒng)計

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1、數理統(tǒng)計部分數理統(tǒng)計部分 方差分析與協(xié)方差分析方差分析與協(xié)方差分析 回回歸方程歸方程 非參數統(tǒng)計非參數統(tǒng)計1. 1. 單因素試驗及有關的基本概念單因素試驗及有關的基本概念 在試驗中，有可能影響試驗指標并且有可在試驗中，有可能影響試驗指標并且有可能加以控制的試驗條件稱為因素。通過試能加以控制的試驗條件稱為因素。通過試驗的設計，在試驗中只安排一個因素有所驗的設計，在試驗中只安排一個因素有所變化、取不同的狀態(tài)或水平，而其余的因變化、取不同的狀態(tài)或水平，而其余的因素都在設計的狀態(tài)或水平下保持不變的試素都在設計的狀態(tài)或水平下保持不變的試驗稱為單因素試驗。驗稱為單因素試驗。 一、單因素方差分析一、單因素方

2、差分析第1頁/共54頁 可設單因素試驗的因素為可設單因素試驗的因素為A，共有，共有A1、A2、Ar等等r個水平、分別安排了個水平、分別安排了n1、n2、nr次重復試驗，其中的第次重復試驗，其中的第i個水平個水平Ai安排了安排了ni次重復試驗，所得到的樣本為次重復試驗，所得到的樣本為Xi1、Xi2、Xini，相應的觀測值為，相應的觀測值為xi1、xi2、xini，式中，式中的的n1+n2+nr= n。 水平水平 觀測值觀測值 A1 x11 x12 x1n1 A2 x21 x22 x2n2 Ar xr1 xr2 xrnr 第2頁/共54頁,injijiixnx11設設 riiirinjijxnnx

3、nxi11111 在單因素試驗中，假設有在單因素試驗中，假設有r r個編號為個編號為i i1 1至至r r的正態(tài)總體，它們分別服從的正態(tài)總體，它們分別服從N(N(i i,2 2) )分布，分布， 第3頁/共54頁當當i及及2未知時，要根據取自這未知時，要根據取自這r個正態(tài)總個正態(tài)總體的體的r個相互獨立且方差相同的樣本檢驗原個相互獨立且方差相同的樣本檢驗原假設假設H0：各：各i(i=1至至r)相等相等，所作的檢驗以，所作的檢驗以及對未知參數的估計稱為及對未知參數的估計稱為方差分析方差分析。 稱為總平均值稱為總平均值 , ,第4頁/共54頁總離均差平方和的分解總離均差平方和的分解對對總總平平均均值

4、值考考慮慮全全體體樣樣本本觀觀測測值值ijx的離均差平方和的離均差平方和 ix,)( rinjijixxSST112,)(rinjijixxSSE112記記第5頁/共54頁結論結論1 1）SST=SSE+SSA； rinjijixxSST112)( rinjiiijixxxx112)()( rinjirinjiijiixxxx112112)()( rinjiiijixxxx112)(第6頁/共54頁 rinjiiijixxxx11)(而而. )()(011 rinjiijiixxxx.SSASSESST第7頁/共54頁結論結論2 2）);(rnSSE22 結論結論3 3）當當H0為真時，為真時

5、， );(122rSSA 結論結論4 4）當當H0為真時，為真時，SSE、SSA相互獨立；相互獨立； 第8頁/共54頁結論結論5 5）當當H0為真時，為真時，時，時，rnSSEMSErSSAMSA,1),(rnrFMSEMSAF1.),(011HrnrFF時拒絕時拒絕當當第9頁/共54頁第10頁/共54頁 例例1.1切胚乳試驗切胚乳試驗用小麥種子進行切胚用小麥種子進行切胚乳試驗，設計分乳試驗，設計分3種處理，同期播種在條件較種處理，同期播種在條件較為一致的花盆內，出苗后每盆選留為一致的花盆內，出苗后每盆選留2株，成熟株，成熟后測量每株粒重后測量每株粒重(單位：單位：g)，得到數據如下：，得到數

6、據如下： 處理處理 未切去胚乳未切去胚乳 切去一半胚乳切去一半胚乳 切去全部胚乳切去全部胚乳 每株粒重每株粒重 21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26第11頁/共54頁第12頁/共54頁方差來源方差來源 A 誤差誤差 總和總和 平方和平方和 6.77223.73230.50自由度自由度 2 21 23均方和均方和 3.39 10.65 F值值 0.32顯著性顯著性 N第13頁/共54頁 例例1.21.2藥劑處理藥劑處理用用4 4種不同的藥劑處種不同的藥劑處理水稻種子，發(fā)芽后觀測到苗高理水稻種

7、子，發(fā)芽后觀測到苗高( (單位：單位：cm)cm)如下：如下： 處理處理 1 2 3 4 苗苗 高高 19, 23, 21, 13 21, 24, 27, 20 20, 18, 19, 15 22, 25, 27, 22第14頁/共54頁data ex;do a=1 to 3;do i=1 to 5 ;input x ;output;end;end;cards;19 23 21 13 21 24 27 20 20 18 19 15 22 25 27 22;proc anova; class a;model x=a;means a/duncan cldiff;run;第15頁/共54頁第16頁/

8、共54頁方差來源方差來源 A 誤差誤差 總和總和 平方和平方和 104 118 222自由度自由度 3 12 15均方和均方和 34.67 9.83 F值值 3.53顯著性顯著性 *第17頁/共54頁二、雙因素方差分析二、雙因素方差分析（一）不考慮交互作用的雙因素方差分析（一）不考慮交互作用的雙因素方差分析1.理論理論 通過試驗的設計，在試驗中只安排通過試驗的設計，在試驗中只安排兩個因素有所變化、取不同的狀態(tài)或兩個因素有所變化、取不同的狀態(tài)或水平，而其他的因素都在設計的狀態(tài)水平，而其他的因素都在設計的狀態(tài)或水平下保持不變的試驗稱為雙因素或水平下保持不變的試驗稱為雙因素試驗。試驗。 第18頁/共

9、54頁 可設雙因素試驗的一個因素為可設雙因素試驗的一個因素為A，共有，共有A、A、A等等r個水平，另一個因素為個水平，另一個因素為B，共有，共有B、B、B等等s個水平。個水平。 這兩個因素的水平互相搭配各安排一次這兩個因素的水平互相搭配各安排一次試驗，其中試驗，其中A因素的因素的A水平與水平與B因素的因素的B水水平搭配安排試驗所得到的樣本為平搭配安排試驗所得到的樣本為X，相應，相應的觀測值為的觀測值為x 第19頁/共54頁2)(xxSSTijij2)(xxxxSSEjiijij2)(xxSSAiij2)(xxSSBjij第20頁/共54頁MSEMSBFB服從 F(s-1,(r-1)(s-1)分

10、布 方差來源平方和自由度均方和 F值顯著性 A B 誤差 總和 SSA SSB SSE SST r-1 s-1(r-1)(s-1) rs-1 MSA MSB MSE FA FBMSEMSAFA服從F(r-1,(r-1)(s-1)分布 第21頁/共54頁2.不考慮交互作用的雙因素方差分析的計算不考慮交互作用的雙因素方差分析的計算第22頁/共54頁data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 5;input x ;output;end;end;cards;53 56 45 52 49 47 50 47 47 53 57 63 54 57 58 45 52 42 41 48;proc

11、anova;class a b;model x=a b;means a b/duncan cldiff;run;第23頁/共54頁第24頁/共54頁第25頁/共54頁第26頁/共54頁ijkjikxxSST2)(ijijkjikxxSSE2)(iijkxxSSA2)(ijjkxxSSB2)(ijijjikxxxxSSAB2)(第27頁/共54頁MSEMSAFA服從F(r-1,rs(m-1)分布 MSEMSBFB服從 F(s-1,rs(m-1) )分布 MSEMSABFAB服從 F(r-1)(s-1),rs(m-1)分布 第28頁/共54頁方差來源平方和自由度均方和 F值顯著性 A B AB 誤

12、差 總和 SSA SSBSSAB SSE SST r-1 s-1 (r-1)(s-1)rs(m-1) rsm-1 MSA MSB MSAB MSE FA FB FAB第29頁/共54頁考慮交互作用的雙因素方差分析考慮交互作用的雙因素方差分析第30頁/共54頁data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 3;do i=1 to 2;input x ;output;end;end;end;cards;58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.849.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.4 60.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.775.8

13、71.5 58.2 51 48.7 41.4;proc anova;class a b;model x=a b a*b;means a b/duncan cldiff;run;第31頁/共54頁第32頁/共54頁第33頁/共54頁第34頁/共54頁三、單因素協(xié)方差分析三、單因素協(xié)方差分析1.理論理論第35頁/共54頁第36頁/共54頁第37頁/共54頁第38頁/共54頁第39頁/共54頁第40頁/共54頁 施用三種肥料的產量矯正后有極顯施用三種肥料的產量矯正后有極顯著的差異著的差異 第41頁/共54頁a/solution;lsmeans a/stderr pdiff;run;第42頁/共54頁

14、第43頁/共54頁 方差來源平方和自由度 均方和 F值 顯著性 A QA r-1 MQA FA B QB s-1 MQB FB 誤差 QErs-r-s MQE 總和 QT rs-2第44頁/共54頁第45頁/共54頁 data ex;do a=1 to 3 ;do b=1 to 5 ;input x y ;output; end; end;cards;8 2.85 10 4.24 12 3.00 11 4.94 10 2.8810 3.14 12 4.50 7 2.75 12 5.84 10 4.0612 3.88 10 3.86 9 2.82 10 4.94 9 2.89;proc glm;

15、class a b ;model y=x a b/solution;lsmeans a b/stderr pdiff;run;第46頁/共54頁第47頁/共54頁 方差來源平方和 自由度 均方和 F值 顯著性 A0.6046 2 0.3023 2.49 N B7.1245 4 1.7811 14.66 * 誤差0.8502 7 0.1215 總和8.5793 13各小區(qū)的產量矯正后沒有顯著的差異，各各小區(qū)的產量矯正后沒有顯著的差異，各品種的產量矯正后有極顯著的差異。品種的產量矯正后有極顯著的差異。第48頁/共54頁 方差來源平方和自由度 均方和 F值 顯著性 A QA r-1 MQA FA B

16、 QB s-1 MQB FB AB QAB(r-1)(s-1) MQAB FAB 誤差 QErs(m-1)-1 MQE 總和 QT rsm-2第49頁/共54頁第50頁/共54頁 方差來源 平方和自由度 均方和 F值顯著性 A277.43485 3 92.4782866.51 * B 2.845259 3 2.845259 0.20 N AB 12.848100 1 4.282700 0.30 N 誤差 99.441171 7 14.205882 A與與B的交互作用矯正后不顯著，促生長劑之間的的交互作用矯正后不顯著，促生長劑之間的差異極顯著，試驗批次間的差異不顯著差異極顯著，試驗批次間的差異不顯著 第51頁/共54頁第52頁/共54頁第53頁/共54頁