《數(shù)學四 數(shù)列、推理與證明 第2講 數(shù)列的求和問題 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)學四 數(shù)列、推理與證明 第2講 數(shù)列的求和問題 文（42頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講數(shù)列的求和問題專題四數(shù)列、推理與證明熱點分類突破真題押題精練熱點分類突破熱點一分組轉化求和有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.例例1(2017屆安徽省合肥市模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S424，S763.(1)求數(shù)列an的通項公式；解答解解an為等差數(shù)列，解答思維升華2( 1),nannnba (2)若 求數(shù)列bn的前n項和Tn.解解22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，2( 1)nannnba 思維升華思維升華在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉化思想.把一
2、般的數(shù)列求和轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構成等差數(shù)列，哪些項構成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式.132log1().nnban(1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列；1312log ( )121(N ),3nnbnn 所以則bn1bn2(n1)12n12.所以數(shù)列bn是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.證明(2)設cnanb2n，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解答解解由(1)知，b2n4n1，則數(shù)列b2n是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列.熱點二錯位相減法求和錯位相減法是
3、在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例例2(2017河南省夏邑一高模擬)已知an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；解答解解設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由a1b12，得a423d，b42q3，S486d，故an3n1，bn2n (nN*).(2)求Tna1b1a2b2anbn的值.解解Tn22522823(3n1)2n， 2Tn222523824(3n1)2n1， ，得Tn2232232332n(3n
4、1)2n13232232332n2(3n1)2n1(43n)2n18，Tn8(3n4)2n1.解答思維升華思維升華思維升華(1)錯位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列.(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減.要注意的是相減后得到部分求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù).(3)為保證結果正確，可對得到的和取n1,2進行驗證.跟蹤演練跟蹤演練2(2017江西省贛州市十四縣(市)聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a27，a3為整數(shù)，且Sn的最大值為S5.(1)求an的通項公式；解答解解由a27，a3為整數(shù)知，等差數(shù)列an的公差d為整數(shù).又SnS5，故a
5、50，a60，因此d2，數(shù)列an的通項公式為an112n(nN*).(2)設bn ，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解答熱點三裂項相消法求和裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于 (其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.例例3(2017屆湖南省郴州市質量檢測)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*)，a33，且Snanan1，在等比數(shù)列bn中，b12，b3a151.(1)求數(shù)列an及bn的通項公式；解答思維升華解解Snanan1，a33，a1a1a2，且(a1a2)a2a33a2，a2，a1a2a33，數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a32a2，即2a2a
6、13，由得a11，a22，ann，2，b14，b316，則bn2n1或bn(2)n1(nN*).思維升華思維升華裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，從而在求和時達到某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式，使之符合裂項相消的條件.解答思維升華思維升華思維升華常用的裂項公式跟蹤演練跟蹤演練3(2017吉林省吉林市普通高中調研)已知等差數(shù)列an的前n和為Sn，公差d0，且a3S542，a1，a4，a13成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；解答解解設數(shù)列an的首項為a1，因為等差數(shù)列an的前n和為Sn，a3S542，a1，a
7、4，a13成等比數(shù)列.又公差d0，所以a13，d2，所以ana1(n1)d2n1.解答則Tnb1b2b3bn真題押題精練真題體驗1.(2017全國)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a33，S410，則_.答案解析12解析解析設等差數(shù)列an的公差為d，則122.(2017天津)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項公式；12解答解解設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因為q0，解得q2，所以bn2n
8、.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項公式為an3n2，數(shù)列bn的通項公式為bn2n.12(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*).12解答解解設數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，得3Tn2434234334n(3n1)4n1(3n2)4n18，12押題預測答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)數(shù)列的通項以及求和是高考重點考查的內容，也是考試大綱中
9、明確提出的知識點，年年在考，年年有變，變的是試題的外殼，即在題設的條件上有變革，有創(chuàng)新，但在變中有不變性，即解答問題的常用方法有規(guī)律可循.121.已知數(shù)列an的通項公式為an ，其前n項和為Sn，若存在MZ，滿足對任意的nN*，都有Sn0)，且4a3是a1與2a2的等差中項.(1)求an的通項公式；解答押題依據(jù)押題依據(jù)錯位相減法求和是高考的重點和熱點，本題先利用an，Sn的關系求an，也是高考出題的常見形式.12押題依據(jù)解解當n1時，S1a(S1a11)，所以a1a，當n2時，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，12故an是首項a1a，公比為a的等比數(shù)列，所以anaan1an.故a2a2，a3a3.由4a3是a1與2a2的等差中項，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，因為a0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，12解答1212所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n， 2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1， 由，得Tn322(22232n)(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1，所以Tn2(2n1)2n1.
數(shù)學四 數(shù)列、推理與證明 第2講 數(shù)列的求和問題 文
