2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.2 定積分學(xué)案 蘇教版選修2-2

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1、 1.5.2　定積分 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解定積分的概念，會(huì)用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì)． 知識(shí)點(diǎn)一　定積分的概念 思考　回顧求曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程的求法，找一下它們的共同點(diǎn)． 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為Δx(Δx＝)，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為x1，x2，…，xi，…，xn.作和______________________________________，如果當(dāng)Δx→0(亦即n→＋∞)時(shí)，Sn→S(常數(shù))，那么稱(chēng)常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a

2、，b]上的定積分，記為：S＝?f(x)dx，其中，f(x)稱(chēng)為_(kāi)_________，[a，b]稱(chēng)為_(kāi)_________，a稱(chēng)為_(kāi)_______，b稱(chēng)為_(kāi)_________． 知識(shí)點(diǎn)二　定積分的幾何意義 思考　定積分和曲邊梯形的面積有何關(guān)系？ 從幾何角度看，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有________，那么定積分?f(x)dx表示由____________所圍成的曲邊梯形的面積．這就是定積分?f(x)dx的幾何意義． 知識(shí)點(diǎn)三　定積分的性質(zhì) 思考　你能根據(jù)定積分的幾何意義解釋?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a

3、?kf(x)dx＝ (k為常數(shù))． 2．?[f1(x)±f2(x)]dx＝ . 3．?f(x)dx＝ (其中a

4、dx； ③－?f(x)dx－?f(x)dx； ④－?f(x)dx＋?f(x)dx. (2)利用定積分的幾何意義計(jì)算?dx.　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)定積分的幾何意義是在x軸上半部，計(jì)算的面積取正值，在x軸下半部計(jì)算的面積取負(fù)值． (2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個(gè)容易求定積分的圖形求面積，要注意分割點(diǎn)要確定準(zhǔn)確．(關(guān)鍵詞：分割) (3)奇、偶函數(shù)在區(qū)間[－a，a]上的定積分 ①若奇函數(shù)y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)，則 ?f(x)dx＝0. ②若偶函數(shù)y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)，

5、 則?f(x)dx＝2?f(x)dx. 跟蹤訓(xùn)練2　利用幾何意義計(jì)算下列定積分： (1)?dx； (2)?(3x＋1)dx； (3)?(x3＋3x)dx. 　 　 　 　 　 　 　 　 類(lèi)型三　定積分的性質(zhì) 例3　計(jì)算?(－x3)dx的值． 　 　 　 　 　 反思與感悟　根據(jù)定積分的性質(zhì)計(jì)算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關(guān)函數(shù)的定積分，再利用函數(shù)的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練3　已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝， 求：(1)?3x3dx

6、；(2)?6x2dx；(3)?(3x2－2x3)dx. 　 1．關(guān)于定積分a＝?(－2)dx的敘述正確的是________．(填序號(hào)) ①被積函數(shù)為y＝2，a＝6； ②被積函數(shù)為y＝－2，a＝6； ③被積函數(shù)為y＝－2，a＝－6； ④被積函數(shù)為y＝2，a＝－6. 2．將曲線y＝ex，x＝0，x＝2，y＝0所圍成的圖形面積寫(xiě)成定積分的形式為_(kāi)_______． 3．?2(x－2)dx＝________. 4．計(jì)算： (2－5sin x)dx. 1．定積分?f(x)dx是一個(gè)和式f(ξi)的極限，是一個(gè)常數(shù)． 2．可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分；對(duì)于

7、一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分． 3．定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡(jiǎn)化定積分運(yùn)算． 提醒：完成作業(yè)　1.5.2 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　兩個(gè)問(wèn)題均可以通過(guò)“分割、以直代曲、作和、逼近”解決，都可以歸結(jié)為一個(gè)特定形式和的極限． Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx　被積函數(shù)　積分區(qū)間　積分下限　積分上限 知識(shí)點(diǎn)二 思考　(1)當(dāng)函數(shù)f(x)≥0時(shí)，定積分?f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b(a

8、)dx等于曲邊梯形面積S的相反數(shù)，即?f(x)dx＝－S. (3)當(dāng)f(x)在區(qū)間[a，b]上有正有負(fù)時(shí)，定積分?f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負(fù))． f(x)≥0　直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝f(x) 知識(shí)點(diǎn)三 思考　直線x＝c把一個(gè)大的曲邊梯形分成了兩個(gè)小曲邊梯形，因此大曲邊梯形的面積S是兩個(gè)小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即S＝S1＋S2. 1．k?f(x)dx 2．?f1(x)dx±?f2(x)dx 3．?f(x)dx＋?f(x)dx 題型探究 例1　解　令f(

9、x)＝x2. (1)分割 在區(qū)間[0,3]上等間隔地插入n－1個(gè)點(diǎn)，把區(qū)間[0,3]分成n等份，其分點(diǎn)為xi＝(i＝1,2，…，n－1)，這樣每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]的長(zhǎng)度Δx＝(i＝1,2，…，n)． (2)以直代曲、作和 令ξi＝xi＝(i＝1,2，…，n)，于是有和式： (ξi)Δx＝()2·＝2＝·n(n＋1)·(2n＋1)＝(1＋)(2＋)． (3)逼近 n→＋∞時(shí)，(1＋)(2＋)→9. 根據(jù)定積分的定義?x2dx＝9. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)分割 將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間(i＝1,2，…，n)，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝. (2)以直代曲、作和

10、在上取點(diǎn)ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)， 于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋， 從而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝ ＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝2＋·＝2＋. (3)逼近 n→＋∞時(shí)，2＋→. 因此?(1＋x)dx＝. 例2　(1)④ (2)解　?dx表示圓心為(2,0)，半徑等于2的圓的面積的，即?dx＝×π×22＝π. 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)在平面上y＝表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以2為半徑的上半圓， 其面積為S＝·π·22＝2π. 由定積分的幾何意義知?dx＝2π. (2)由直線x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示：

11、?(3x＋1)dx表示由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在 x軸上方的面積減去在x軸下方的面積， ∴?(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16. (3)∵y＝x3＋3x為奇函數(shù)， ∴?(x3＋3x)dx＝0. 例3　解　如圖， 由定積分的幾何意義得 ?dx＝＝，?x3dx＝0， 由定積分性質(zhì)得 ?(－x3)dx＝?dx－?x3dx＝. 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)?3x3dx＝3?x3dx＝3(?x3dx＋?x3dx) ＝3×(＋)＝12. (2)?6x2dx＝6?x2dx＝6(?x2dx＋?x2dx) ＝6×(＋)＝126； (3)?(3x2－2x3)dx＝?3x2dx－?2x3dx ＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2× ＝7－＝－. 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1．③　2.?exdx　3.5 4．解　由定積分的幾何意義得 2dx＝(－)×2＝2π. 由定積分的幾何意義得sin xdx＝0. 所以 (2－5sin x)dx＝2dx－5sin xdx＝2π. 9