2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 4.4 單位圓的對(duì)稱(chēng)性與誘導(dǎo)公式(一)學(xué)案 北師大版必修4

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1、 4.4　單位圓的對(duì)稱(chēng)性與誘導(dǎo)公式(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用.2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程.3.能運(yùn)用有關(guān)的誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)　2kπ±α，－α，π±α的誘導(dǎo)公式 思考1　設(shè)α為任意角，則2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的終邊與α的終邊有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 思考2　2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α終邊和單位圓的交點(diǎn)與α的終邊和單位圓的交點(diǎn)有怎樣的對(duì)稱(chēng)關(guān)系？試據(jù)此分析角α與－α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系． 梳理　對(duì)任意角α，有下列關(guān)系式成立： sin(2kπ＋α)＝s

2、in α，　cos(2kπ＋α)＝cos α (1.8) sin(－α)＝－sin α，　cos(－α)＝cos α (1.9) sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α (1.10) sin(π－α)＝sin α，　cos(π－α)＝－cos α (1.11) sin(π＋α)＝－sin α，　cos(π＋α)＝－cos α (1.12) 公式1.8～1.12叫作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式． 這五組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“____________________________”．其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱(chēng)________，符號(hào)則是將α看

3、成________時(shí)原角所在象限的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(hào)． 類(lèi)型一　給角求值問(wèn)題 例1　求下列各三角函數(shù)式的值． (1)cos 210°；(2)sin ； (3)sin(－)；(4)cos(－1 920°)． 反思與感悟　利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟 (1)“負(fù)化正”：用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化． (2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角． (3)“角化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角． (4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值． 跟蹤訓(xùn)練1　求下列各三角函數(shù)式的值． (1)sin 1 320°；　(2)cos. 類(lèi)型二　

4、給值(式)求值問(wèn)題 例2　(1)已知sin(π＋α)＝－0.3，則sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(－α)＝，則cos(＋α)＝________. 反思與感悟　解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住已知角與所求角之間的關(guān)系，從而靈活選擇誘導(dǎo)公式求解，一般可從兩角的和、差的關(guān)系入手分析，解題時(shí)注意整體思想的運(yùn)用． 跟蹤訓(xùn)練2　已知cos＝，則cos＝________. 類(lèi)型三　利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 例3　化簡(jiǎn)下列各式． (1)； (2). 引申探究 若本例(1)改為：(n∈Z)，請(qǐng)化簡(jiǎn)． 反思與感悟　利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，主要是進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，最終達(dá)

5、到角的統(tǒng)一，能求值的要求出值． 跟蹤訓(xùn)練3　化簡(jiǎn)：. 1．sin 585°的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 2．cos(－)＋sin(－)的值為(　　) A．－ B. C. D. 3．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是(　　) A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β 4．sin 750°＝________. 5．化簡(jiǎn)：. 1．明確各誘導(dǎo)公式的作用 誘導(dǎo)公式 作用 公式1.8 將角轉(zhuǎn)化為0～2π之間的角求值 公式1.12 將

6、0～2π內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0～π之間的角求值 公式1.9 將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值 公式1.11 將角轉(zhuǎn)化為0～之間的角求值 2.誘導(dǎo)公式的記憶 這四組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”．其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱(chēng)一致，符號(hào)則是將α看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào)，α看成銳角，只是公式記憶的方便，實(shí)際上α可以是任意角． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn) 思考1　它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表： 相關(guān)角 終邊之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系 2kπ＋α與α 終邊相同 π＋α與α 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) －α與α 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 2π－α與α 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) π－α與α 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

7、 思考2　它們交點(diǎn)間對(duì)稱(chēng)關(guān)系如表： 相關(guān)角 終邊與單位圓的交點(diǎn)間對(duì)稱(chēng)關(guān)系 2kπ＋α與α 重合 π＋α與α 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) －α與α 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 2π－α與α 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) π－α與α 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 設(shè)角α與角－α終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為P和P′，因?yàn)镻和P′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)P和P′的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等且符號(hào)相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 梳理　函數(shù)名不變，符號(hào)看象限　一致　銳角 題型探究 例1　解　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－. (2)sin＝sin(

8、2π＋) ＝sin＝sin(π－) ＝sin＝. (3)sin(－)＝－sin(6π＋) ＝－sin＝－sin(π＋) ＝sin＝. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°) ＝－cos 60°＝－. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°) ＝－sin 60°＝－. 方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－. (2)方法一　cos＝cos ＝cos ＝cos(π＋)＝－cos ＝－. 方法二　cos ＝cos ＝cos＝－cos＝－. 例2　(1)－0.3　(2)－ 跟蹤訓(xùn)練2?。? 例3　解　(1)原式＝ ＝＝1. (2)原式 ＝ ＝ ＝ ＝＝－1. 引申探究 解　當(dāng)n＝2k時(shí)， 原式＝＝1； 當(dāng)n＝2k＋1時(shí)， 原式＝＝1. 綜上，原式＝1. 跟蹤訓(xùn)練3　解　原式 ＝ ＝＝1. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．A　2.C　3.B　4. 5．解　原式＝ ＝ ＝＝1. 7