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1、
3．1 等比數(shù)列(一)
學習目標 1.通過實例，理解等比數(shù)列的概念并學會簡單應用.2.掌握等比中項的概念并會應用.3.掌握等比數(shù)列的通項公式并了解其推導過程．
知識點一 等比數(shù)列的概念
思考 觀察下列4個數(shù)列，歸納它們的共同特點．
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，….
梳理 等比數(shù)列的概念和特點．
(1)如果一個數(shù)列從第____項起，每一項與它的____一項的____都等于________常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的________，通常用字母q表示(q≠0)．
(2)遞
2、推公式形式的定義＝q(n>1)(或＝q，n∈N＋)．
(3)等比數(shù)列各項均________為0.
知識點二 等比中項的概念
思考 在2,8之間插入一個數(shù)，使之成等比數(shù)列．這樣的實數(shù)有幾個？
梳理 等差中項與等比中項的異同，對比如下表：
對比項
等差中項
等比中項
定義
若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫作a與b的等差中項
若a，G，b成________數(shù)列，則G叫作a與b的等比中項
定義式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
個數(shù)
a與b的等差中項唯一
a與b的等比中項有________個，且互為________
備注
任意兩個數(shù)a與b都有等差中項
3、
只有當________時，a與b才有等比中項
知識點三 等比數(shù)列的通項公式
思考 等差數(shù)列通項公式是如何推導的？你能類比推導首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項公式嗎？
梳理 等差數(shù)列{an}首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1.
類型一 證明等比數(shù)列
例1 根據(jù)下面的框圖，寫出數(shù)列的前5項，并建立數(shù)列的遞推公式．這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？
反思與感悟 判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法是利用定義，即＝q(與n無關的常數(shù))．
跟蹤訓練1 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)證明：數(shù)列{an}是
4、等比數(shù)列．
類型二 等比數(shù)列通項公式的應用
命題角度1 方程思想
例2 一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項．
反思與感悟 已知等比數(shù)列{an}的某兩項的值，求該數(shù)列的其他項或求該數(shù)列的通項常用方程思想，通過已知可以得到關于a1和q的兩個方程，從而解出a1和q，再求其他項或通項．
跟蹤訓練2 在等比數(shù)列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
命題角度2 等比數(shù)列的實際應用
例3 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩余的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長？(精確到
5、1年，放射性物質(zhì)衰變到原來的一半所需時間稱為這種物質(zhì)的半衰期)
反思與感悟 等比數(shù)列應用問題，在實際應用問題中較為常見，解題的關鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項a1，項數(shù)n所對應的實際含義．
跟蹤訓練3 某制糖廠2011年制糖5萬噸，如果從2011年起，平均每年的產(chǎn)量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開始超過30萬噸？(保留到個位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079)
類型三 等比中項
例4 若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則的值為( )
A．± B. C．1 D．±1
反思與感悟 (1)任意兩個實數(shù)都有唯一確定的等差中項；(2)只
6、有同號的兩個實數(shù)才有實數(shù)等比中項，且一定有2個．
跟蹤訓練4?。?與－1的等比中項是( )
A．1 B．－1
C．±1 D.
1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
2．若等比數(shù)列的首項為4，末項為128，公比為2，則這個數(shù)列的項數(shù)為( )
A．4 B．8 C．6 D．32
3．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于( )
A．64 B．81 C．128 D．243
4．45和80的等比中項為________．
1．等
7、比數(shù)列的判斷或證明
(1)利用定義：＝q(與n無關的常數(shù))．
(2)利用等比中項：a＝anan＋2(n∈N＋)．
2．兩個同號的實數(shù)a、b才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個(±)，而不是一個()，這是容易忽視的地方．
3．等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四個量，已知其中三個量可求得第四個量．
答案精析
問題導學
知識點一
思考 從第2項起，每項與它的前一項的比是同一個常數(shù)．
梳理 (1)2 前 比 同一 公比
(3)不能
知識點二
思考 設這個數(shù)為G.則＝，G2＝16，G＝±4.所以這樣的數(shù)有2個．
梳理 等比 兩 相反數(shù) ab＞0
8、知識點三
思考 等差數(shù)列通項公式的推導是借助累加消去中間項，等比數(shù)列則可用累乘．根據(jù)等比數(shù)列的定義得
＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)．
將上面n－1個等式的左、右兩邊分別相乘，
得···…·＝qn－1，化簡得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．
當n＝1時，上面的等式也成立．
∴an＝a1qn－1(n∈N＋)．
題型探究
例1 解 若將輸出的數(shù)依次記為a1(即A)，a2，a3，….
由框圖可知，a1＝1，a2＝a1×＝，a3＝a2×＝，a4＝a3×＝，a5＝a4×＝.
于是，可得遞推公式
由于＝，因此這個數(shù)列是等比數(shù)列，其通項公式是an＝n－1.
跟蹤訓練
9、1 (1)解 ∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－.
又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝.
(2)證明 ∵Sn＝(an－1)，
∴Sn＋1＝(an＋1－1)，
兩式相減得an＋1＝an＋1－an，
即an＋1＝－an，
∴數(shù)列{an}是首項為－，公比為－的等比數(shù)列．
例2 解 設這個等比數(shù)列的第1項是a1，公比是q，那么
②÷①，得q＝，將q＝代入①，
得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
綜上，這個數(shù)列的第1項與第2項分別是與8.
跟蹤訓練2 解 (1)由等比數(shù)列的通項公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)設等比數(shù)列的公比為q，
10、那么解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
例3 解 設這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩余量是an，
由條件可得，數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列．
其中a1＝0.84，q＝0.84，
設an＝0.5，則0.84n＝0.5.
兩邊取對數(shù)，得nlg 0.84＝lg 0.5，用計算器算得n≈4.
答 這種物質(zhì)的半衰期大約為4年．
跟蹤訓練3 解 記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為a1，a2，a3，…，an，….則依題意可得a1＝5，＝1.2(n≥2且n∈N＋)，
從而an＝5×1.2n－1，這里an＝30，
故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝＝≈9.85.
故n＝11.
答 從2021年開始，該糖廠年制糖量開始超過30萬噸．
例4 D
跟蹤訓練4 C
當堂訓練
1．C 2.C 3.A 4.－60或60
7
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