2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 3 組合 第2課時(shí) 組合的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修2-3

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1、 第2課時(shí)　組合的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡單實(shí)際問題.2.能解決有限制條件的組合問題． 知識(shí)點(diǎn)　組合應(yīng)用題的解法 1．無限制條件的組合應(yīng)用題的解法步驟為：一、判斷；二、轉(zhuǎn)化；三、求值；四、作答． 2．有限制條件的組合應(yīng)用題的解法 常用解法有：直接法、間接法．可將條件視為特殊元素或特殊位置，一般地按從不同位置選取元素的順序分步，或按從同一位置選取的元素個(gè)數(shù)的多少分類． 類型一　有限制條件的組合問題 例1　去年7月23日，某鐵路線發(fā)生特大交通事故，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名赴事故現(xiàn)場搶救傷員，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：

2、(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ 　 　 　 反思與感悟　(1)解決有約束條件的組合問題與解決有約束條件的排列問題的方法一樣，都是遵循“誰特殊誰優(yōu)先”的原則，在此前提下，采用分類或分步法或用間接法． (2)要正確理解題中的關(guān)鍵詞，如“至少”“至多”“含”“不含”等的確切含義，正確分類，合理分步． (3)要謹(jǐn)防重復(fù)或遺漏，當(dāng)直接法中分類較復(fù)雜時(shí)，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略． 跟蹤訓(xùn)練1　男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1

3、名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名； (2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員； (3)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員． 　 　 　 　 類型二　與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題 例2　如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4. (1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？ (2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？ 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1

4、)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法． (2)在處理幾何問題中的組合問題時(shí)，應(yīng)將幾何問題抽象成組合問題來解決． 跟蹤訓(xùn)練2　空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，其余點(diǎn)無三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為(　　) A．205 B．110 C．204 D．200 類型三　分組、分配問題 命題角度1　不同元素分組、分配問題 例3　有6本不同的書，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？ (1)分成三組，每組分別有1本，2本，3本； (2)分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人

5、1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本； (3)分成三組，每組都是2本； (4)分給甲、乙、丙三人，每人2本． 　 　 　 　 反思與感悟　分組、分配問題的求解策略 常見形式 處理方法 非均勻不編號(hào)分組 n個(gè)不同元素分成m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數(shù)為：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1) 均勻不編號(hào)分組 將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為(其中A為非均勻不編號(hào)分組中的分法數(shù))．如果再有k組均勻組應(yīng)再除以A

6、非均勻編號(hào)分組 n個(gè)不同元素分成m組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A·A 均勻編號(hào)分組 n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為·A 跟蹤訓(xùn)練3　某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則不同的安排方法的種數(shù)為(　　) A．24 B．48 C．96 D．114 命題角度2　相同元素分配問題 例4　將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子， 求下列方法的種數(shù)． (1)每個(gè)盒子都不空； (2)恰有一個(gè)空盒子； (3)恰有兩個(gè)空盒子． 　 　

7、 　 　 反思與感悟　相同元素分配問題的處理策略 (1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”．每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題． (2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象(n≥m)，有C種方法．可描述為n－1個(gè)空中插入m－1塊板． 跟蹤訓(xùn)練4　有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給班號(hào)分別為1,2,3的3個(gè)班． (1)每班至少有1個(gè)名額，有多少種分配方案？ (2)每班至少有2個(gè)名額，有多少種分配方案？ (3)每班的名額不能少于其班號(hào)數(shù)，有

8、多少種分配方案？ (4)可以允許某些班級(jí)沒有名額，有多少種分配方案？ 　 　 　 　 　 1．從5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有(　　) A．70種 B．80種 C．100種 D．140種 2．某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法共有(　　) A．210種 B．420種 C．56種 D．22種 3．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課

9、程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有(　　) A．36種 B．48種 C．96種 D．192種 4．直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有(　　) A．25個(gè) B．36個(gè) C．100個(gè) D．225個(gè) 5．要從12人中選出5人參加一次活動(dòng)，其中A，B，C三人至多兩人入選，則有________種不同選法． 1．無限制條件的組合應(yīng)用題的解題步驟 (1)判斷．(2)轉(zhuǎn)化．(3)求值．(4)作答． 2．有限制條件的組合應(yīng)用題的分類 (1)“含”與

10、“不含”問題：這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”．若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法．解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)． (2)幾何中的計(jì)算問題：在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決． (3)分組、分配問題：分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因元素不同

11、，仍然是可區(qū)分的． 答案精析 題型探究 例1　解　(1)分兩步：首先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C種選法，所以共有CC＝90(種)抽調(diào)方法． (2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法， 方法一　(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類： ①選2名外科專家，共有CC種選法； ②選3名外科專家，共有CC種選法； ③選4名外科專家，共有CC種選法． 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 CC＋CC＋CC＝185(種)抽調(diào)方法． 方法二　(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C種選法，若選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒有外科專家參加，

12、有C種選法，所以共有 C－CC－C＝185(種)抽調(diào)方法． (3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”和“有2名”三種情況，分類解答． ①?zèng)]有外科專家參加，有C種選法； ②有1名外科專家參加，有CC種選法； ③有2名外科專家參加，有CC種選法． 所以共有C＋CC＋CC＝115(種)抽調(diào)方法． 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C種選法；第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C種選法，故共有C·C＝120(種)選法． (2)方法一　(直接法)：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·

13、C＝246(種)選法． 方法二　(間接法)：不考慮條件，從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有C－C＝246(種)． (3)當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人選法任意，共有C種選法；不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故不選女隊(duì)長時(shí)共有C－C種選法．所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C＋C－C＝191(種)． 例2　解　(1)方法一　可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(個(gè))． 方法二　可作三角形C－C＝116(個(gè))， 其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有C＋C·C＋C＝36(個(gè))． (2)可作出四邊形C＋C·C＋

14、C·C＝360(個(gè))． 跟蹤訓(xùn)練2　A 例3　解　(1)分三步：先選一本有C種選法，再從余下的5本中選兩本有C種選法，最后余下的三本全選有C種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，分配方式共有C·C·C＝60(種)． (2)由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在(1)問的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問題．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360(種)． (3)先分三組，有CCC種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書為A，B，C，D，E，F(xiàn)，若第一組取了A，B，第二組取了C，D，第三組取了E，F(xiàn)，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但CCC種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，E

15、F，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況只能作為一種分法，故分配方式有＝15(種)． (4)在(3)的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方式·A＝90(種)． 跟蹤訓(xùn)練3　D 例4　解　(1)先把6個(gè)相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板，有C＝10(種)． (2)恰有一個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有C種插法，故共有C·C

16、＝40(種)． (3)恰有兩個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行． 先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙各插一塊隔板，有C種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒． ①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子， 如||00||0000|，有C種插法． ②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|||0000|，有C種插法． 故共有C·(C＋C)＝30(種)． 跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排，相鄰名額之間形成9個(gè)空隙，在9個(gè)空隙中選2個(gè)位置插入隔板，可把名額分成3份，對(duì)應(yīng)地分給3個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法，共有C＝3

17、6(種)分法．下圖是其中一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是2個(gè)、5個(gè)、3個(gè)． (2)因?yàn)橐竺堪嘀辽?個(gè)名額，和第(1)小問中的要求不一樣，可以先從10個(gè)名額中拿出3個(gè)，分別給各班1個(gè)名額，還剩下7個(gè)名額，此時(shí)題目轉(zhuǎn)化為7個(gè)名額分給3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，按照第(1)小問的方法，可得有C＝15(種)分法．下圖是其中的一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是3＋1＝4(個(gè))，2＋1＝3(個(gè))，2＋1＝3(個(gè))． (3)2班、3班分別先給1個(gè)和2個(gè)名額，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為7個(gè)名額分給3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，按照解第(1)小問的方法，可得有C＝15(種)分法．下圖是其中一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是0＋3＝3(個(gè))，2＋1＝3(個(gè))，2＋2＝4(個(gè))． (4)增加3個(gè)名額，使得每個(gè)班級(jí)至少有1個(gè)名額，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為13個(gè)名額分給3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，按照第(1)小問的方法，可得有C＝66(種)分法．下圖是其中一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是3－1＝2(個(gè))，6－1＝5(個(gè))，4－1＝3(個(gè))． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．A　2.A　3.C　4.D　5.756 8