2018年秋高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修1-2

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1、 第三課 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 [核心速填] 1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及分類 (1)代數(shù)形式為z=a+bi(a,b∈R),其中實(shí)部為a,虛部為b; (2)共軛復(fù)數(shù)為z=a-bi(a,b∈R). (3)復(fù)數(shù)的分類 ①若 z=a+bi(a,b∈R)是實(shí)數(shù),則z與的關(guān)系為z=. ②若z=a+bi(a,b∈R)是純虛數(shù),則z與的關(guān)系為z+=0(z≠0). 2.與復(fù)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題 (1)復(fù)數(shù)相等的充要條件 a+bi=c+di?(a,b,c,d∈R). (2)復(fù)數(shù)的模 復(fù)數(shù)z=a+bi的模|z|=,且z·=|z|2=a2+b2. (3)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,若兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a1+b

2、1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R) ①加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i; ②減法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i; ③乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i; ④除法:==+i(z2≠0); 3.復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi一一對(duì)應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)Z(a,b),也一一對(duì)應(yīng)著一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的向量. (2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義 若復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量1、2不共線,則復(fù)數(shù)z1+z2是以1、2為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). (3)復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)z1-z2是連接向

3、量1、2的終點(diǎn),并指向Z1的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). [題型探究] 復(fù)數(shù)的概念  當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí),z=a2-2a+(a2-3a+2)i. (1)為實(shí)數(shù);(2)為純虛數(shù); (3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限內(nèi); (4)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y=0. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662162】 [解] (1)z∈R?a2-3a+2=0,解得a=1或a=2. (2)z為純虛數(shù), 即故a=0. (3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,則 ∴∴a<0,或a>2. ∴a的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞). (4)依題設(shè)(a2-2a)-(a2-3a+2)=0,∴a=2. [規(guī)律方法] 處理復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的兩

4、個(gè)注意點(diǎn) (1)當(dāng)復(fù)數(shù)不是a+bi(a,b∈R)的形式時(shí),要通過(guò)變形化為a+bi的形式,以便確定其實(shí)部和虛部. (2)求解時(shí),要注意實(shí)部和虛部本身對(duì)變量的要求,否則容易產(chǎn)生增根. [跟蹤訓(xùn)練] 1.(1)若復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位),是z的共軛復(fù)數(shù),則z2+2的虛部為(  ) A.0       B.-1 C.1 D.-2 (2)設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a-(a∈R)是純虛數(shù),則a的值為(  ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 (1)A (2)D [(1)因?yàn)閦=1+i,所以=1-i,所以z2+2=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.故選A.

5、(2)因?yàn)閍-=a-=a-=(a-3)-i,由純虛數(shù)的定義,知a-3=0,所以a=3.] 復(fù)數(shù)的幾何意義  (1)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知復(fù)數(shù)z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它們?cè)趶?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.若=2+,則a=________,b=________. [解析] (1)== =-+i,∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限. (2)∵=2+ ∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi) 即∴] [答案] (1)B (2)-3?。?0 [跟蹤訓(xùn)練]

6、 2.若i為虛數(shù)單位,如3-1圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z,則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是(  ) 圖3-1 A.E B.F C.G D.H D [∵點(diǎn)Z(3,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z, ∴z=3+i,====2-i,該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,-1),即H點(diǎn).] 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算  (1) 已知是z的共軛復(fù)數(shù),若z·i+2=2z,則z=(  ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i (2)已知復(fù)數(shù)z1=2-3i,z2=,則=(  ) A.-4+3i B.3+4i C.3-4i D.4-3i (1)[解析] 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,代入

7、z·i+2=2z中得,(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),∴2+(a2+b2)i=2a+2bi, 由復(fù)數(shù)相等的條件得, ∴∴z=1+i,故選A. (2)== =-=4-3i. [答案] (1)A (2)D 母題探究:1.本例題(1)中已知條件不變,則=________. i [由解析知z=1+i,所以=1-i. ==i.] 2.本例題(2)中已知條件不變,則z1z2=__________. -i [z1z2= == ==-i.] [規(guī)律方法] (1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算類似; (2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,將分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),最后整

8、理成a+bi(a,b∈R)的結(jié)構(gòu)形式. (3)利用復(fù)數(shù)相等,可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化. 轉(zhuǎn)化與化歸思想  已知z是復(fù)數(shù),z+2i,均為實(shí)數(shù),且(z+ai)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662164】 [解] 設(shè)z=x+yi(x,y∈R), 則z+2i=x+(y+2)i為實(shí)數(shù),∴y=-2. 又==(x-2i)(2+i) =(2x+2)+(x-4)i為實(shí)數(shù), ∴x=4.∴z=4-2i,又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限. ∴,解得2

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