5、依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件．作差比較法證明的一般步驟是：①作差；②恒等變形；③判斷結(jié)果的符號(hào)；④下結(jié)論．其中，變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法．
[例1] 設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求證：＋≥(a＋b)2.
[證明] ∵＋－(a＋b)2
＝－
＝
＝＝≥0，
∴＋≥(a＋b)2.
綜合法證明不等式
綜合法證明不等式的思維方向是“順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件
6、(由因?qū)Ч?，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立．
綜合法證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論．證明時(shí)要注意的是：作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯(cuò)誤，如一些帶等號(hào)的不等式，應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件，即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取等號(hào)”的理由要理解掌握．
[例2] 已知a，b，c為△ABC的三條邊，求證：
a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)
[證明] 設(shè)a，b兩邊的夾角為θ，則由余弦定理：
cos θ＝
∵因?yàn)?<θ<π，
∴cos θ<1.
∴<1.
即a2＋b2－c2<2ab
7、.
同理可證：b2＋c2－a2<2bc，
c2＋a2－b2<2ac.
將上面三個(gè)同向不等式相加，即得：
a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．
分析法證明不等式
分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論．分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即由待證的不等式出發(fā)， 逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式．
當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí)，可考慮用分析法去證明，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效．
分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч?/p>
8、，逐步推導(dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法．一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用．
[例3] 已知a>b>0.求證：－<.
[證明] 要證－<
只需證：<＋，
只需證：()2<(＋)2，
只需證：ab>0.上式顯然成立，
∴原不等式成立．即－<.
反證法證明不等式
用直接法證明不等式困難的時(shí)候，可考慮用間接證法予以證明，反證法是間接證法的一種．
假設(shè)欲證的命題是“若A則B”，我們可以通過(guò)否定來(lái)達(dá)到肯
9、定B的目的，如果只有有限多種情況，就可用反證法．
用反證法證明不等式，其實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出與已知條件或公理或定理或某些性質(zhì)相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立．
[例4] 已知：在△ABC中，∠CAB>90°，D是BC的中點(diǎn)，求證：ADBC，因?yàn)锽D＝DC＝BC，
所以在△ABD中，AD>BD，
從而∠B>∠BAD.
同理∠C>∠CAD.
10、所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD.
即∠B＋∠C>∠A.
因?yàn)椤螧＋∠C＝180°－∠A，
所以180°－∠A>∠A即∠A＜90°，與已知矛盾，
故AD＞BC不成立．
由(1)(2)知AD＜BC成立.
放縮法證明不等式
放縮法是在順推法邏輯推理過(guò)程中，有時(shí)利用不等式關(guān)系的傳遞性，作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，證明比原不等式更強(qiáng)的不等式來(lái)代替原不等式的一種證明方法．
放縮法的實(shí)質(zhì)是非等價(jià)轉(zhuǎn)化，放縮沒(méi)有一定的準(zhǔn)則和程序，需按題意適當(dāng)放縮，否則達(dá)不到目的．
[例5] 已知|x|<，|y|<，|z|<，
求證：|x＋2y－3z|
11、，
∴|x＋2y－3z|＝|x＋2y＋(－3z)|
≤|x|＋|2y|＋|－3z|＝|x|＋2|y|＋3|z|
<＋2×＋3×＝?.
∴原不等式成立．
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P49
(時(shí)間：90分鐘，總分120分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．用分析法證明不等式的推論過(guò)程一定是( )
A．正向、逆向均可進(jìn)行正確的推理
B．只能進(jìn)行逆向推理
C．只能進(jìn)行正向推理
D．有時(shí)能正向推理，有時(shí)能逆向推理
解析：在用分析法證明不等式
12、時(shí)，是從求證的不等式出發(fā)，逐步探索使結(jié)論成立的充分條件即可，故只需能進(jìn)行逆向推理即可．
答案：B
2．設(shè)a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，則( )
A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b
C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)≥b
解析：∵a－b＝(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝4m2＋n2－4mn＝(2m－n)2≥0，∴a≥b.
答案：D
3．已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，ab＞0，－＜－，則下列不等式中成立的是( )
A．bc＜ad B．bc＞ad
C.＞ D.＜
解析：將－＜－兩邊同乘以正數(shù)ab，得－bc＜－ad，
所以bc＞ad.
答案：B
13、4．用反證法證明命題“如果a＞b，那么> ”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是( )
A.＝ B.<
C.＝且< D.＝或<
解析：與大小包括>，＝，<三方面的關(guān)系，所以>的反設(shè)應(yīng)為＝或<.
答案：D
5．(山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根
解析：至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒(méi)有實(shí)根，故做的假設(shè)是“方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根”．
答案：A
6．
14、使不等式＋＞1＋成立的正整數(shù)a的最大值為( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：用分析法可證a＝12時(shí)不等式成立，a＝13時(shí)不等式不成立．
答案：C
7．設(shè)a，b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，則( )
A．P>Q B．P≥Q
C．P0.∴P>Q.
答案：A
8．已知a，b為非零實(shí)數(shù)，則使不等式：＋≤－2成立的一個(gè)充分而不必要條件是( )
A．a(chǎn)b＞0 B．a(chǎn)b＜0
C．a(chǎn)＞0，b＜0 D．a(chǎn)＞0，b＞0
解析：
15、因?yàn)榕c同號(hào)，由＋≤－2，知＜0，＜0，即ab＜0，又若ab＜0，則＜0，＜0，
所以＋
＝－
≤－2 ＝－2，
綜上，ab＜0是＋≤－2成立的充要條件，
所以a＞0，b＜0是＋≤－2成立的一個(gè)充分而不必要條件．
答案：C
9．如果loga3>logb3，且a＋b＝1，那么( )
A．00，b>0，又a＋b＝1，故a<1，b<1，利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)：當(dāng)?shù)讛?shù)小于1大于0時(shí)，底數(shù)越小，圖像越接近x軸，
∴alogb3?－>0?>
16、0，
由00，
∴l(xiāng)og3b－log3a>0，log3b>log3a.故b>a.
答案：A
10．若a>b>0，下列各式中恒成立的是( )
A.> B.>
C．a(chǎn)＋>b＋ D．a(chǎn)a>bb
解析：利用不等式性質(zhì)得，當(dāng)a>b>0時(shí)，<，由此可知，C不恒成立；當(dāng)0b時(shí)，可知aa
17、線上)
11．用反證法證明“在△ABC中，若∠A是直角，則∠B一定是銳角”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________________．
解析：“∠B一定是銳角”的否定是“∠B不是銳角”．
答案：∠B不是銳角
12．如果a＋b>a＋b，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)該滿足的條件是________．
解析：由知a≥0，知b≥0，而a＋b≠a＋b，知b≠a.此時(shí)a＋b－(a＋b)＝(－)2(＋)>0，不等式成立．
答案：a≥0，b≥0，a≠b
13．記A＝＋＋＋…＋，則A與1的大小關(guān)系為_(kāi)_______．
解析：∵211－1＝210＋(210－1)，
∴A是210項(xiàng)之和．
∵A＝＋＋＋…＋＜＋＋…＋＝×210＝
18、1.
答案：A<1
14．已知a＞1，alg b＝100，則lg(ab)的最小值是________．
解析：對(duì)alg b＝100兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg alg b＝2，
∵lg alg b≤2＝2，
∴l(xiāng)g(ab)≥2.
當(dāng)且僅當(dāng)lg a＝lg b＝時(shí)，等號(hào)成立．
答案：2
三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
15．(本小題滿分12分)設(shè)|a|＜1，|b|＜1，求證：|a＋b|＋|a－b|＜2.
證明：當(dāng)a＋b與a－b同號(hào)時(shí)，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|＜2；
當(dāng)a＋b與a－b異號(hào)時(shí)，|a＋b|
19、＋|a－b|＝|a＋b－(a－b)|＝2|b|＜2.
∴|a＋b|＋|a－b|＜2.
16．(本小題滿分12分)求證：≥3.
證明：＝2＋
＝＋＋≥3＝3.
17．(本小題滿分12分)已知a2＋b2＋c2＝1，
求證：－≤ab＋bc＋ca≤1.
證明：因?yàn)?a＋b＋c)2≥0，
所以a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥0.
又因?yàn)閍2＋b2＋c2＝1，所以ab＋bc＋ca≥－.
因?yàn)閍b≤，bc≤，ac≤，
所以ab＋bc＋ca≤＋＋
＝a2＋b2＋c2＝1.
所以－≤ab＋bc＋ca≤1.
18．(本小題滿分14分)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 中的a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．
求證：方程f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．
證明：假設(shè)方程f(x)＝0有一個(gè)整數(shù)根k，則ak2＋bk＋c＝0.①
∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數(shù)，則a＋b必為偶數(shù)．
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k＝2n(n∈Z)，則
ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必為偶數(shù)．
ak2＋bk＋c必為奇數(shù)，與①式矛盾；
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1(n∈Z)，
則ak2＋bk＝(2n＋1)(2na＋a＋b)為一奇數(shù)與一偶數(shù)之積，必為偶數(shù)，也與①式相矛盾，
所以假設(shè)不正確，即方程f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．
11
2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收同步配套教學(xué)案 新人教A版選修4-5
