《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計(jì)案例階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修1-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計(jì)案例階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修1-2(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第一課 統(tǒng)計(jì)案例
[核心速填]
1.線性回歸方程
對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為==,=-,其中(,)稱為樣本點(diǎn)的
中心.
2.線性回歸模型為y=bx+a+e,其中e為隨機(jī)誤差.
3.殘差i=y(tǒng)i-i.
4.刻畫(huà)回歸效果的方法
(1)殘差平方和法
殘差平方和(yi-)2越小,模型擬合效果越好.
(2)殘差圖法
殘差圖形成的帶狀區(qū)域的寬度越窄,模型擬合效果越好.
(3)相關(guān)指數(shù)R2法
R2越接近1,模型擬合效果越好.
5.K2公式
K2=,其中n=a+b+
2、c+d.
[題型探究]
線性回歸分析
某城市理論預(yù)測(cè)2014年到2018年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示:
年份201x(年)
0
1
2
3
4
人口數(shù)y(十萬(wàn))
5
7
8
11
19
(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+;
(3)據(jù)此估計(jì)2022年該市人口總數(shù).
【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662025】
[解] (1)散點(diǎn)圖如圖:
(2)因?yàn)椋剑?,
==10,
0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132,
02+12+22+32+42=30,
所以==3.2,
=-=3.6
3、.
所以線性回歸方程為=3.2x+3.6.
(3)令x=8,則=3.2×8+3.6=29.2,
故估計(jì)2020年該城市人口總數(shù)為29.2(十萬(wàn)).
[規(guī)律方法] 解決回歸分析問(wèn)題的一般步驟
(1)畫(huà)散點(diǎn)圖.根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖.
(2)判斷變量的相關(guān)性并求回歸方程.通過(guò)觀察散點(diǎn)圖,直觀感知兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系;在此基礎(chǔ)上,利用最小二乘法求回歸系數(shù),然后寫(xiě)出回歸方程.
(3)回歸分析.畫(huà)殘差圖或計(jì)算R2,進(jìn)行殘差分析.
(4)實(shí)際應(yīng)用.依據(jù)求得的回歸方程解決實(shí)際問(wèn)題.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.在一段時(shí)間內(nèi),某種商品的價(jià)格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為:
x(元)
14
4、
16
18
20
22
y(件)
12
10
7
5
3
且知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系,求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并說(shuō)明擬合效果的好壞.
[解] =×(14+16+18+20+22)=18,
=×(12+10+7+5+3)=7.4,
=142+162+182+202+222=1 660,
=122+102+72+52+32=327,
iyi=14×12+16×10+18×7+20×5+22×3=620,
所以===-1.15,
所以=7.4+1.15×18=28.1,
所以y對(duì)x的線性回歸方程為=-1.15x+28.1,
列出殘差表為
yi-i
0
5、
0.3
-0.4
-0.1
0.2
yi-
4.6
2.6
-0.4
-2.4
-4.4
所以(yi-i)2=0.3,
(yi-)2=53.2,
R2=1-≈0.994.
所以R2≈0.994,擬合效果較好.
獨(dú)立性檢驗(yàn)
戶外運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為一種時(shí)尚運(yùn)動(dòng),某單位為了了解員工喜歡戶外運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān),決定從本單位全體650人中采用分層抽樣的辦法抽取50人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,得到了如下列聯(lián)表:
喜歡戶外運(yùn)動(dòng)
不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)
總計(jì)
男性
5
女性
10
總計(jì)
50
已知在這50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是
6、.
(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)求該公司男、女員工各多少人;
(3)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下能否認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)?并說(shuō)明你的理由.
下面的臨界值表僅供參考:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(參考公式:K2=,其中
n=a+b+c+d)
【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662026】
[解] (1)因?yàn)樵谌?0人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是,
所以喜歡戶
7、外運(yùn)動(dòng)的男女員工共30人,其中男員工20人,列聯(lián)表補(bǔ)充如下:
喜歡戶外運(yùn)動(dòng)
不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)
總計(jì)
男性
20
5
25
女性
10
15
25
總計(jì)
30
20
50
(2)該公司男員工人數(shù)為25÷50×650=325(人),則女員工有325人.
(3)K2的觀測(cè)值k=≈8.333>7.879,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).
[規(guī)律方法] 獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的求解策略
(1)等高條形圖法:依據(jù)題目信息畫(huà)出等高條形圖,依據(jù)頻率差異來(lái)粗略地判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性.
(2)K2統(tǒng)計(jì)量法:通過(guò)公式
先計(jì)算觀測(cè)值k,再與
8、臨界值表作比較,最后得出結(jié)論.
[跟蹤訓(xùn)練]
2.研究人員選取170名青年男女大學(xué)生的樣本,對(duì)他們進(jìn)行一種心理測(cè)驗(yàn).發(fā)現(xiàn)有60名女生對(duì)該心理測(cè)驗(yàn)中的最后一個(gè)題目的反應(yīng)是:作肯定的有22名,否定的有38名;男生110名在相同的項(xiàng)目上作肯定的有22名,否定的有88名.問(wèn):性別與態(tài)度之間是否存在某種關(guān)系?分別用條形圖和獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷.
[解] 建立性別與態(tài)度的2×2列聯(lián)表如下:
肯定
否定
總計(jì)
男生
22
88
110
女生
22
38
60
總計(jì)
44
126
170
根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù),可求出男生中作肯定態(tài)度的頻率為=0.2,女生中作肯定態(tài)度
9、的頻率為≈0.37.作等高條形圖如圖,其中兩個(gè)深色條形的高分別表示男生和女生中作肯定態(tài)度的頻率,比較圖中深色條形的高可以發(fā)現(xiàn),女生中作肯定態(tài)度的頻率明顯高于男生中作肯定態(tài)度的頻率,因此可以認(rèn)為性別與態(tài)度有關(guān)系.
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到K2的觀測(cè)值
k=≈5.622>5.024.
因此,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為性別和態(tài)度有關(guān)系.
轉(zhuǎn)化與化歸思想
某種書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(元)與印刷冊(cè)數(shù)x(千冊(cè))有關(guān),經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下:
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2
10、.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
檢驗(yàn)每?jī)?cè)書(shū)的成本費(fèi)y與印刷冊(cè)數(shù)的倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系.如有,求出y對(duì)x的回歸方程.
思路探究:令z=,使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為z與y的關(guān)系,然后用回歸分析的方法,求z與y的回歸方程,進(jìn)而得出x與y的回歸方程.
[解] 把置換為z,則有z=,
從而z與y的數(shù)據(jù)為
z
1
0.5
0.333
0.2
0.1
0.05
0.033
0.02
0.01
0.005
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
可作出散點(diǎn)圖(圖
11、略),從圖可看出,變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近,因此可以用線性回歸方程來(lái)擬合.
=×(1+0.5+0.333+0.2+0.1+0.05+0.033+0.02+0.01+0.005)=0.225 1,
=×(10.15+5.52+4.08+…+1.15)=3.14,
=12+0.52+0.3332+…+0.012+0.0052≈1.415,
iyi=1×10.15+0.5×5.52+…+0.005×1.15
=15.221 02,
所以=≈8.976,
=-=3.14-8.976×0.225 1≈1.120,
所以所求的z與y的回歸方程為=8.976z+1.120.
又因
12、為z=,所以=+1.120.
[規(guī)律方法] 非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題求解步驟.
(1)確定變量,作出散點(diǎn)圖.
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖,選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).
(3)變量置換,通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題,并求出線性回歸方程.
(4)分析擬合效果:通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫(huà)殘差圖來(lái)判斷擬合效果.
(5)根據(jù)相應(yīng)的變換,寫(xiě)出非線性回歸方程.
[跟蹤訓(xùn)練]
3.在某化學(xué)試驗(yàn)中,測(cè)得如下表所示的6對(duì)數(shù)據(jù),其中x(單位:min)表示化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行的時(shí)間,y(單位:mg)表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量.
x/min
1
2
3
4
5
6
y/mg
39.8
32.2
13、
25.4
20.3
16.2
13.3
(1)設(shè)y與x之間具有關(guān)系y=cdx,試根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)c和d的值(精確到0.001);
(2)估計(jì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10 min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量(精確到0.1).
【導(dǎo)學(xué)號(hào):48662027】
[解] (1)在y=cdx兩邊取自然對(duì)數(shù),令ln y=z,ln c=a,lnd=b,則z=a+bx.由已知數(shù)據(jù),得
x
1
2
3
4
5
6
y
39.8
32.2
25.4
20.3
16.2
13.3
z
3.684
3.472
3.235
3.011
2.785
2.588
由公式得≈3.905 5,≈-0.221 9,則線性回歸方程為=3.905 5-0.221 9x.而ln c=3.905 5,lnD=-0.221 9,
故c≈49.675,d≈0.801,
所以c,d的估計(jì)值分別為49.675和0.801.
(2)當(dāng)x=10時(shí),由(1)所得公式可得y≈5.4(mg).
所以,化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10 min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量約為5.4 mg.
7