2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式教學案 新人教A版必修第一冊

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1、2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 (教師獨具內容) 課程標準：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關系.3.熟練掌握一元二次不等式的兩種解法.4.能從實際情境中抽象出一元二次不等式，并通過解一元二次不等式解決實際問題． 教學重點：1.一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)之間的關系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解決實際問題． 教學難點：1.一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)之間的關系.2.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型. 【知識導學】 知識點一　　　一元二次不等式的概

2、念 一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0)的不等式都是一元二次不等式． 知識點二　　　二次函數(shù)的零點 一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點． 知識點三　　　一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集． 知識點四　　　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系 知識點五　　　利用不等式解決實際問

3、題的一般步驟 (1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)； (2)由題中給出的不等關系，列出關于未知數(shù)的不等式(組)； (3)求解所列出的不等式(組)； (4)結合題目的實際意義確定答案． 【新知拓展】 1．解一元二次不等式的方法與步驟 (1)解一元二次不等式的常用方法 ①圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟： (ⅰ)化不等式為標準形式： ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； (ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對應函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象簡圖； (ⅲ)由圖象得出不等式的

4、解集． ②代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方法求解． 當m0，則可得x>n或x0，a<0，a＝0. ②關于不等式對應的方程根的討論：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ<0)． ③關于不等式對應的方程根的大小的討論：x1>x2，x1＝x2，x

5、1

6、作出問題結論：根據(jù)(3)中得到的理論參數(shù)的值，結合題目要求作出問題的結論． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)一元二次方程的根就是相應函數(shù)的圖象與x軸的交點．(　　) (2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．(　　) (3)設二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩解為x1，x2(x10的解集不可能為{x|x1

7、＋3>0的解集為________． (2)不等式－x2－3x＋4>0的解集為________． (3)當a>0時，若ax2＋bx＋c>0的解集為R，則Δ應滿足的條件為________． (4)已知不等式ax2－bx＋2<0的解集為{x|1

8、的解集： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)－x2＋8x－3>0； (3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－≥0； (5)－x2＋3x－5>0；(6)－2x2＋3x－2<0. [解]　(1)因為Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－，又二次函數(shù)y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為. (2)因為Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有兩個不等實根x1＝4－，x2＝4＋，又二次函數(shù)y＝－x2＋8x－3的圖象開口向下，所以原不等式的解集為{x|4－

9、原不等式可化為(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤5}． (4)原不等式可化為2≤0，所以原不等式的解集為. (5)原不等式可化為x2－6x＋10<0，因為Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集為?. (6)原不等式可化為2x2－3x＋2>0，因為Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集為R. 金版點睛 解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 (1)通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數(shù)為正． (2)對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式． (3)求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根． (4

10、)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)的草圖． (5)根據(jù)圖象寫出不等式的解集． 　求下列不等式的解集： (1)x2－3x＋1≤0；(2)3x2＋5x－2>0； (3)－9x2＋6x－1<0；(4)x2－4x＋5>0； (5)2x2＋x＋1<0. 解　(1)因為Δ＝9－4＝5>0，所以方程x2－3x＋1＝0有兩個不等實數(shù)根x1＝，x2＝，所以原不等式的解集為≤x≤. (2)原不等式可化為(3x－1)(x＋2)>0，所以原不等式的解集為. (3)原不等式可化為(3x－1)2>0，所以原不等式的解集為. (4)因為Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集為R.

11、 (5)因為Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集為?. 題型二 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 例2　解關于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. [解]　(1)Δ＝a2－16，下面分情況討論： ①當Δ<0，即－44或a<－4時，原不等式的解集為x<(－a－)或x>(－a＋)

12、； 當a＝4時，原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠－1}． (2)若a＝0，原不等式為－x＋1<0，解得x>1； 若a<0，原不等式可化為(x－1)>0，解得x<或x>1； 若a>0，原不等式可化為(x－1)<0，(*) 其解的情況應由與1的大小關系決定，故 ①當a＝1時，由(*)式可得x∈?； ②當a>1時，由(*)式可得1}；當01時，解集為. 金版點睛 解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 (1)討論二次

13、項系數(shù)：二次項若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式． (2)判斷方程根的個數(shù)：討論判別式Δ與0的關系． (3)寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式． 　解關于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解　原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的兩根為x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知： ①當a<0或a>1時，a2>a. 解原不等式得x>a2或xa或x

14、2. ③當a＝0時，原不等式為x2>0，∴x≠0. ④當a＝1時，原不等式為(x－1)2>0，∴x≠1. 綜上可知： 當a<0或a>1時，原不等式的解集為{x|xa2}； 當0a}； 當a＝0時，原不等式的解集為{x|x≠0}； 當a＝1時，原不等式的解集為{x|x≠1}. 題型三 “三個二次”之間的轉化關系 例3　若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－30的解集為{x|－3

15、x＋c＝0的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得 即所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0， 即為－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0， 故所求的不等式的解集為{x|－34}，其他條件不變，則不等式的解集又如何？ 解　因為ax2＋bx＋c>0的解集為{x|x<－3或x>4}，所以a>0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得 即 所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即為－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15>0，解得x<－3或x>

16、5， 故所求不等式的解集為{x|x<－3或x>5}． 金版點睛 三個“二次”之間的關系 (1)三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究． (2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)的圖象及性質來解決問題，關系如下： 　(1)已知關于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，則ax2－bx＋c>0的解集為________； (2)已知方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為－和2，則不等式ax2＋bx－1>0的解集為________． 答案　(1)　(2) 解析　

17、(1)由題意－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，且a<0，故 解得a＝c，b＝c， 所以不等式ax2－bx＋c>0即為2x2－5x＋2<0，解得0可變?yōu)椋?x2＋3x－1>0， 即2x2－3x＋1<0，解得

18、輛汽車剎車前的車速至少為多少？(精確到0.01 km/h，≈168.88) [解]　設這輛汽車剎車前的車速為x km/h， 根據(jù)題意，得x＋x2＞39.5. 移項整理，得x2＋9x－7110＞0. 顯然Δ＞0，x2＋9x－7110＝0有兩個實數(shù)根， 即x1≈－88.94，x2≈79.94. 然后，根據(jù)二次函數(shù)y＝x2＋9x－7110的圖象， 得不等式的解集為{x|x＜－88.94或x＞79.94}． 在這個實際問題中，x＞0，所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94 km/h. 金版點睛 一元二次不等式的應用題常以二次函數(shù)為模型，解題時要審清題意，準確找出其中的不等關系，再

19、利用一元二次不等式求解，確定答案時應注意變量具有的“實際含義”. 　汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個重要因素．在一個限速40 km/h以內的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了，事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12 m，乙車的剎車距離略超過10 m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間有如下關系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.問：超速行駛應負主要責任的是誰？ 解　由題意知，對于甲車，有0.1x＋0.01x2>1

20、2，即x2＋10x－1200>0， 解得x>30或x<－40(不符合實際意義，舍去)， 這表明甲車的車速超過30 km/h.但根據(jù)題意剎車距離略超過12 m，由此估計甲車車速不會超過限速40 km/h. 對于乙車，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2000>0， 解得x>40或x<－50(不符合實際意義，舍去)， 這表明乙車的車速超過40 km/h，即超過規(guī)定限速， 所以乙應負主要責任. 題型五 利用一元二次不等式解決利潤問題 例5　某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應市場需求，計

21、劃提高產(chǎn)品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應提高的比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.設年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量． (1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式； (2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？ [解]　(1)依題意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)． ∴所求關系式為y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)(0＜x＜1)． (2)依題意，得

22、 1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1000. 化簡，得3x2－x＜0.解得0＜x＜. ∴投入成本增加的比例x的范圍是0

23、只能賺得5000元．為了使賺得的利潤不少于8000元，只能漲價，但要適度，否則銷售量就少得太多．設該商品漲價x元，則該商品銷售時的單價是(50＋x)元，每個商品的利潤是[(50＋x)－40]元，銷售量是(500－10x)個．由題意可列不等式為[(50＋x)－40](500－10x)≥8000. 整理，得x2－40x＋300≤0. 解這個一元二次不等式，得10≤x≤30. 故該商品銷售時的單價應定在大于等于60小于等于80之間． 因為銷售量和該商品漲價x元之間是一次函數(shù)關系，且 當該商品銷售時的單價為60元時，其銷售量是500－10×10＝400(個)； 當該商品銷售時的單價為80元

24、時，其銷售量是500－10×30＝200(個)． 故這時應進貨的范圍為大于等于200小于等于400. 1．在下列不等式中，解集是?的是(　　) A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4≤0 C．4－4x－x2<0 D．－2＋3x－2x2>0 答案　D 解析　A的解集為R；B的解集是{x|x＝－2}；C的解集為{x|x>－2＋2或x<－2－2}，用排除法應選D. 2．在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實數(shù)x的取值范圍為(　　) A．01 D．－1

25、(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0， ∴x2＋x－2<0即(x－1)(x＋2)<0， 解得－22，則關于x的不等式(x－t)<0的解集為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵t>2，∴t>， ∴(x－t)<0，解得

26、．(60＋2x)(40＋x)＞2816 D．(60＋x)(40＋2x)＜2816 答案　A 解析　“不大于”就是“≤”，所以根據(jù)題意可列出不等式為(60＋2x)(40＋2x)≤2816. 5．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風衣，日銷售量x件與單價p元/件之間的關系為p＝160－2x，生產(chǎn)x件這種風衣所需成本為c＝500＋30x元，假設所生產(chǎn)的這種風衣能夠全部售出，問：該廠日產(chǎn)量多大時，可使該廠日獲利不少于1300元？ 解　設該廠日產(chǎn)量為x件時，日獲利為y元， 則y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500， 由題意可得－2x2＋130x－500≥1300. 解得20≤x≤45. ∴當該廠日產(chǎn)量x滿足20≤x≤45時，可使該廠日獲利不少于1300元． - 11 -