2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.1 數(shù)學(xué)歸納法原理學(xué)案 新人教B版選修4-5

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1、 3．1 數(shù)學(xué)歸納法原理 [讀教材·填要點] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法原理 對于由歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的命題p(n)，可以用以下兩個步驟來證明它的正確性： (1)證明當(dāng)n取初始值n0(例如n0＝0，n0＝1等)時命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k為自然數(shù)，且k≥n0)時命題正確，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也正確． 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于從初始值n0開始的所有自然數(shù)都正確． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本過程 [小問題·大思維] 1．在數(shù)學(xué)歸納法中，n0一定等于0嗎？ 提示：不一定．n0是適合命題的自然數(shù)中的最小值，有時是n0＝0或n0＝1，有時n0值也比

2、較大，而不一定是從0開始取值． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的適用范圍是什么？ 提示：數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明． 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法中的兩步的作用是什么？ 提示：在數(shù)學(xué)歸納法中的第一步“驗證n＝n0時，命題成立”，是歸納奠基、是推理證明的基礎(chǔ)．第二步是歸納遞推，保證了推理的延續(xù)性，證明了這一步，就可以斷定這個命題對于n取第一個值n0后面的所有自然數(shù)也都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 [例1]　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． [思路點撥]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用，解答本題需要注意等式的左邊有2n項，右邊有n

3、項，由k到k＋1時，左邊增加兩項，右邊增加一項，而且左、右兩邊的首項不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”時，要注意項的合并． [精解詳析]　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，且k∈N＋)時命題成立，即有 1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋. 則當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋， 從而可知，當(dāng)n＝k＋1時，命題亦成立． 由(1)(2)可知，命題對一切正整數(shù)n均成立． (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵有兩點：一是準(zhǔn)確表述n＝n0時命題的形式，二是準(zhǔn)確把握由n＝k到n＝k＋1時，命題結(jié)

4、構(gòu)的變化特點． (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時的常見問題 ①第一步中的驗證，對于有些問題驗證的并不是n＝0，有時需驗證n＝1，n＝2. ②對n＝k＋1時式子的項數(shù)以及n＝k與n＝k＋1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障． ③“假設(shè)n＝k時命題成立，利用這一假設(shè)證明n＝k＋1時命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，對待這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴謹、規(guī)范． 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的n∈N＋， ＋＋…＋＝. 證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝＝，右邊＝＝，左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋且k≥1)時等式成立， 即有

5、＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時，＋＋…＋＋＝＋ ＝ ＝＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N＋等式都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 [例2]　求證：二項式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路點撥]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明整除問題中的應(yīng)用，解答本題需要設(shè)法將x2n－y2n進行分解因式得出x＋y，由于直接分解有困難，故采用數(shù)學(xué)歸納法證明． [精解詳析]　(1)當(dāng)n＝1時，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N＋)時， x2k－y2k能被x＋y整除， 當(dāng)n＝

6、k＋1時， 即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k與x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1時，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，對任意的正整數(shù)n命題均成立． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式，這就往往要涉及到“添項”與“減項”等變形技巧，例如，在本例中，對x2k＋2－y2k＋2進行拼湊，即減去x2y2k再加上x2y2k，然后重新組合，目的是拼湊

7、出n＝k時的歸納假設(shè)，剩余部分仍能被x＋y整除． 2．求證：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 證明：(1)當(dāng)n＝1時，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命題成立． (2)假設(shè)n＝k時，命題成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 當(dāng)n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由歸納假設(shè)，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1時命題也

8、成立． 由(1)(2)可知，對任意n∈N*命題成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題 [例3]　平面上有n(n≥2，且n∈N＋)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點， 求證：這n條直線被分成f(n)＝n2. [思路點撥]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明幾何命題中的應(yīng)用，解答本題應(yīng)搞清交點隨n的變化而變化的規(guī)律，然后采用數(shù)學(xué)歸納法證明． [精解詳析]　(1)當(dāng)n＝2時， ∵符合條件的兩直線被分成4段， 又f(2)＝22＝4.∴當(dāng)n＝2時，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N＋)時命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線被分成f(k)＝k2段，則當(dāng)n＝k＋

9、1時，任取其中一條直線記為l，如圖，剩下的k條直線為l1，l2，…，lk.由歸納假設(shè)知，它們被分為f(k)＝k2段． 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點，所以直線l被l1，l2，l3，…，lk分為k＋1段，同時l把l1，l2，…，lk中每條直線上的某一段一分為二，其增加k段． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k ＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. ∴當(dāng)n＝k＋1時，命題成立． 由(1)(2)可知，命題對一切n∈N＋且n≥2成立． 對于幾何問題的證明，可以從有限情形中歸納出一般變化規(guī)律，或者說體會出是怎么變化的，然后再去證明，也可以采用遞推的辦法．利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何

10、問題時，關(guān)鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時幾何圖形的變化規(guī)律． 3．證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)＝n·(n－3)(n≥4)． 證明：(1)n＝4時，f(4)＝·4·(4－3)＝2，四邊形有兩條對角線，命題成立． (2)假設(shè)n＝k時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)＝k(k－3)(k≥4)． 當(dāng)n＝k＋1時，凸k＋1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個頂點Ak＋1，增加的對角線條數(shù)是頂點Ak＋1與不相鄰頂點連線再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對角線條數(shù)為(k＋1－3)＋1＝k－1. f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2) ＝(k＋1)(

11、k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]． 故n＝k＋1時由(1)、(2)可知，對于n≥4，n∈N＋公式成立． [對應(yīng)學(xué)生用書P42] 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過程中，第二步n＝k時等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時應(yīng)得到(　　) A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 解析：由條件知，左邊是從20,21一直到2n－1都是連續(xù)的，因此當(dāng)

12、n＝k＋1時，左邊應(yīng)為1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右邊應(yīng)為2k＋1－1. 答案：D 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)… ·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)時，從“k到k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式是(　　) A．2k＋1　　　　　　　 B． C．2(2k＋1) D． 解析：當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)… ·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)． 答案：C 3．某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時命題成立，那么可推得

13、當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時該命題不成立，那么可推得(　　) A．當(dāng)n＝6時該命題不成立 B．當(dāng)n＝6時該命題成立 C．當(dāng)n＝4時該命題不成立 D．當(dāng)n＝4時該命題成立 解析：與“如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時命題也成立”等價的命題為“如果當(dāng)n＝k＋1時命題不成立，則當(dāng)n＝k(k∈N＋)時，命題也不成立”． 故知當(dāng)n＝5時，該命題不成立，可推得當(dāng)n＝4時該命題不成立． 答案：C 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N＋)成立，其初始值至少應(yīng)取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10

14、 解析：左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－， 代入驗證可知n的最小值是8. 答案：B 二、填空題 5．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于________． 解析：因為f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 答案：＋＋ 6．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥2)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝________；當(dāng)n>4時，f(n)＝________(用n表示)． 解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一條

15、直線，交點增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù)． 所以f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1. 累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1) ＝(n－2)． 所以f(n)＝(n＋1)(n－2)． 答案：5　(n＋1)(n－2) 7．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋＝2時，若已假設(shè)n＝k(k≥2，且k為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n＝________時等式成立． 解析：n＝k(k≥2，且k為偶數(shù))的下一個偶數(shù)為k＋2，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟可知．再證n＝k＋2. 答案：k＋2 8．用數(shù)

16、學(xué)歸納法證明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝·sin α·cos α(α≠nπ，n∈N)，在驗證n＝1等式成立時，左邊計算所得的項是________． 解析：由等式的特點知： 當(dāng)n＝1時，左邊從第一項起，一直加到cos(2n－1)α，故左邊計算所得的項是＋cos α. 答案：＋cos α 三、解答題 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝＋＋…＋. 證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝＝，右邊＝，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即 ＋＋…＋＝＋＋…＋，則當(dāng)n＝k＋1時， ＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋

17、 ， 即當(dāng)n＝k＋1時，等式成立． 根據(jù)(1)(2)可知，對一切n∈N＋，等式成立． 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明對于整數(shù)n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除． 證明：(1)當(dāng)n＝0時，A0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假設(shè)n＝k時，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除． 當(dāng)n＝k＋1時， Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1 ＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1 ＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1. ∴n＝k＋1時，命題也成立． 根據(jù)(1)、

18、(2)，對于任意整數(shù)n≥0，命題都成立． 11．將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下，試猜測S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， 解：由題意知，當(dāng)n＝1時，S1＝1＝14； 當(dāng)n＝2時，S1＋S3＝16＝24； 當(dāng)n＝

19、3時，S1＋S3＋S5＝81＋34； 當(dāng)n＝4時，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44. 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時，S1＝1＝14，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4， 那么，當(dāng)n＝k＋1時， S1＋S3＋S5＋…＋S2k＋1 ＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)] ＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1) ＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1 ＝(k＋1)4， 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知對于任意的n∈(N＋，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立． 10