2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第67講 坐標(biāo)系學(xué)案
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1、 第67講 坐標(biāo)系 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解坐標(biāo)系的作用. 2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點的位置,理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點的位置的區(qū)別,能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. 4.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形的方程,通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程,理解用方程表示平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義. 2017·全國卷Ⅱ,22 2016·全國卷Ⅰ,23 2016·北京卷,11 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)在高考中主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程. 分值:5~10
2、分 1.平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點,在變換φ:的作用下,點P(x,y)對應(yīng)到點P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡稱伸縮變換. 2.極坐標(biāo)系 (1)極坐標(biāo)系的概念 ①極坐標(biāo)系: 如圖所示,在平面內(nèi)取一個__定點__O,點O叫做極點,自極點O引一條__射線__Ox,Ox叫做極軸;再選定一個__長度單位__、一個__角度單位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系. ②極坐標(biāo): 一般地,沒有特殊說明時,我們認為ρ≥0,θ可取任意實數(shù). ③點與極坐標(biāo)的關(guān)系:
3、 一般地,極坐標(biāo)(ρ,θ)與 (ρ,θ+2kπ)(k∈Z) 表示同一個點,特別地,極點O的坐標(biāo)為 (0,θ)(θ∈R) ,與直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有__無數(shù)__種表示. 如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)__(ρ,θ)__表示;同時,極坐標(biāo)(ρ,θ)表示的點也是唯一確定的. (2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(ρ,θ),則它們之間的關(guān)系為 3.常見曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點,半徑為r的圓 __ρ=r(0≤θ<2π) __ 圓心為(r,0),半徑為
4、r的圓 __ρ=2rcos θ__ ____ 圓心為,半徑為r的圓 __ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)__ 過極點,傾斜角為α的直線 __θ=α(ρ∈R) __或 __θ=α+π(ρ∈R) __ 過點(a,0),與極軸垂直的直線 __ρcos θ=a__ ____ 過點,與極軸平行的直線 __ρsin_θ=a(0<θ<π)__ 1.思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或打“×”). (1)在伸縮變換下,直線仍然變成直線,圓仍然變成圓.( × ) (2)在伸縮變換下,橢圓可變?yōu)閳A,圓可變?yōu)闄E圓.( √ ) (3)過極點,傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程
5、可表示為θ=α或θ=π+α. ( √ ) (4)圓心在極軸上的點(a,0)處,且過極點O的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2asin θ.( × ) 2.設(shè)平面上的伸縮變換的坐標(biāo)表達式為則在這一坐標(biāo)變換下正弦曲線y=sin x的方程變?yōu)開_y′=3sin_2x′__. 解析 由知 代入y=sin x中得y′=3sin 2x′. 3.點P的直角坐標(biāo)為(1,-),則點P的極坐標(biāo)為____. 解析 因為點P(1,-)在第四象限,與原點的距離為2,且OP與x軸所成的角為-,所以點P的極坐標(biāo)為. 4.曲線ρ=4sin θ與ρ=2的交點坐標(biāo)為__,__. 解析 由∴sin θ=,∴θ=或. 5.在極
6、坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ(cos θ+sin θ)=1與曲線C2:ρ=a(a>0)的一個交點在極軸上,則a=____. 解析 曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x+y=1,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=a2,曲線C1與x軸的交點坐標(biāo)為,此點也在曲線C2上,代入解得a=. 一 平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換 平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來表示,在伸縮變換作用下,直線仍然變成直線,拋物線仍然變成拋物線,雙曲線仍然變成雙曲線,圓可以變成橢圓,橢圓也可以變成圓. 【例1】 (1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,已知伸縮變換φ:求點A經(jīng)過φ變換所得的點A′的坐標(biāo). (2)求直線l:y=6
7、x經(jīng)過φ:變換后所得到的直線l′的方程. 解析 (1)設(shè)A′(x′,y′),由伸縮變換φ:得到 由于點A的坐標(biāo)為,于是x′=3×=1,y′=×(-2)=-1,∴A′(1,-1)為所求. (2)設(shè)直線l′上任意一點P′(x′,y′),由上述可知,將代入y=6x得2y′=6×, ∴y′=x′,即y=x為所求. 二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 極坐標(biāo)方程與普通方程的互化技巧 (1)巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ或同時平方的技巧,將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化簡得到普通方程. (2)巧借兩角和差公式,轉(zhuǎn)化ρsin(θ±α)或ρ=cos(θ±
8、α)的結(jié)構(gòu)形式,進而利用互化公式得到普通方程. (3)將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為ρcos θ,將y換成ρsin θ,即可得到其極坐標(biāo)方程. 【例2】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0). (1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程; (2)曲線C2的方程為+=1,設(shè)P,Q分別為曲線C1與曲線C2上的任意一點,求的最小值. 解析 (1)曲線C1的方程可化為3(x2+y2)=12x-10, 即(x-2)2+y2=. (2)依題意可設(shè)Q(4cos θ,2sin θ),由(1)知圓C1的圓心為C
9、1(2,0),半徑r1=. 故|QC1|===2, |QC1|min=,所以|PQ|min=|QC1|min-r1=. 三 極坐標(biāo)方程的求法與應(yīng)用 已知極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時,如果不能直接用極坐標(biāo)解決,或用極坐標(biāo)解決較麻煩,可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決. 【例3】 (2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足tan
10、α0 =2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. 解析 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2,則C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos 2θ-8cos θsin θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos 2θ-8cos θsin θ=0,從而1-a2=0,又a>0,所以a=1. a=1時,極點也為C1,C2的公共點,且在C3上.所以a=1.
11、 1.求雙曲線C:x2-=1經(jīng)過φ:變換后所得曲線C′的焦點坐標(biāo). 解析 設(shè)曲線C′上任意一點P′(x′,y′),將代入x2-=1得-=1,化簡得-=1,即-=1為曲線C′的方程,可見仍是雙曲線,則所求焦點坐標(biāo)為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0). 2.已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程. 解析 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4; 因為ρ2-2ρcos=2, 所以ρ2-2ρ=2. 所以x2+y2-2x-2y-2=0. (2)將兩圓直角坐標(biāo)
12、方程相減,得過兩圓交點的直線方程為x+y=1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=. 3.在極坐標(biāo)系中,求直線ρsin=2被圓ρ=4截得的弦長. 解析 由ρsin=2, 得(ρcos θ+ρsin θ)=2可化為x+y-2=0. 圓ρ=4可化為x2+y2=16, 由圓中的弦長公式得2=2=4. 故所求弦長為4. 4.(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=4. (1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方
13、程; (2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為,點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值. 解析 (1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0). 由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0), 由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面積 S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α· =2≤2+. 當(dāng)α=-時,S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為
14、2+. 易錯點 忽略變量的取值范圍 錯因分析:忽略變量的取值范圍,導(dǎo)致錯誤. 【例1】 求極坐標(biāo)方程ρ=所對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程. 解析 由ρ=(sin θ≠0),得ρ=(cos θ≠±1), ∴ρ-ρcos θ=2(cos θ≠±1),(*) ∴=x+2,化簡得y2=4x+4, 當(dāng)cos θ=1時,(*)式不成立; 當(dāng)cos θ=-1時,由(*)式知ρ=1,∴x=ρcos θ=-1. 綜上可知,y2=4x+4(x≠-1)即為所求. 【跟蹤訓(xùn)練1】 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤φ<π),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ
15、=1,l與C交于不同的兩點P1,P2. (1)求φ的取值范圍; (2)以φ為參數(shù),求線段P1P2中點軌跡的參數(shù)方程. 解析 (1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1, 將代入x2+y2=1得t2-4tsin φ+3=0,(*) 由Δ=16sin 2φ-12>0得|sin φ|>,∵0≤φ<π,∴<φ<. (2)由(*)知,=2sin φ,代入中, 整理得P1P2的中點的軌跡方程為. 課時達標(biāo) 第67講 [解密考綱]高考中,主要涉及曲線的極坐標(biāo)方程、曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化,兩種不同方式的方程的互化是考查的熱點,常以解答題的形式
16、出現(xiàn). 1.求橢圓+y2=1經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程. 解析 由得到 代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1. 因此橢圓+y2=1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2+y2=1. 2.在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點A的極坐標(biāo)為,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos=a,且點A在直線l上. (1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系. 解析 (1)由點A在直線l上,得cos=a,則a=,故直線l的方程可化為ρsin θ+ρcos θ=2,得直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y
17、-2=0. (2)圓C的普通方程為(x-1)2+y2=1,圓心C到直線l的距離d==<1,所以直線l與圓C相交. 3.(2018·海南模擬)已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=6cos θ,曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),曲線C1,C2相交于A,B兩點. (1)把曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程; (2)求弦AB的長度. 解析 (1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y=x,曲線C1:ρ=6cos θ , 即ρ2=6ρcos θ,所以x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9. (2)∵圓心(3,0)到直線的距離d=,圓C1的半徑r=3, ∴|AB|=2=3. ∴弦A
18、B的長度為3. 4.在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2=,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=. (1)寫出曲線C1與直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)Q為曲線C1上一動點,求Q點到直線l的距離的最小值. 解析 (1)根據(jù) ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得C1的直角坐標(biāo)方程為x2+2y2=2,直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4. (2)設(shè)Q(cos θ,sin θ),則點Q到直線l的距離為 d==≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)θ+=2kπ+,即θ=2kπ+(k∈Z)時取等號. ∴點Q到直線l的距離的最小值為.
19、 5.(2016·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,=,求l的斜率. 解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ, 可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R). 設(shè)A,B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcos α+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=1
20、1. |AB|=|ρ1-ρ2|==. 由|AB|=,得cos2α=,tan α=±. 所以l的斜率為或-. 6.(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點為P,當(dāng)k變化時,P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點,求M的極徑. 解析 (1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m 得l2的普通方程l2:y=(x+2). 設(shè)P(x,y),由題設(shè)得消去k得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 聯(lián)立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,從而cos 2θ=,sin 2θ=. 代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交點M的極徑為. 9
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