2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、 第一講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 考點(diǎn)一 極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸正半軸作為極軸,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(ρ,θ),則 2.幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn),半徑為r:ρ=r. (2)當(dāng)圓心位于M(a,0),半徑為a:ρ=2acosθ. (3)當(dāng)圓心位于M,半徑為a:ρ=2asinθ. 3.幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 (1)直線過(guò)極點(diǎn):θ=θ0和θ=π+θ0. (2)直線過(guò)點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸:ρcosθ=a

2、. (3)直線過(guò)M且平行于極軸:ρsinθ=b. [解] (1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0).由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程 ρ=4cosθ(ρ>0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0). 由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面積 S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cosα· =2≤2+. 當(dāng)α=-時(shí),S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 解決極坐

3、標(biāo)問(wèn)題應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn) (1)用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題時(shí)要注意已知的幾何關(guān)系,如果幾何關(guān)系不容易通過(guò)極坐標(biāo)表示時(shí),可以先化為直角坐標(biāo),將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解決. (2)在極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的過(guò)程中,需要注意當(dāng)條件涉及“角度”和“距離”時(shí),利用極坐標(biāo)將會(huì)給問(wèn)題的解決帶來(lái)很大的便利. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] (2018·福建福州四校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),直線C2的方程為y=x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程; (2)若直線C2與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),求+. [解] (1)由曲線C

4、1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),得曲線C1的普通方程為(x-2)2+(y-2)2=1, 則C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0, 由于直線C2過(guò)原點(diǎn),且傾斜角為,故其極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R). (2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2,則ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7, ∴+===. 考點(diǎn)二 參數(shù)方程及應(yīng)用 1.圓的參數(shù)方程 以O(shè)′(a,b)為圓心,r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中α是參數(shù). 2.橢圓的參數(shù)方程 橢圓+=1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中φ是參數(shù). 3.直線的參數(shù)方程 (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0),傾斜角為

5、α的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù). (2)若A,B為直線l上兩點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0,則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到: ①t0=; ②|PM|=|t0|=; ③|AB|=|t2-t1|; ④|PA|·|PB|=|t1·t2|. 角度1:參數(shù)方程與普通方程的互化 [解] (1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由 解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn)(3cosθ,sinθ)到l的距離d=. 當(dāng)a

6、≥-4時(shí),d的最大值為.由題設(shè)得=,所以a=8; 當(dāng)a<-4時(shí),d的最大值為.由題設(shè)得=,所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16.角度2:直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用 [解] (1)曲線C的普通方程為+=1. 當(dāng)cosα≠0時(shí),l的普通方程為y=tanα·x+2-tanα, 當(dāng)cosα=0時(shí),l的普通方程為x=1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.① 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2), 所以①有兩個(gè)解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0. 又由①得t1

7、+t2=, 故2cosα+sinα=0,于是直線l的斜率k=tanα=-2. 解決參數(shù)方程問(wèn)題的3個(gè)要點(diǎn) (1)把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎ? (2)把普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù),注意參數(shù)的幾何意義及變化范圍. (3)直線參數(shù)方程為(α為傾斜角,t為參數(shù)),其中|t|=|PM|,P(x,y)為動(dòng)點(diǎn),M(x0,y0)為定點(diǎn),在解決與點(diǎn)P有關(guān)的弦長(zhǎng)和距離的乘積問(wèn)題時(shí)廣泛應(yīng)用. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.[角度1]設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為傾斜角),圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)若直線l經(jīng)過(guò)圓C的圓心,求直線l的斜率;

8、(2)若直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn),求直線l的斜率的取值范圍. [解] (1)由已知得直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是P(3,4),而圓C的圓心是C(1,-1), 所以,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓C的圓心時(shí),直線l的斜率為k=. (2)解法一:由圓C的參數(shù)方程得圓C的圓心是C(1,-1),半徑為2. 由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù),α為傾斜角),得直線l的普通方程為y-4=k(x-3)(斜率存在), 即kx-y+4-3k=0. 當(dāng)直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)時(shí),圓心到直線的距離小于圓的半徑, 即<2,解得k>. 即直線l的斜率的取值范圍為. 解法二:將圓C的參數(shù)方程化成普通方程為(x-1)2+(y+1

9、)2=4?、?, 將直線l的參數(shù)方程代入①式,得 t2+2(2cosα+5sinα)t+25=0.?、? 當(dāng)直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)時(shí),方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)根,即Δ=4(2cosα+5sinα)2-100>0, 即20sinαcosα>21cos2α,兩邊同除以20cos2α,得tanα>,即直線l的斜率的取值范圍為. 2.[角度2](2018·鄭州一模)已知直線l:(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ. (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程. (2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5,),直線l與曲線C的交點(diǎn)為A,B

10、,求|MA|·|MB|的值. [解] (1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ, ∴曲線C的直線坐標(biāo)方程為x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1. (2)將直線l:(t為參數(shù))代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中,化簡(jiǎn)得t2+5t+18=0,且Δ>0.∴t1t2=18. ∵點(diǎn)M(5,)在直線l上,根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義,得|MA|·|MB|=|t1t2|=18. 考點(diǎn)三 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 1.對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下,我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程,這樣思路可能更加清晰. 2.對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問(wèn)題,用參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程計(jì)算會(huì)比

11、較簡(jiǎn)捷. [解] (1)由消去參數(shù)t,得(x+5)2+(y-3)2=2, 所以圓C的普通方程為(x+5)2+(y-3)2=2. 由ρcos=-,得ρcosθ-ρsinθ=-2. 可得直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0. (2)直線l與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為A(-2,0),B(0,2),化為極坐標(biāo)為A(2,π),B, 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-5+cost,3+sint),則點(diǎn)P到直線l的距離為d= =, 所以dmin==2,又|AB|=2, 所以△PAB面積的最小值=×2×2=4. 解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程問(wèn)題的關(guān)鍵 (1)會(huì)轉(zhuǎn)化:把直線與圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程

12、時(shí),要關(guān)注參數(shù)的取值范圍的限定,還需掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式. (2)懂技巧:合理選擇直角坐標(biāo)形式運(yùn)算、極坐標(biāo)形式運(yùn)算、參數(shù)坐標(biāo)形式運(yùn)算,利用參數(shù)及其幾何意義,結(jié)合關(guān)系式尋找關(guān)于參數(shù)的方程或函數(shù). [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(θ為參數(shù),0

13、. [解] (1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為x2+y2=r2. 所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=r. 將曲線C2的參數(shù)方程化為普通方程為(x-2)2+(y-2)2=8,即x2+y2-4x-4y=0. 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ-4cosθ-4sinθ=0,即ρ=4sin. 因?yàn)閨PN|max=|ρP-ρN|max=max=2, 所以r=2,所以C1:ρ=2. (2)S四邊形MPNQ=S△OPM-S△ONQ=OP·OMsin-ON·OQ·sin=×4sin×4sin×-×2×2×=4sin+4-2. 所以當(dāng)α=時(shí),四邊形MPNQ面積的最大值為4+2. 1.(2018

14、·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程. [解] (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為 (x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設(shè)知,C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線. 記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2. 由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2

15、只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn);當(dāng)k=-時(shí),l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn);當(dāng)k=時(shí),l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn). 綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2. 2.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過(guò)點(diǎn)(0,-)且傾斜角

16、為α的直線l與⊙O交于A,B兩點(diǎn). (1)求α的取值范圍; (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程. [解] (1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1. 當(dāng)α=時(shí),l與⊙O交于兩點(diǎn). 當(dāng)α≠時(shí),記tanα=k,則l的方程為y=kx-.l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈. 綜上,α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),<α<). 設(shè)A,B,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsinα+1=0. 于是tA+tB=2sinα,tP=sinα. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 (

17、α為參數(shù),<α<). 1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一,高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面:一是簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用. 2.全國(guó)課標(biāo)卷對(duì)此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn),難度中等,備考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 專題跟蹤訓(xùn)練(三十二) 1.(2018·湖南長(zhǎng)沙聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程. (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)分別為M,N,求△C2MN的

18、面積. [解] (1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴C1:x=-2的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-2, C2:(x-1)2+(y-2)2=1的極坐標(biāo)方程為(ρcosθ-1)2+(ρsinθ-2)2=1,化簡(jiǎn),得ρ2-(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0. (2)把直線C3的極坐標(biāo)方程θ=(ρ∈R)代入 圓C2:ρ2-(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0, 得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=. ∴|MN|=|ρ1-ρ2|=. ∵圓C2的半徑為1,∴|C2M|2+|C2N|2=|MN|2, ∴C2M⊥C2N. ∴△C2MN的面積為·|C2M|·|C2N|=×1×

19、1=. 2.(2018·洛陽(yáng)聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中,曲線C的方程為ρ2=,已知點(diǎn)R. (1)以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的非負(fù)半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo). (2)設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn),以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值,及此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo). [解] (1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2. ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為+y2=1. 點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為(2,2). (2)設(shè)點(diǎn)P(cosθ,sinθ),根據(jù)題意得Q(2,sinθ),即可得|PQ|=2-cosθ,|QR|=2-si

20、nθ, ∴|PQ|+|QR|=4-2sin(θ+60°). ∴當(dāng)θ=30°時(shí),|PQ|+|QR|取最小值2, ∴矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值為4. 此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為. 3.(2018·安徽皖南八校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-3=0. (1)說(shuō)明C2是哪種曲線,并將C2的方程化為直角坐標(biāo)方程. (2)C1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)A,B,定點(diǎn)P的極坐標(biāo),求線段AB的長(zhǎng)及定點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離之積. [解] (1)將代入C2的極坐標(biāo)方程中得C2的直角坐標(biāo)方程為

21、(x-1)2+y2=4,所以C2是圓. (2)將C1的參數(shù)方程(t為參數(shù)),代入(x-1)2+y2=4中得2+2=4,化簡(jiǎn),得t2+t-3=0. 設(shè)兩根分別為t1,t2, 由根與系數(shù)的關(guān)系得 所以|AB|=|t1-t2|===, 定點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離之積|PA|·|PB|=|t1t2|=3. 4.(2018·河北衡水中學(xué)模擬)在極坐標(biāo)系中,曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ=,在以極點(diǎn)為原點(diǎn)O,極軸為x軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度)的直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程; (2)將曲線C2經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線C3,若M、N分別是曲線C1和曲線C3上的動(dòng)點(diǎn),求|MN|的最小值. [解] (1)∵C1的極坐標(biāo)方程是ρ=, ∴4ρcosθ+3ρsinθ=24, ∴4x+3y-24=0, 故C1的直角坐標(biāo)方程為4x+3y-24=0. ∵曲線C2的參數(shù)方程為∴x2+y2=1, 故C2的普通方程為x2+y2=1. (2)將曲線C2經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線C3,則曲線C3的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).設(shè)N(2cosα,2sinα),則點(diǎn)N到曲線C1的距離 d= = =(其中φ滿足tanφ=). 當(dāng)sin(α+φ)=1時(shí),d有最小值, 所以|MN|的最小值為. 12

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