4、是( )
A．－8 B．－
C．8 D．
解析 易知直線l1：4x＋y＝1關(guān)于直線l2：x－y＝0對稱的直線方程為x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3。故由題意得1×2＋4×(－m)＝0，所以m＝。故選D。
答案 D
2．(2018·河南名校聯(lián)考)已知m，n，a，b∈R，且滿足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，則的最小值為( )
A． B．
C．1 D．
解析 此題可理解為點(diǎn)A(m，n)和點(diǎn)B(a，b)分別在直線l1：3x＋4y＝6與l2：3x＋4y＝1上，求A、B兩點(diǎn)距離的最小值，|AB|＝，因?yàn)閘1∥l2，所以|AB|min＝＝
5、1。故選C。
答案 C
考向二 圓的方程
【例2】 (1)(2018·珠海聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2018·貴陽摸底)過點(diǎn)M(2,2)的直線l與坐標(biāo)軸的正方向分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積為8，則△OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________。
解析 (1)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，則有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝
6、1。故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故選B。
(2)解法一：設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點(diǎn)M(2,2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨設(shè)A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則將O，A，B的坐標(biāo)分別代入得解得所以△OAB外接圓的方程為x2＋y2－4x－4y＝0，標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8。
解法二：設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點(diǎn)M(2,2)，得＋＝1。又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△
7、OAB是等腰直角三角形，且M是斜邊AB的中點(diǎn)，則△OAB外接圓的圓心是點(diǎn)M(2,2)，半徑|OM|＝2，所以△OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8。
答案 (1)B (2)(x－2)2＋(y－2)2＝8
求圓的方程的兩種方法
(1)幾何法：通過已知條件，利用相應(yīng)的幾何知識求圓的圓心，半徑。
(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)。
變|式|訓(xùn)|練
1．拋物線y2＝4x與過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。
解析 由題意知，A(1,2)，B(1，－2)，
8、M(－1,0)，△AMB是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4。
答案 (x－1)2＋y2＝4
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。
解析 解法一：由題意得：半徑等于＝＝≤ ≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時(shí)取等號，所以半徑最大為r＝，所求圓為(x－1)2＋y2＝2。
解法二：直線mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒過點(diǎn)M(2，－1)，如圖，設(shè)C(1,0)，則M為切點(diǎn)時(shí)半徑最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半徑最大的
9、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2。
答案 (x－1)2＋y2＝2
考向三 直線與圓的位置關(guān)系
微考向1：直線與圓的相交弦
【例3】 (1)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝，則直線l的方程為________。
(2)設(shè)直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A．± B．± C．±3 D．±9
解析 (1)直線l的方程為y＝kx＋1，圓心C(2,3)到直線l的距離d＝＝，由R2＝d2＋2得1＝＋，解得k＝2或，所求直
10、線l的方程為y＝2x＋1或y＝x＋1。
(2)由題意知：圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝±。故選B。
答案 (1)y＝2x＋1或y＝x＋1 (2)B
(1)直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路
研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較。
(2)弦長的求解方法
①根據(jù)半徑，弦心距，半弦長構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系r2＝d2＋(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)，弦長l＝2。
②根據(jù)
11、公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)，或根據(jù)l＝|y1－y2|求解。
③求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解。
變|式|訓(xùn)|練
(2018·合肥一模)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，圓心到直線l的距離為d＝1
12、，所以|AB|＝2＝2，符合題意。當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，因?yàn)閳Ax2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，易知圓心C(1,1)到直線y＝kx＋3的距離d＝＝，因?yàn)閐2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0。故選B。
答案 B
微考向2：直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用
【例4】 (1)(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取
13、值范圍是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
(2)(2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離。當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 (1)因?yàn)橹本€x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)。所以A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2。因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離d1＝＝2。故點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的取值范圍為[，3]。則S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。
14、故選A。
(2)解法一：因?yàn)閏os2θ＋sin2θ＝1，所以P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，又x－my－2＝0表示過點(diǎn)(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(diǎn)(－1,0)到直線x＝2的距離即為d的最大值。故選C。
解法二：由題意可得
d＝＝
＝
＝
，因?yàn)椋?≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以當(dāng)m＝0時(shí)，d取最大值3。故選C。
答案 (1)A (2)C
利用圓的圖形特征求解有關(guān)距離的最值問題往往比一些常規(guī)的方法簡單、便捷。
變|式|訓(xùn)|練
1．(2018·太原五中模擬)已知k∈R，點(diǎn)P(a，b)是直線x＋y＝2k與圓x2＋y2＝k2－2k＋3的公
15、共點(diǎn)，則ab的最大值為( )
A．15 B．9
C．1 D．－
解析 由題意得，圓心到直線x＋y＝2k的距離d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因?yàn)?ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以當(dāng)k＝－3時(shí)，ab取得最大值9。故選B。
答案 B
2．(2018·山西晉中二模)由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)P向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為______。
解析 設(shè)圓心M到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2，所以|PM|的最小值為2。所以切線長l＝≥＝。則切線長的最小值為。
答案
1．(考向一)已
16、知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，則“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析 直線l1⊥l2的充要條件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3。故選A。
答案 A
2．(考向二)(2018·安徽“江南十校”聯(lián)考)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為________。
解析 因?yàn)樗髨A的圓心在直線x＋y＝0上，所以設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)。又因?yàn)樗?/p>
17、求圓與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝＝|a|。又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
3．(考向三)(2018·鄭州外國語中學(xué)調(diào)研)已知圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圓C2：x2＋(y－b)2＝1只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為( )
A．2 B．4
C．8 D．9
解析 由題意可知，圓C1的圓心為(－2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)
18、，半徑為1，因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時(shí)等號成立，所以＋的最小值為9。故選D。
答案 D
4．(考向三)(2018·南寧、柳州聯(lián)考)過點(diǎn)(，0)作直線l與曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于______。
解析
令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，△AOB的面積取得最大值，此時(shí)過點(diǎn)O作OH⊥
19、AB于點(diǎn)H，則|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan150°＝－。
答案?。?
5．(考向三)某學(xué)校有2 500名學(xué)生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BAC＝120°，則圓C的方程為________。
解析 由題意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直線ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直線的距離為＝，因?yàn)橹本€ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝。
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝
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2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第六講 解析幾何 微專題1 直線與圓學(xué)案 理
