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1、九年級總復習 考點跟蹤突破專題6
1．(30分)(xx·武漢)如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒(0＜t＜2)，連接PQ.
(1)若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
(2)連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
(3)試證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．
解：(1)①當△BPQ∽△BAC時，∵＝，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm，∴＝，∴t＝1?、诋敗鰾PQ∽△B
2、CA時，∵＝，∴＝，∴t＝，∴t＝1或時，△BPQ與△ABC相似
(2)如圖所示，過點P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴＝，∴＝，解得t＝
(3)如圖，仍有PM⊥BC于點M，PQ的中點設為D點，再作PE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，∵∠ACB＝90°，∴DF為梯形PECQ的中位線，∴DF＝，∵QC＝4t，PE＝8－BM＝8－4t，∴DF＝＝4，∵BC＝8，過BC的中點R作直線平行于AC，∴RC＝
3、DF＝4成立，∴D在過R的中位線上，∴PQ的中點在△ABC的一條中位線上
2．(30分)(xx·巴中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx－4與x軸交于點A(－2，0)和點B，與y軸交于點C，直線x＝1是該拋物線的對稱軸．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若兩動點M，H分別從點A，B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)相向而行，當點M到達原點時，點H立刻掉頭并以每秒個單位長度的速度向點B方向移動，當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動，經過點M的直線l⊥x軸，交AC或BC于點P，設點M的運動時間為t秒(t＞0)．求點M的運動時間t與△APH的面積S的函數(shù)關系
4、式，并求出S的最大值．
解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－4與x軸交于點A(－2，0)，直線x＝1是該拋物線的對稱軸，∴解得∴拋物線的解析式是：y＝x2－x－4
(2)分兩種情況：①當0＜t≤2時，∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC，∴＝，即＝，∴PM＝2t.解方程x2－x－4＝0，得x1＝－2，x2＝4，∵A(－2，0)，∴B(4，0)，∴AB＝4－(－2)＝6.∵AH＝AB－BH＝6－t，∴S＝PM·AH＝×2t(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，當t＝2時，S的最大值為8?、诋?＜t≤3時，過點P作PM⊥x軸于M，作PF⊥y軸于點F，則△COB∽△CFP，又∵CO＝
5、OB，∴FP＝FC＝t－2，PM＝4－(t－2)＝6－t，AH＝4＋(t－2)＝t＋1，∴S＝PM·AH＝(6－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋3＝－(t－)2＋，當t＝時，S最大值為.綜上所述，點M的運動時間t與△APH面積S的函數(shù)關系式是S＝S的最大值為
3．(40分)(xx·岳陽)某數(shù)學興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合．三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q.
(1)求證：
DP＝DQ；
(2)如圖②，小明在圖①的基礎上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他
6、發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關系，請猜測他的結論并予以證明；
(3)如圖③，固定三角板直角頂點在D點不動，轉動三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點P，另一邊交BC的延長線于點Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點E，連接PE，若AB∶AP＝3∶4，請幫小明算出△DEP的面積．
解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝90°，∵∠PDQ＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝90°，∠CDQ＋∠PDC＝90°，∠ADP＝∠CDQ，在△ADP與△CDQ中，∵∴△ADP≌△CDQ(ASA)，∴DP＝DQ
(2)PE＝QE.證明：∵DE是∠PDQ的平分線，∴
7、∠PDE＝∠QDE，在△PDE與△QDE中，∵∴△PDE≌△QDE(SAS)，∴PE＝QE (3)解：∵AB∶AP＝3∶4，AB＝6，∴AP＝8，BP＝2，由(1)知：△ADP≌△CDQ，則AP＝CQ＝8，由(2)知：PE＝QE，設CE＝x，則PE＝QE＝CQ－CE＝8－x，在Rt△PEB中，BP＝2，BE＝6＋x，PE＝8－x，由勾股定理得22＋(6＋x)2＝(8－x)2，解得x＝，∵BP∥CD，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴ME＝CM＋CE＝6－＋x＝6－＋＝，∴△DEP的面積為S△DEP＝S△DME＋S△PME＝·ME·DC＋·ME·PB＝·ME·(DC＋PB)＝×·(6＋2)＝××(6＋2)＝
九年級總復習 考點跟蹤突破專題6
