《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.3 冪函數(shù)
(教師獨(dú)具內(nèi)容)
課程標(biāo)準(zhǔn):1.通過具體實(shí)例了解冪函數(shù)的概念.2.會(huì)畫冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的圖象,并能通過圖象了解冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).3.能正確應(yīng)用冪函數(shù)的知識(shí)解決相關(guān)問題.
教學(xué)重點(diǎn):1.冪函數(shù)的概念.2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn):應(yīng)用冪函數(shù)的知識(shí)解決相關(guān)問題.
【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】
知識(shí)點(diǎn)一 冪函數(shù)的概念
一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù)(power function),其中x是自變量,α是常數(shù).
知識(shí)點(diǎn)二 一些常用冪函數(shù)的圖象
同一坐標(biāo)系中,冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x的圖象(如圖).
知識(shí)點(diǎn)三 一
2、些常用冪函數(shù)的性質(zhì)
【新知拓展】
1.冪函數(shù)的特征
(1)xα的系數(shù)是1;
(2)xα的底數(shù)x是自變量;
(3)xα的指數(shù)α為常數(shù).
只有滿足這三個(gè)條件,才是冪函數(shù).對(duì)于形如y=(2x)α,y=2x5,y=xα+6等的函數(shù)都不是冪函數(shù).
2.冪函數(shù)的性質(zhì)
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義,并且圖象都過點(diǎn)(1,1);
(2)如果α>0,那么冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn),并且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增;
(3)如果α<0,那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí),圖象在y軸右方無(wú)限接近y軸,當(dāng)x從原點(diǎn)趨向于+∞時(shí),圖象
3、在x軸上方無(wú)限接近x軸;
(4)在(1,+∞)上,隨冪指數(shù)的逐漸增大,圖象越來(lái)越靠近y軸.
1.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=x3+2是冪函數(shù).( )
(2)冪函數(shù)的圖象必過(0,0)和(1,1)這兩點(diǎn).( )
(3)冪函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽,與指數(shù)無(wú)關(guān).( )
(4)當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)y=x2的圖象總在函數(shù)y=x3的圖象的下方.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)
(1)若y=mxα+(2n-4)是冪函數(shù),則m+n=________.
(2)已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
4、2,8),則f(-2)=________.
(3)若y=ax是冪函數(shù),則該函數(shù)的值域是________.
答案 (1)3 (2)-8 (3)[0,+∞)
題型一 冪函數(shù)的定義
例1 已知冪函數(shù)y=(m2-m-1)xm2-2m-3,求此冪函數(shù)的解析式,并指出其定義域.
[解] ∵y=(m2-m-1)xm2-2m-3為冪函數(shù),
∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
當(dāng)m=2時(shí),m2-2m-3=-3,則y=x-3,且有x≠0;
當(dāng)m=-1時(shí),m2-2m-3=0,則y=x0,且有x≠0.
故所求冪函數(shù)的解析式為y=x-3或y=x0,它們的定義域都是{x|x≠0}.
5、
金版點(diǎn)睛
判斷函數(shù)是冪函數(shù)的依據(jù)
判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式,即滿足:①指數(shù)α為常數(shù);②底數(shù)x為自變量;③系數(shù)為1.
(1)在函數(shù)y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知y=(m2-4m+4)x+2n-3是冪函數(shù),求m,n的值.
答案 (1)B (2)見解析
解析 (1)y==x-2,所以是冪函數(shù);y=2x2由于系數(shù)是2,因此不是冪函數(shù);y=x2+x是兩項(xiàng)和的形式,不是冪函數(shù);y=1=x0(x≠0),可以看出,常函數(shù)y=1的圖象比冪函數(shù)y=x0的圖
6、象多了一個(gè)點(diǎn)(0,1),所以常函數(shù)y=1不是冪函數(shù).
(2)由題意得解得
所以m=3,n=.
題型二 冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例2 冪函數(shù)y=x2,y=x-1,y=x,y=x在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線( )
A.C2,C1,C3,C4
B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4
D.C1,C4,C2,C3
[解析] 由于在第一象限內(nèi)直線x=1的右側(cè),冪函數(shù)y=xα的圖象從上到下相應(yīng)的指數(shù)α由大變小,即冪函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)直線x=1右側(cè)的“高低”關(guān)系是“指大圖高”,故冪函數(shù)y=x2在第一象限內(nèi)的圖象為C1,y=x-1在第一象限內(nèi)的圖象為C4,y=x在第
7、一象限內(nèi)的圖象為C2,y=x在第一象限內(nèi)的圖象為C3.
[答案] D
金版點(diǎn)睛
解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個(gè)原則
(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小,相關(guān)結(jié)論為:在(0,1]上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低);在[1,+∞)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高).
(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y=x-1或y=x或y=x3)來(lái)判斷.
(1)如圖是冪函數(shù)y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,則( )
A.-11
D.n
8、<-1,m>1
(2)已知函數(shù)y=.
①求定義域;
②判斷奇偶性;
③已知該函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示,試補(bǔ)全圖象,并由圖象確定單調(diào)區(qū)間.
答案 (1)B (2)見解析
解析 (1)在(0,1)內(nèi)取x0,作直線x=x0,與各圖象有交點(diǎn),則“點(diǎn)低指數(shù)大”.如圖,0
9、區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減.
題型三 冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
例3 比較下列各題中兩個(gè)值的大小:
(1)2.3,2.4;
(2)() ,();
(3)(-0.31)2,0.352.
[解] (1)∵y=x在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且2.3<2.4,∴2.3<2.4.
(2)∵y=x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且<,
∴()>().
(3)∵y=x2為R上的偶函數(shù),∴(-0.31)2=0.312.
又函數(shù)y=x2在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且0.31<0.35,
∴0.312<0.352,即(-0.31)2<0.352.
金版點(diǎn)睛
比較冪值大小的方法
比較冪值的大小,關(guān)
10、鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),若指數(shù)相同,底數(shù)不同,則考慮構(gòu)造冪函數(shù),然后根據(jù)所構(gòu)造的冪函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性等來(lái)解決問題.
例4 若(3-2m) >(m+1) ,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
[解] 因?yàn)閥=x在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以解得-1≤m<.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
金版點(diǎn)睛
利用冪函數(shù)解不等式的步驟
利用冪函數(shù)解不等式,實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)函數(shù)值的大小,判斷自變量的大小,常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下:
(1)確定可以利用的冪函數(shù);
(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性,將不等式的大小關(guān)系,轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系;
(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍,注
11、意分類討論思想的應(yīng)用.
(1)比較下列各組數(shù)的大小:
①與;②-3.143與-π3;
(2)已知冪函數(shù)y=(m2+m-5)xm2-2m-3,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),y隨x的增大而減小,求此冪函數(shù)的解析式.
解 (1)①∵y=x在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且>,
∴>.
②∵y=x3是R上的增函數(shù),且3.14<π,
∴3.143<π3,∴-3.143>-π3.
(2)∵y=(m2+m-5)xm2-2m-3是冪函數(shù),
∴m2+m-5=1,即(m-2)(m+3)=0,
∴m=2或m=-3.
當(dāng)m=2時(shí),m2-2m-3=-3,y=x-3是冪函數(shù),且滿足當(dāng)x∈(0,+∞)
12、時(shí),y隨x的增大而減?。?
當(dāng)m=-3時(shí),m2-2m-3=12,y=x12是冪函數(shù),但不滿足當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),y隨x的增大而減小,故舍去.
∴y=x-3(x≠0).
1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是( )
A.y=5x B.y=x5
C.y=5x D.y=(x+1)3
答案 B
解析 由冪函數(shù)的定義知函數(shù)y=5x不是冪函數(shù);函數(shù)y=5x是正比例函數(shù),不是冪函數(shù);函數(shù)y=(x+1)3的底數(shù)不是自變量x,不是冪函數(shù);函數(shù)y=x5是冪函數(shù).
2.函數(shù)y=x3的圖象大致是圖中的( )
答案 B
解析 ∵函數(shù)y=x3是奇函數(shù),且α=3>1,則其為增函數(shù),且y隨x
13、的增大急劇增大,∴函數(shù)圖象為B.
3.設(shè)a=2-6,b=3-4,c=7-2,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.b