2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率 第58講 古典概型學(xué)案
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1、 第58講 古典概型 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式. 2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 2017·山東卷,8 2016·江蘇卷,7 2016·天津卷,16 古典概型主要考查實(shí)際背景的等可能事件,通常與互斥事件、對(duì)立事件等知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行考查. 分值:5分 1.基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件都是__互斥__的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__基本事件__的和. 2.古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型. (1)有限性:試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本
2、事件__只有有限個(gè)__; (2)等可能性:每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性__相等__. 3.古典概型的概率公式 P(A)=. 1.思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“××”). (1)某袋中裝有大小均勻的三個(gè)紅球、兩個(gè)黑球、一個(gè)白球,那么每種顏色的球被摸到的可能性相同.( × ) (2)從-3,-2,-1,0,1,2中任取一數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.( √ ) (3)分別從3名男同學(xué)、4名女同學(xué)中各選一名作代表,那么每個(gè)同學(xué)當(dāng)選的可能性相同.( × ) (4)利用古典概型的概率公式求“在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任取一點(diǎn),這點(diǎn)到正方形中心距離小于或等于1”的概率.( × )
3、(5)“從長(zhǎng)為1的線段AB上任取一點(diǎn)C,求滿足AC≤的概率是多少”是古典概型.( × ) 解析 (1)錯(cuò)誤.摸到紅球的概率為,摸到黑球的概率為,摸到白球的概率為. (2)正確.取到小于0的數(shù)的概率為,取到不小于0的數(shù)的概率也為. (3)錯(cuò)誤.男同學(xué)當(dāng)選的概率為,女同學(xué)當(dāng)選的概率為. (4)錯(cuò)誤.由于正方形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)具有無(wú)限性,與古典概型不符. (5)錯(cuò)誤.線段上的點(diǎn)及所取的點(diǎn)不具有古典概型所滿足的有限性,所以(5)錯(cuò)誤. 2.從甲、乙、丙三人中任選兩名代表,甲被選中的概率為( C ) A. B. C. D.1 解析 基本事件總數(shù)為(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)
4、共3種,甲被選中共2種,則P=. 3.從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù),則取出的兩個(gè)數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是( D ) A. B. C. D. 解析 從六個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)有15種方法,取出的兩個(gè)數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有5種情況,則取出的兩個(gè)數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P=1-=. 4.從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的五張卡片中依次取兩張,假設(shè)每張卡片被取到的概率相等,且每張卡片上只有一個(gè)數(shù)字,則取到的兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為( D ) A. B. C. D. 解析 列舉法:從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的五張卡片中依次取兩張,總的情況為:(1,2),(
5、1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共20種情況.兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有:(1,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(5,1),(5,3)共8種情況.∴從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的五張卡片中依次取兩張,這兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率P==,故選D. 5.將甲、乙兩球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3的3個(gè)盒子中,每個(gè)盒子的放球數(shù)量不限,則在1,2號(hào)盒子中各有一個(gè)球的概率為(
6、 B ) A. B. C. D. 解析 依題意得,甲、乙兩球各有3種不同的放法,共9種放法,其中1,2號(hào)盒子中各有一個(gè)球的放法有2種,故有1,2號(hào)盒子中各有一個(gè)球的概率為. 一 簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題 求古典概型概率的基本步驟 (1)算出所有基本事件的個(gè)數(shù)n. (2)算出事件A包含的所有基本事件的個(gè)數(shù)m. (3)代入公式P(A)=,求出P(A). 【例1】 (1)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有10個(gè)白球,5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球,所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率為( B ) A. B. C. D.1 (2)從分別
7、標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張,則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( C ) A. B. C. D. 解析 (1)從15個(gè)球中任取2個(gè)球共有C種取法,其中有1個(gè)紅球,1個(gè)白球的情況有C·C=50(種),所以P==. (2)所求概率為P==. 二 復(fù)雜的古典概型問(wèn)題 求較復(fù)雜事件的概率問(wèn)題的方法 (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件,再利用互斥事件的概率加法公式求解. (2)先求其對(duì)立事件的概率,再利用對(duì)立事件的概率公式求解. 【例2】 為振興旅游業(yè),四川省面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡,向省外人士發(fā)
8、行的是熊貓金卡(簡(jiǎn)稱金卡),向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡(jiǎn)稱銀卡).某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝景區(qū)旅游,其中是省外游客,其余是省內(nèi)游客.在省外游客中有持金卡,在省內(nèi)游客中有持銀卡. (1)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客,求恰有1人持銀卡的概率; (2)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客,求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率. 解析 (1)由題意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省內(nèi)游客有9人,其中6人持銀卡.設(shè)事件A為“采訪該團(tuán)2人,恰有1人持銀卡”,則P(A)==,所以采訪該團(tuán)2人,恰有1人持銀卡的概率是. (2)設(shè)事件B為“采訪該團(tuán)2人,持金卡與持銀卡人數(shù)相等”,可以分為
9、事件B1為“采訪該團(tuán)2人,持金卡0人,持銀卡0人”,或事件B2為“采訪該團(tuán)2人,持金卡1人,持銀卡1人”兩種情況. 則P(B)=P(B1)+P(B2)=+=, 所以采訪該團(tuán)2人,持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率是. 三 知識(shí)交匯中的古典概型問(wèn)題 古典概型可以出現(xiàn)在很多問(wèn)題背景下,關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義,找出基本事件的總數(shù)及目標(biāo)事件的數(shù)目. 【例3】 (2017·山東卷)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的
10、作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X). 解析 (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)==. (2)由題意知X可取的值為:0,1,2,3,4,則 P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, P(X=4)==. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3
11、 4 P X的數(shù)學(xué)期望是 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4) =0+1×+2×+3×+4×=2. 1.投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為3的概率是( B ) A. B. C. D. 解析 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為3的情況有:1,4;4,1;2,5;5,2;3,6;6,3;共6種,而拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的情況有36種,所以所求概率P==,故選B. 2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從
12、0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為( D ) A. B. C. D. 解析 f′(x)=x2+2ax+b2,要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).則有Δ=(2a)2-4b2>0,即a2>b2.由題意知所有的基本事件9個(gè),即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.滿足a2>b2的有6個(gè)基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率為=. 3.盒子中裝有標(biāo)有數(shù)字且大小相同的小球,其中m個(gè)小球
13、標(biāo)有數(shù)字1,3個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字3,2個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字5.若從盒子中任取2個(gè)球,可得這兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字之和為6的概率是.若從盒子中任取3個(gè)球,則三個(gè)球所標(biāo)數(shù)字之和小于10的概率為( B ) A. B. C. D. 解析 依題意=,化簡(jiǎn)得13m2-63m-10=0,解得m=5, 任取3個(gè)球.它們所標(biāo)數(shù)字之和小于10的情況有: (1,1,1),(1,1,3),(1,1,5),(1,3,3),(1,3,5),(3,3,3), 故所求概率為:=. 4.某校50名學(xué)生參加智力答題活動(dòng),每人回答3個(gè)問(wèn)題,答對(duì)題目個(gè)數(shù)的及對(duì)應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表. 答對(duì)題目個(gè)數(shù) 0 1 2 3
14、人數(shù) 5 10 20 15 根據(jù)上表信息解答以下問(wèn)題: (1)從這50名學(xué)生任選兩人,求兩人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為4或5的概率; (2)從這50名學(xué)生中任選兩人,用X表示這兩名學(xué)生答對(duì)題目之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). 解析 (1)記“兩人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為4或5”為事件A,則P(A)===,即兩人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為4或5的概率為. (2)依題意可知X的可能取值分別為0,1,2,3. 則P(X=0)===, P(X=1)===, P(X=2)===, P(X=3)===. 從而X的分布列為 X 0 1 2 3 P X
15、的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. 易錯(cuò)點(diǎn) 將基本事件的“等可能”與“非等可能”弄錯(cuò) 錯(cuò)因分析:誤認(rèn)為題目中所有的基本事件的出現(xiàn)都是等可能的,而有些時(shí)候基本事件的出現(xiàn)不是等可能的,從而造成錯(cuò)解,如對(duì)于下面的例題會(huì)誤認(rèn)為基本事件共有4個(gè):(正正正)(正正反)(正反反)(反反反),其實(shí)這四種結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的. 【例1】 同時(shí)投擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣一次,三枚硬幣同時(shí)正面向上的概率為_(kāi)_______. 解析 由題意作出樹(shù)狀圖如下. 一共有8種情況,三枚硬幣同時(shí)正面向上只有1種情況,所以,P(三枚硬幣同時(shí)正面向上)=. 答案 【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016·江蘇
16、卷)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后投擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是____. 解析 先后拋擲2次骰子,所有可能出現(xiàn)的情況可用數(shù)對(duì)表示為 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), … (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36個(gè). 其中點(diǎn)數(shù)之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4
17、),(6,5),(6,6),共6個(gè).從而點(diǎn)數(shù)之和小于10的數(shù)對(duì)共有30個(gè),故所求概率P==. 課時(shí)達(dá)標(biāo) 第58講 [解密考綱]古典概型在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),有時(shí)與集合、函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合,以解答題形式出現(xiàn). 一、選擇題 1.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)b,則a
18、所求概率為P==,故選D.
2.隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)4的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率記為p3,則( A )
A.p1 19、參加同一個(gè)興趣小組的概率為( A )
A. B.
C. D.
解析 甲、乙兩位同學(xué)參加3個(gè)小組的所有可能性有3×3=9(種),其中甲、乙兩人參加同—個(gè)小組的情況有3種,故甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率P==.
4.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中一次隨機(jī)取兩個(gè),則取出的這兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是( B )
A. B.
C. D.
解析 從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中一次隨機(jī)取兩個(gè),共有6種情況,其中取出的這個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有(1,3),(2,4),共2種,所以P==.
5.把一顆骰子投擲兩次,第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為m,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為n,方程組只有一 20、組解的概率是( D )
A. B.
C. D.
解析 方程組只有一組解,除了這兩種情況之外都可以,故所求概率P==.
6.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個(gè)數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就稱甲、乙“心相近”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲,則他們“心相近”的概率為( D )
A. B.
C. D.
解析 試驗(yàn)包含的基本事件共有6×6=36種結(jié)果.其中滿足題設(shè)條件的有如下情況:
若a=1,則b=1,2;若a=2,則b=1,2,3;
若a=3,則b=2,3,4;若a=4,則b=3 21、 ,4 ,5 ;
若a=5,則b=4,5,6;若a=6,則b=5,6.
共16種.故他們“心相近”的概率為P==.
二、填空題
7.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為_(kāi)___.
解析 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種的所有可能情況為(紅,白),(白,紅),(紅,藍(lán)),(藍(lán),紅),(白,藍(lán)),(藍(lán),白),(紅,紅),(白,白),(藍(lán),藍(lán)),共9種,他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的所有可能情況為(紅,紅),(白,白),(藍(lán),藍(lán)),共3種.故所求概率為P==.
8.某班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名 22、學(xué)生中選取4人依次發(fā)言,要求甲、乙兩人至少有一人發(fā)言,且甲、乙都發(fā)言時(shí)丙不能發(fā)言,則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為_(kāi)___.
解析 若甲、乙兩人只有一人參加時(shí),不同的發(fā)言順序有CCA種;若甲、乙同時(shí)參加時(shí),不同的發(fā)言順序有CA種,而甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰情況有AA種,∴所求概率為=.
9.(2017·山東濰坊模擬)如圖,莖葉圖表示甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中的得分,其中一個(gè)數(shù)字被污損,則甲的平均得分不超過(guò)乙的平均得分的概率為 .
解析 由莖葉圖知甲在五場(chǎng)比賽中的得分總和為18+19+20+21+22=100;乙運(yùn)動(dòng)員在已知成績(jī)的四場(chǎng)比賽中得分總和為15+16 23、+18+28=77,乙的另一場(chǎng)得分是20到29十個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)的可能性是相等的,共有10個(gè)基本事件,而事件“甲的平均得分不超過(guò)乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7個(gè)基本事件,所以甲的平均得分不超過(guò)乙的平均得分的概率為.
三、解答題
10.一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號(hào)分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球,求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率;
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為m,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為n,求n 24、本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6個(gè).從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有{1,2},{1,3}兩個(gè).因此所求事件的概率P==.
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,記下編號(hào)為m,放回后,再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,記下編號(hào)為n,其一切可能的結(jié)果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個(gè).
又滿足條件n≥m+2的事件為(1,3),(1,4),(2,4),共3個(gè),
所以滿足條件n≥ 25、m+2的事件的概率為P1=.
故滿足條件n 26、=.
X
0
1
2
P
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×=1.
12.一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別涂有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字,現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次,正四面體面朝下的數(shù)字分別為b,c.
(1)z=(b-3)2+(c-3)2,求z=4的概率;
(2)若方程x2-bx-c=0至少有一根x∈{1,2,3,4},就稱該方程為“漂亮方程”,求方程為“漂亮方程”的概率.
解析 (1)因?yàn)槭峭稊S兩次,因此基本事件(b,c):(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16個(gè).
當(dāng)z=4時(shí),(b,c)的所有取值為(1,3),(3,1),所以P(z=4)==.
(2)①若方程一根為x=1,則1-b-c=0,即b+c=1,不成立.
②若方程一根為x=2,則4-2b-c=0,即2b+c=4,所以
③若方程一根為x=3,則9-3b-c=0,即3b+c=9,所以
④若方程一根為x=4,則16-4b-c=0,即4b+c=16,所以
由①②③④知,(b,c)的所有可能取值為(1,2),(2,3),(3,4).
所以方程為“漂亮方程”的概率為P=.
12
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