《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第2節(jié) 二項(xiàng)式定理教學(xué)案 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第2節(jié) 二項(xiàng)式定理教學(xué)案 理(含解析)新人教A版(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié) 二項(xiàng)式定理
[考綱傳真] 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.
1.二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理:(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*);
(2)通項(xiàng)公式:Tr+1=Can-rbr,它表示第r+1項(xiàng);
(3)二項(xiàng)式系數(shù):二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)C,C,…,C.
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)描述
對(duì)稱(chēng)性
與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即C=C
增減性
二項(xiàng)式系數(shù)C
當(dāng)k<(n∈N*)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的
當(dāng)k>(n∈N*)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的
最大值
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 中間的一項(xiàng)Cn取得最大值
2、
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間的兩項(xiàng)Cn和Cn相等,同時(shí)取得最大值
[常用結(jié)論]
1.C+C+C+…+C=2n.
2.C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)Can-kbk是(a+b)n的展開(kāi)式中的第k項(xiàng).( )
(2)二項(xiàng)展開(kāi)式中,系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).( )
(3)(a+b)n的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a,b無(wú)關(guān).( )
(4)通項(xiàng)Tk+1=Can-kbk中的a和b不能互換.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(教材改編)(1-2x)
3、4展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為( )
A.6 B.-6
C.24 D.-24
A [(1-2x)4展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C=6.故選A.]
3.(教材改編)二項(xiàng)式5的展開(kāi)式中x3y2的系數(shù)是( )
A.5 B.-20
C.20 D.-5
A [二項(xiàng)式5的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C5-r(-2y)r.根據(jù)題意,得解得r=2.所以x3y2的系數(shù)是C3×(-2)2=5.故選A.]
4.(教材改編)的值為( )
A.1 B.2
C.2 019 D.2 019×2 020
B [原式===1.故選A.]
5.(1+x)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中,僅第6項(xiàng)的系數(shù)最
4、大,則n=________.
10 [∵T6=Cx5,又僅有第6項(xiàng)的系數(shù)最大,∴n=10.]
二項(xiàng)展開(kāi)式的有關(guān)問(wèn)題
【例1】 (1)(x2+2)5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
(2)(2018·廣州二模)6的展開(kāi)式中,x3y3的系數(shù)是________.(用數(shù)字作答)
(1)D (2)-120 [(1)能夠使其展開(kāi)式中出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng),由多項(xiàng)式乘法的定義可知需滿(mǎn)足:第一個(gè)因式取x2項(xiàng),第二個(gè)因式取項(xiàng)得x2××C(-1)4=5;第一個(gè)因式取2,第二個(gè)因式取(-1)5得2×(-1)5×C=-2,故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是5+(-2)=3,故選
5、D.
(2)6表示6個(gè)因式x2-+y的乘積,在這6個(gè)因式中,有3個(gè)因式選y,其余的3個(gè)因式中有2個(gè)選x2,剩下一個(gè)選-,即可得到x3y3的系數(shù).即x3y3的系數(shù)是CC×(-2)=20×3×(-2)=-120.]
[規(guī)律方法] 求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)的方法,求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項(xiàng)求解,注意k的取值范圍(k=0,1,2,…,n).
(1)第m項(xiàng):此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng);
(2)常數(shù)項(xiàng):即這項(xiàng)中不含“變?cè)?,令通?xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程;
(3)有理項(xiàng):令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程.,特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題及相關(guān)參
6、數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.,(4)求特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)要多從組合的角度求解,一般用通項(xiàng)公式太麻煩.
(1)若6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.±2 B.
C.-2 D.±
(2)已知在n的展開(kāi)式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)分別是________.
(1)A (2)x2,-,x-2 [6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C(x2)6-rr=Crx12-3r,令12-3r=0,得r=4.故C·4=,即4=,解得a=±2.故選A.
(2)由Tr+1=C·()n-r·r
=rC·x.
∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),∴r=5時(shí)有=0,即n=10.
當(dāng)時(shí),即
7、r=2,5,8時(shí)∈Z,
所以展開(kāi)式中的有理項(xiàng)分別為x2,-,x-2.]
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
?考法1 二項(xiàng)式系數(shù)的和
【例2】 (1)在n的展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32∶1,則x2的系數(shù)為( )
A.50 B.70
C.90 D.120
(2)(2019·汕頭質(zhì)檢)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.
(1)C (2)-3或1 [(1)令x=1,則n=4n,所以n的展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)和為4n,又二項(xiàng)式
8、系數(shù)和為2n,所以=2n=32,解得n=5.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=Cx5-rr=C3rx5-r,令5-r=2,得r=2,所以x2的系數(shù)為C32=90,故選C.
(2)令x=0,則(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,
令x=-2,則m9=a0-a1+a2-a3+…-a9,
又(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a9)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9)=39,
∴(2+m)9·m9=39,∴m(2+m)=3,
∴m=-3或m=1.]
?考法2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
【例3】 設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大
9、值為a,(x+y)2m+1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m=( )
A.5 B.6
C.7 D.8
B [根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知,(x+y)2m的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有一項(xiàng),即C=a,(x+y)2m+1的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有兩項(xiàng),即C=C=b.又13a=7b,所以13C=7C,將各選項(xiàng)中m的取值逐個(gè)代入驗(yàn)證,知m=6滿(mǎn)足等式.]
[規(guī)律方法] (1)“賦值法”普遍適用于恒等式,對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開(kāi)式中
10、各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=
(1)若n的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為第6項(xiàng),設(shè)(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則a1+a2+…+an的值為_(kāi)_______.
(2)已知n的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,n的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.
(1)255 (2)40 [(1)n展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)為T(mén)k+1=C(x2)n-k·k
=C(-1)kx2n-3k,
當(dāng)k=5時(shí),2n-3k=1,∴n=8.
對(duì)(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
令x=
11、1,得a0+a1+…+a8=28=256.
又當(dāng)x=0時(shí),a0=1,
∴a1+a2+…+a8=255.
(2)n的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,所以2n=32,所以n=5.令x=1,得n的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為(1+a)(2-1)5=2,所以a=1,所以5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C·(-1)3·25-3+C·(-1)2·25-2=40.]
1.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)(1+x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為( )
A.15 B.20
C.30 D.35
C [因?yàn)?1+x)6的通項(xiàng)為Cxr,所以(1+x)6展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)為1·Cx2和·Cx4.
因?yàn)镃+C=2C=2×=3
12、0,
所以(1+x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為30.
故選C.]
2.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展開(kāi)式中,x5y2項(xiàng)的系數(shù)為( )
A.10 B.20
C.30 D.60
C [法一:利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.
(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
含y2的項(xiàng)為T(mén)3=C(x2+x)3·y2.
其中(x2+x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4·x=Cx5.
所以x5y2項(xiàng)的系數(shù)為CC=30.故選C.
法二:利用組合知識(shí)求解.
(x2+x+y)5為5個(gè)x2+x+y之積,其中有兩個(gè)取y,兩個(gè)取x2,一個(gè)取x即可,所以x5y2的系數(shù)為CCC=30.故選C.]
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