2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第5節(jié) 三角恒等變換教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第5節(jié) 三角恒等變換教學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第5節(jié) 三角恒等變換教學(xué)案 理（含解析）新人教A版（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五節(jié)　三角恒等變換 [考綱傳真]　1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶). 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

2、(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 3．輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)其中sin φ＝，cos φ＝. [常用結(jié)論] 1．公式的常用變式 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； sin 2α＝＝； cos 2α＝＝. 2．降冪公式：sin2α＝； cos2α＝； sin αcos α＝sin 2α. 3．升冪公式：1＋cos α＝2cos2； 1－cos α＝2sin2； 1＋sin α＝2；

3、 1－sin α＝2. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無關(guān)．(　　) (3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2.(　　) (4)當(dāng)α是第一象限角時(shí)，sin ＝.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)已知cos α＝－，α是第三象限角，則cos為(　　) A.　　 B．－ C. D．－ A　[∵cos α＝－，

4、α是第三象限角， ∴sin α＝－＝－. ∴cos＝(cos α－sin α)＝＝ .故選A.] 3．已知sin α－cos α＝，則sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C. D. A　[∵sin α－cos α＝， ∴1－2sin αcos α＝， ∴sin 2α＝1－＝－，故選A.] 4．函數(shù) f(x)＝sin x＋cos x的最小值為________． －2　[函數(shù)f(x)＝2sin的最小值是－2.] 5．若銳角α，β滿足tan α＋tan β＝－tan αtan β，則α＋β＝________. 　[由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0

5、，π)，所以α＋β＝.] 三角函數(shù)的給值求值問題 【例1】　(1)若α∈，且3cos 2α＝sin，則sin 2α的值為(　　) A．－　　　 B. C．－ D. (2)(2018·江蘇高考)已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. ①求cos 2α的值； ②求tan(α－β)的值． (1)C　[由3cos 2α＝sin可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.故選C.] (2)[解]?、僖?yàn)閠an

6、 α＝，tan α＝， 所以sin α＝cos α. 因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 因此cos 2α＝2cos2α－1＝－. ②因?yàn)棣?，β為銳角，所以α＋β∈(0，π). 又因?yàn)閏os(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因?yàn)閠an α＝，所以tan 2α＝＝－， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. [規(guī)律方法]　已知三角函數(shù)值，求三角函數(shù)式值的一般思路 (1)先化簡(jiǎn)所求式子. (2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手). (3)將已知條件或已知條件的變形式代入所求式

7、子，化簡(jiǎn)求值. (1)已知角α為銳角，若cos＝，則sin的值為(　　) A. B. C．－ D．－ (2)已知cos＋sin α＝，則sin的值是(　　) A．－ B. C．－ D. (1)B　(2)C　[(1)∵α是銳角，cos＝， ∴sin＝， ∴sin＝2sincos＝2××＝，故選B. (2)∵cos＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝， ∴cos α＋sin α＝，即sin＝， ∴sin＝sin＝－sin＝－，故選C.] 三角函數(shù)的給值求角問題 【例2】　(1)(2019·成都模擬)若sin 2α＝，sin(β－α)＝

8、，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，則2α－β的值為________． (1)A　(2)－　[(1)因?yàn)棣痢剩?α∈， 又sin 2α＝， 所以2α∈，α∈， 故cos 2α＝－. 又β∈， 所以β－α∈， 又sin(β－α)＝， 故cos(β－α)＝－. 所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝， 且α＋β∈，故α＋β＝.故選A. (2)∵tan(α－β)＝，tan β＝－

9、， ∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝. ∴tan(2α－β)＝tan(α－β＋α) ＝＝1. 又∵tan α＝＜， tan β＝－＞－，α，β∈(0，π)， ∴0＜α＜，＜β＜π， ∴－π＜2α－β＜－， ∴2α－β＝－.] [規(guī)律方法]　1.解決給值求角問題的一般步驟 (1)求角的某一個(gè)三角函數(shù)值； (2)確定角的范圍； (3)根據(jù)角的范圍求出要求的角. 2.在求角的某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)注意根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，盡量做到所選函數(shù)在確定角的范圍內(nèi)為單調(diào)函數(shù). (1)已知A，B均為鈍角，sin2＋cos＝，且sin B＝，則A＋B＝(　　) A.

10、 B. C. D. (2)定義運(yùn)算＝ad－bc.若cos α＝， ＝，0＜β＜α＜，則β＝________. (1)C　(2)　[(1)因?yàn)閟in2＋cos＝， 所以＋cos A－sin A＝， 即－sin A＝，解得sin A＝. 因?yàn)锳為鈍角，所以cos A＝－＝－＝－. 由sin B＝，且B為鈍角，可得cos B＝－＝－＝－. 所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝×－×＝. 又A，B都為鈍角，即A，B∈，所以A＋B∈(π，2π)， 故A＋B＝，故選C. (2)根據(jù)題意得，sin αcos β－cos αsin β＝， 即

11、sin(α－β)＝， 又∵0＜β＜α＜，0＜α－β＜， ∴sin α＝， cos(α－β)＝， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝，又β為銳角， ∴β＝.] 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值 【例3】　(1)已知α∈(0，π)，化簡(jiǎn)： ＝________. (2)已知cos＝，若π＜x＜π，求的值． (1)cos α　[原式＝ . 因?yàn)棣痢?0，π)，所以∈， 所以cos ＞0， 所以原式 ＝＝·＝cos2－sin2＝cos α.] (2)[解]　由π＜x＜π，得π＜x＋＜2π. 又cos

12、＝，所以sin＝－， 所以cos x＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×－×＝－， 從而sin x＝－，tan x＝7. 則＝＝＝－. [規(guī)律方法]　(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征. (2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn). (3)主要手段有：化弦、通分、倍角公式、輔助角公式等. (1)化簡(jiǎn)：＝_______. (2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________. (1)cos 2α　(2)　[(1)原式＝

13、 ＝ ＝ ＝＝cos 2α. (2)原式＝×sin 80° ＝·sin 80° ＝·sin 80° ＝·sin 80° ＝·cos 10°＝.] 1.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝(　　) A.　　 B. C．－ D．－ B　[cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.] 2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ D　[因?yàn)閏os＝， 所以sin 2α＝cos＝cos 2 ＝2cos2－1＝2×－1＝－.] 3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－c

14、os 160°sin 10°＝(　　) A．－ B. C．－ D. D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故選D.] 4．(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ B　[由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ∵α∈，β∈， ∴α－β∈，－α∈， ∴由si

15、n(α－β)＝sin，得α－β＝－α， ∴2α－β＝.] 5．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值為______． 1　[∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x， ∴f(x)的最大值為1.] 6.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________. －　[∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②兩式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.] - 11 -