《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第5節(jié) 三角恒等變換教學(xué)案 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第5節(jié) 三角恒等變換教學(xué)案 理(含解析)新人教A版(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五節(jié) 三角恒等變換
[考綱傳真] 1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但不要求記憶).
1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β;
(2)cos(α±β)=cos_αcos_β?sin_αsin_β;
(3)tan(α±β)=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2、(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=.
3.輔助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ)其中sin φ=,cos φ=.
[常用結(jié)論]
1.公式的常用變式
tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β);
sin 2α==;
cos 2α==.
2.降冪公式:sin2α=;
cos2α=;
sin αcos α=sin 2α.
3.升冪公式:1+cos α=2cos2;
1-cos α=2sin2;
1+sin α=2;
3、
1-sin α=2.
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)存在實(shí)數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( )
(2)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值與a,b的值無關(guān).( )
(3)cos θ=2cos2-1=1-2sin2.( )
(4)當(dāng)α是第一象限角時(shí),sin =.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.(教材改編)已知cos α=-,α是第三象限角,則cos為( )
A. B.-
C. D.-
A [∵cos α=-,
4、α是第三象限角,
∴sin α=-=-.
∴cos=(cos α-sin α)== .故選A.]
3.已知sin α-cos α=,則sin 2α=( )
A.- B.-
C. D.
A [∵sin α-cos α=,
∴1-2sin αcos α=,
∴sin 2α=1-=-,故選A.]
4.函數(shù) f(x)=sin x+cos x的最小值為________.
-2 [函數(shù)f(x)=2sin的最小值是-2.]
5.若銳角α,β滿足tan α+tan β=-tan αtan β,則α+β=________.
[由已知可得=,即tan(α+β)=.又α+β∈(0
5、,π),所以α+β=.]
三角函數(shù)的給值求值問題
【例1】 (1)若α∈,且3cos 2α=sin,則sin 2α的值為( )
A.- B.
C.- D.
(2)(2018·江蘇高考)已知α,β為銳角,tan α=,cos(α+β)=-.
①求cos 2α的值;
②求tan(α-β)的值.
(1)C [由3cos 2α=sin可得3(cos2α-sin2α)=(cos α-sin α),又由α∈可知cos α-sin α≠0,于是3(cos α+sin α)=,所以1+2sin αcos α=,故sin 2α=-.故選C.]
(2)[解]?、僖?yàn)閠an
6、 α=,tan α=,
所以sin α=cos α.
因?yàn)閟in2α+cos2α=1,所以cos2α=,
因此cos 2α=2cos2α-1=-.
②因?yàn)棣?,β為銳角,所以α+β∈(0,π).
又因?yàn)閏os(α+β)=-,所以sin(α+β)==,
因此tan(α+β)=-2.
因?yàn)閠an α=,所以tan 2α==-,
因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.
[規(guī)律方法] 已知三角函數(shù)值,求三角函數(shù)式值的一般思路
(1)先化簡(jiǎn)所求式子.
(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手).
(3)將已知條件或已知條件的變形式代入所求式
7、子,化簡(jiǎn)求值.
(1)已知角α為銳角,若cos=,則sin的值為( )
A. B.
C.- D.-
(2)已知cos+sin α=,則sin的值是( )
A.- B.
C.- D.
(1)B (2)C [(1)∵α是銳角,cos=,
∴sin=,
∴sin=2sincos=2××=,故選B.
(2)∵cos+sin α=,∴cos α+sin α=,
∴cos α+sin α=,即sin=,
∴sin=sin=-sin=-,故選C.]
三角函數(shù)的給值求角問題
【例2】 (1)(2019·成都模擬)若sin 2α=,sin(β-α)=
8、,且α∈,β∈,則α+β的值是( )
A. B.
C.或 D.或
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,則2α-β的值為________.
(1)A (2)- [(1)因?yàn)棣痢剩?α∈,
又sin 2α=,
所以2α∈,α∈,
故cos 2α=-.
又β∈,
所以β-α∈,
又sin(β-α)=,
故cos(β-α)=-.
所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2α cos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=,
且α+β∈,故α+β=.故選A.
(2)∵tan(α-β)=,tan β=-
9、,
∴tan α=tan[(α-β)+β]=
==.
∴tan(2α-β)=tan(α-β+α)
==1.
又∵tan α=<,
tan β=->-,α,β∈(0,π),
∴0<α<,<β<π,
∴-π<2α-β<-,
∴2α-β=-.]
[規(guī)律方法] 1.解決給值求角問題的一般步驟
(1)求角的某一個(gè)三角函數(shù)值;
(2)確定角的范圍;
(3)根據(jù)角的范圍求出要求的角.
2.在求角的某個(gè)三角函數(shù)值時(shí),應(yīng)注意根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),盡量做到所選函數(shù)在確定角的范圍內(nèi)為單調(diào)函數(shù).
(1)已知A,B均為鈍角,sin2+cos=,且sin B=,則A+B=( )
A.
10、 B.
C. D.
(2)定義運(yùn)算=ad-bc.若cos α=,
=,0<β<α<,則β=________.
(1)C (2) [(1)因?yàn)閟in2+cos=,
所以+cos A-sin A=,
即-sin A=,解得sin A=.
因?yàn)锳為鈍角,所以cos A=-=-=-.
由sin B=,且B為鈍角,可得cos B=-=-=-.
所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B
=×-×=.
又A,B都為鈍角,即A,B∈,所以A+B∈(π,2π),
故A+B=,故選C.
(2)根據(jù)題意得,sin αcos β-cos αsin β=,
即
11、sin(α-β)=,
又∵0<β<α<,0<α-β<,
∴sin α=,
cos(α-β)=,
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×=,又β為銳角,
∴β=.]
三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值
【例3】 (1)已知α∈(0,π),化簡(jiǎn):
=________.
(2)已知cos=,若π<x<π,求的值.
(1)cos α [原式=
.
因?yàn)棣痢?0,π),所以∈,
所以cos >0,
所以原式
==·=cos2-sin2=cos α.]
(2)[解] 由π<x<π,得π<x+<2π.
又cos
12、=,所以sin=-,
所以cos x=cos=coscos +sinsin =×-×=-,
從而sin x=-,tan x=7.
則===-.
[規(guī)律方法] (1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則:一看角,二看名,三看式子結(jié)構(gòu)與特征.
(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等),尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).
(3)主要手段有:化弦、通分、倍角公式、輔助角公式等.
(1)化簡(jiǎn):=_______.
(2)[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·=________.
(1)cos 2α (2) [(1)原式=
13、
=
=
==cos 2α.
(2)原式=×sin 80°
=·sin 80°
=·sin 80°
=·sin 80°
=·cos 10°=.]
1.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若sin α=,則cos 2α=( )
A. B.
C.- D.-
B [cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=.]
2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)若cos=,則sin 2α=( )
A. B.
C.- D.-
D [因?yàn)閏os=,
所以sin 2α=cos=cos 2
=2cos2-1=2×-1=-.]
3.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-c
14、os 160°sin 10°=( )
A.- B.
C.- D.
D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故選D.]
4.(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)α∈,β∈,且tan α=,則( )
A.3α-β= B.2α-β=
C.3α+β= D.2α+β=
B [由tan α=得=,
即sin αcos β=cos α+cos αsin β,
∴sin(α-β)=cos α=sin.
∵α∈,β∈,
∴α-β∈,-α∈,
∴由si
15、n(α-β)=sin,得α-β=-α,
∴2α-β=.]
5.(2014·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值為______.
1 [∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)
=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ
=sin[(x+φ)-φ]=sin x,
∴f(x)的最大值為1.]
6.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,則sin(α+β)=________.
- [∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1①,cos2α+sin2β+2cos αsin β=0②,①②兩式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,∴sin(α+β)=-.]
- 11 -