2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第5節(jié) 三角恒等變換教學(xué)案 理(含解析)新人教A版

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1、第五節(jié) 三角恒等變換 [考綱傳真] 1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但不要求記憶). 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β; (2)cos(α±β)=cos_αcos_β?sin_αsin_β; (3)tan(α±β)=. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

2、(1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)tan 2α=. 3.輔助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ)其中sin φ=,cos φ=. [常用結(jié)論] 1.公式的常用變式 tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β); sin 2α==; cos 2α==. 2.降冪公式:sin2α=; cos2α=; sin αcos α=sin 2α. 3.升冪公式:1+cos α=2cos2; 1-cos α=2sin2; 1+sin α=2;

3、 1-sin α=2. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)存在實(shí)數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(  ) (2)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值與a,b的值無關(guān).(  ) (3)cos θ=2cos2-1=1-2sin2.(  ) (4)當(dāng)α是第一象限角時(shí),sin =.(  ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2.(教材改編)已知cos α=-,α是第三象限角,則cos為(  ) A.   B.- C. D.- A [∵cos α=-,

4、α是第三象限角, ∴sin α=-=-. ∴cos=(cos α-sin α)== .故選A.] 3.已知sin α-cos α=,則sin 2α=(  ) A.- B.- C. D. A [∵sin α-cos α=, ∴1-2sin αcos α=, ∴sin 2α=1-=-,故選A.] 4.函數(shù) f(x)=sin x+cos x的最小值為________. -2 [函數(shù)f(x)=2sin的最小值是-2.] 5.若銳角α,β滿足tan α+tan β=-tan αtan β,則α+β=________.  [由已知可得=,即tan(α+β)=.又α+β∈(0

5、,π),所以α+β=.] 三角函數(shù)的給值求值問題 【例1】 (1)若α∈,且3cos 2α=sin,則sin 2α的值為(  ) A.-    B. C.- D. (2)(2018·江蘇高考)已知α,β為銳角,tan α=,cos(α+β)=-. ①求cos 2α的值; ②求tan(α-β)的值. (1)C [由3cos 2α=sin可得3(cos2α-sin2α)=(cos α-sin α),又由α∈可知cos α-sin α≠0,于是3(cos α+sin α)=,所以1+2sin αcos α=,故sin 2α=-.故選C.] (2)[解]?、僖?yàn)閠an

6、 α=,tan α=, 所以sin α=cos α. 因?yàn)閟in2α+cos2α=1,所以cos2α=, 因此cos 2α=2cos2α-1=-. ②因?yàn)棣?,β為銳角,所以α+β∈(0,π). 又因?yàn)閏os(α+β)=-,所以sin(α+β)==, 因此tan(α+β)=-2. 因?yàn)閠an α=,所以tan 2α==-, 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-. [規(guī)律方法] 已知三角函數(shù)值,求三角函數(shù)式值的一般思路 (1)先化簡(jiǎn)所求式子. (2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手). (3)將已知條件或已知條件的變形式代入所求式

7、子,化簡(jiǎn)求值. (1)已知角α為銳角,若cos=,則sin的值為(  ) A. B. C.- D.- (2)已知cos+sin α=,則sin的值是(  ) A.- B. C.- D. (1)B (2)C [(1)∵α是銳角,cos=, ∴sin=, ∴sin=2sincos=2××=,故選B. (2)∵cos+sin α=,∴cos α+sin α=, ∴cos α+sin α=,即sin=, ∴sin=sin=-sin=-,故選C.] 三角函數(shù)的給值求角問題 【例2】 (1)(2019·成都模擬)若sin 2α=,sin(β-α)=

8、,且α∈,β∈,則α+β的值是(  ) A. B. C.或 D.或 (2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,則2α-β的值為________. (1)A (2)- [(1)因?yàn)棣痢剩?α∈, 又sin 2α=, 所以2α∈,α∈, 故cos 2α=-. 又β∈, 所以β-α∈, 又sin(β-α)=, 故cos(β-α)=-. 所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2α cos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=, 且α+β∈,故α+β=.故選A. (2)∵tan(α-β)=,tan β=-

9、, ∴tan α=tan[(α-β)+β]= ==. ∴tan(2α-β)=tan(α-β+α) ==1. 又∵tan α=<, tan β=->-,α,β∈(0,π), ∴0<α<,<β<π, ∴-π<2α-β<-, ∴2α-β=-.] [規(guī)律方法] 1.解決給值求角問題的一般步驟 (1)求角的某一個(gè)三角函數(shù)值; (2)確定角的范圍; (3)根據(jù)角的范圍求出要求的角. 2.在求角的某個(gè)三角函數(shù)值時(shí),應(yīng)注意根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),盡量做到所選函數(shù)在確定角的范圍內(nèi)為單調(diào)函數(shù). (1)已知A,B均為鈍角,sin2+cos=,且sin B=,則A+B=(  ) A.

10、 B. C. D. (2)定義運(yùn)算=ad-bc.若cos α=, =,0<β<α<,則β=________. (1)C (2) [(1)因?yàn)閟in2+cos=, 所以+cos A-sin A=, 即-sin A=,解得sin A=. 因?yàn)锳為鈍角,所以cos A=-=-=-. 由sin B=,且B為鈍角,可得cos B=-=-=-. 所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B =×-×=. 又A,B都為鈍角,即A,B∈,所以A+B∈(π,2π), 故A+B=,故選C. (2)根據(jù)題意得,sin αcos β-cos αsin β=, 即

11、sin(α-β)=, 又∵0<β<α<,0<α-β<, ∴sin α=, cos(α-β)=, ∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =×-×=,又β為銳角, ∴β=.] 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值 【例3】 (1)已知α∈(0,π),化簡(jiǎn): =________. (2)已知cos=,若π<x<π,求的值. (1)cos α [原式= . 因?yàn)棣痢?0,π),所以∈, 所以cos >0, 所以原式 ==·=cos2-sin2=cos α.] (2)[解] 由π<x<π,得π<x+<2π. 又cos

12、=,所以sin=-, 所以cos x=cos=coscos +sinsin =×-×=-, 從而sin x=-,tan x=7. 則===-. [規(guī)律方法] (1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則:一看角,二看名,三看式子結(jié)構(gòu)與特征. (2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等),尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn). (3)主要手段有:化弦、通分、倍角公式、輔助角公式等. (1)化簡(jiǎn):=_______. (2)[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·=________. (1)cos 2α (2) [(1)原式=

13、 = = ==cos 2α. (2)原式=×sin 80° =·sin 80° =·sin 80° =·sin 80° =·cos 10°=.] 1.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若sin α=,則cos 2α=(  ) A.   B. C.- D.- B [cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=.] 2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)若cos=,則sin 2α=(  ) A. B. C.- D.- D [因?yàn)閏os=, 所以sin 2α=cos=cos 2 =2cos2-1=2×-1=-.] 3.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-c

14、os 160°sin 10°=(  ) A.- B. C.- D. D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故選D.] 4.(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)α∈,β∈,且tan α=,則(  ) A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= B [由tan α=得=, 即sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin. ∵α∈,β∈, ∴α-β∈,-α∈, ∴由si

15、n(α-β)=sin,得α-β=-α, ∴2α-β=.] 5.(2014·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值為______. 1 [∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ) =sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ =sin[(x+φ)-φ]=sin x, ∴f(x)的最大值為1.] 6.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,則sin(α+β)=________. - [∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1①,cos2α+sin2β+2cos αsin β=0②,①②兩式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,∴sin(α+β)=-.] - 11 -

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